В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 49
Текст из файла (страница 49)
8, В теории линейного резонанса рассматриваются два основных режима: устанонившиеся колебания, когда амплитуда колебаний не зависит явно от времени, н переходный режим — процесс установления колебаний в системе. Характерное время установления колебаний определяется параметром А, так что в случае А-а-0 время установления велико. Характерная область резонансных частот ой также определяется этим параметром, так что при Х-а.О А1з-а-О.
Решение уравнения (6.16) является суммой решений однородных 308 уравнений, описывающих собственные колебания с частотой ьььжьь>„', и решения неоднородного уравнения, которое при 1=0 для всех ЙФь ььь имеет внд х„=А з!и Ж При Я=ььььь амплитуда резонансного решения растет линейно со временем, так что устаповиншсгася режима в этом случае ,нет: хры = — ( саз О>ой 2Я В случае нелинейных колебаний также можно выделить режим установившихся колебаний, существующий в системах с зату.ханием, н режим переходных процессов. Рассмотрим вначале слабонслппсйную систему без затухания.
Б этом случае при некоторой амплитуде период свободных колебаний осциллятора может совпасть с периодам выну>кдающей силы, так что условие резонанса окажется выполненным. Очевидно, чта в случае слабонелннсйной системы внешнее периодическое воздействие может привести к изменению энергии и соответственно амплитуды колебаний, Однако н отличие ат линейного резонанса период колебаний нелинейного осцнллятора зависит от амплитуды колебаний, так что сс изменение нарушает условия резонанса и линейный рост амплитуды оказывается невозможным, Для описания колебаний системы при ь)-а>а удобно использовать теорему об изменении энергии.
Рассмотрим осциллятор, колебания которого происходят с амплитудой Ла и имсьот период Та=Т(Ая). Предположим, что основная частота колебаний ьа 2п~Т=ь>(Л) слабо зависит от амплитуды, так что приближенно мажпа записать ы(А) =а>(Л,)+ — (А — А,)=ы,+ — а, дА дА где а=А — Ла — изменение амплитуды, причем выполняется ус- ловие да а — — << П дА ьа, Энергия свободного нелинейного осциллятора Е =- — + — о>а (х) оьх' ги 2 2 определяется амплитудой колебаний Е=Е(А). Под действием выну>ььдаьощей силы энергия меняется, так что скорость изменения равна мощности приложенной силы: Е= — а= птгзьпа>ь'х((). дЕ дА Изменение амплитуды приводит к изменению фазы колебаний ф —.— ') м(1) Ш.
Введем переменную б — отклонение фазы от линейного закона: ()= (1 — й1. (7. (6) Кы будем предполагать, что изменение фазы определяется лишь изменением амплитуды колебаний, а непосредственное воздействие возмущающей силы фазу колебаний не меняет, Очевидно, что такое приближение справедливо прн достаточно малой вели1нне возмуп!епня. Из уравнения (7.!6) можно выразить 1=1(д) и использовать 1! в качестве независимой переменной, так что а=а(О). Будем искать закон движения слабонелннейного осциллятора в виде х(1)=-А(1)з)пф(1) =(4„+а)з!п(Я1+б), т. е, используя метод вариации постоянных. Для вычисления мощности силы, действующей на систему, достаточно ограничиться нулевым приближением для скорости, полагая х(1) =А,(7созф. В этом приближении мощность силы Ж = ' (з!п6+з)п 2Я1) (з!и (2а1+ б) — яви).
2 Интегрирование за период невозмущенного движения позволяет вычислить среднее за это время изменение энергии: ЛЕ аи1АО1, дн Е= — = — — 'а з!пб — а'— Т 2 дА Поскольку мы предполагаем, что колебания почти линейные; ам~аа дЕ Е и !пйзАр, 2 дА Таким образом, для изменения амплитуды н фазы нелинейных колебаний вблизи резонанса мы получаем систему уравнений а= — — з!пб, 2Я ~~~о Полученная система уравнений эквивалентна уравнению второ- го порядка для фазовых колебаний: Ь+ — — зи! 6=0, да 2Я дА совпада!ощсго с уравнением движения матемыт"!ческого ника: Ь-~ Ыь~ згп б = О, где Как известно, решения этого уравнения могу г ымсть как колебательный, так н вращательный характер..М~акснмальпая амплитуда колебаний переменной Существование первого интеграла 6з — 2йз~ соз б = С оооо "ллет олачлть молелмолавое отллооеоно чл стоты «олебвнвй, полагая С=О; и, следовательно, оценить изменение амплитуды: Отсюда следует, что рассматриваемое приближение не может переходить в линейное, поскольку при вьгвсзде уравнений мы предполагали, что выполняется условие Рассматриваемое приближение называется приближением умеренной нелинейности и широко используется в теории нелпней.
ного резонанса, поскольку дает универсальнузс схему описания для большого класса систем. При малой амплитуде фазовых колебанн!ч, когда б4;), характерное время процесса обмена энергий с виеп!пей системой ! ! в ~~4 — — Прн этом изменения амплитуды и фазы а, ~~ ) носят гармопическнй характер: Яа д = д, з)п (!2,!+ р,), а = а, — ', соз (с'з г -)- н,), Рассмотрим теперь стационарный режим, учитывая дисси.
пативные силы. Воспользуемся вновь метолсзм гармонического баланса. Предполагая, что свободные колегзаымя в системе от- сутствуют, будем искать решение в ниде разложения Фурье по гармоникам вынуждающей силы: х (1) = а я!и Й1+ ~г (а„я1пкй1+В„созна) =-х+$. лжз Здесь мы выделили быстро осциллирующу|о часть. В общем случае резонансные эффекты в слабонелннейпой системе могут проявляться вблизи тех частот, которые кратпы любой, не обязательно первой гармонике вынуждающей силы.
Если для слабопелинейной системы с малым затуханием период свободных колебаний характеризуется частотой ы, то резонансные эффекты могут возникать прн я1=ы/и, Кроме того„ возможно резонансное возбуждение колебаний на частотах Як пы вследствие резонанса мегкду высокой гармоникой фурье- разложения собственных колебаний и вынуждающей внешней силой.
Колебания па субгармониках и гармо1шках высокой частоты очень сильно усложнщот картину нелинейного резонанса и прн некоторых условиях приводят к возникновению динамического хаоса в системах. Однако в рассматриваемом случае, когда нелинейности малы, амплитуды колебаний гармоник высокой частоты мало влияют на резонанс при яз в, н для простоты мы ограничимся только этим случаем. Детальное изложение особенностей нелинейного резонанса для других случаев можно найти в специальной литературе, Ограничиваясь случаем основного резонанса, определим коэффициенты разложения в ряд Фурье функции Р(х): А„= — ~ Р(ая!пф) я(пффф ! зи В„= — ~ Р(а я!пф) соя'файв 1 2п о Полагая, что движение происходит по закону х=ая1пф, где ф =йг+а, подставим это решение в уравнение.
Коэффициенты при я(пф и соя ф обращаются в нуль, что дает систему для определения амплитуды колебаний и сдвига фаз: ~ — я1'а+ А, (а) = — соя а, 2 т — 2Ляза = — я1п а. Резонансная кривая аг п(ьз) определяется уравнением (й'а — А, (а))'+ 4УЙ'а' = ( — ), 312 При А/саа«1 н 1«глс»аА это дает оа 2мсаая а 11а==саа ~1 —. — ~ — 2Л . 0 Характерной особенностью нелинейного резонанса является зависимость формы кривой от амплитуды вынуждающей силы. При 1 -О резонансная кривая мало отличается от линейного случая, Однако с ростом 1 при заданном значении затухания амплитуда колебаний растет, что приводит к увеличению наклона «скелетной кривой» вблизи максимума и, как следствие,'к появлению перегиба на резонансной кривой под этим максимумом.
Возникающая при этом неоднозначность зависимости Рва. 3нб амплитуды колебаний от частоты вынуэкдающей силы обусловлена тем, что состояние маятника может зависеть от предыстории системы. Лнализ устойчивости колебаний вблизи резонанса показывает, что устойчивым колебаниям соответствует точка ипжпей ветви пРи й<иа, вплоть до ьзь где выполнЯетсЯ Условие При прохождении резонанса из области 13= аь ., устойчивой является ветвь с общей амплитудой, вплоть до точки Йь где Дальнейшее уменыпение частоты вынуждающей силы приводит к срыву колебаний и переходу па нижнюю ветвь, где амплитуда колебаний мала. Вид резонансной кривой для математического маятника приведен на рис. 3.!6.
16.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ Как отмечалось в п. 1б.1, решение дифференциальных уравнений, зависящих от параметра з, при выполнении условий теоремы существует и непрерывно зависит от параметра в некоторой области изменения переменных. Если функции 1;1хм й е) в правой части динамических уравнений 3!4 11,!6) имсют пеирсрынные частные ироизволныс ло л-гп поряд.
ка нкзвчнильно ио иггч пс!импииам, то рсшгчин залпчн в данной обл;и! н твьжс ичсс1 нгирсрыииыс и!к)пзиодиью до к.!о варнака, Более гого. сглн функции 1, иилнютгя аналитическими фуиьциимн гноит аргумсигон. то рсипнис задачи пинлитнчсски зашя нг сн ииритизрон 1!ислслигс у~иеря(дсипс яплиетси тсорсмой 11узикире г;уицт~ионаиис нснрсрыниык пронзиош[ык по нарнмстру щгь чущсиии иоиюлнст разложить рсшглщс и ряд Маклорспа по атому иарамстру: и прсдсзвиить рсшснис в вице суммы х,(г, а) -- х,(l, О) + $~(г, а) =' х~ (!) + Ь гла х~(1, 0)ю4(1) — рсшспнс нсиозмущсипой залачи. Прсллолагается. что ращения нсиозмущглщой задачи извсетно. Очсницно, что рсшсннс $~(1, а] ирн и- О равномсриа стремится к пулю на гсгмснтс (О, Т), 11уг~ь функции ), являются аналитическими фуикцнямн всех аргумсптои. т с.
могуг быть прслставлсны в вице рилав по це. лым иоложитсльиым гтепсиям хь, 1 н а. Тогла рсшеиис прел. станина и индо ряла, равномерно сходящегося ио а и пскоторой области. Лля практичегкого иычислспия коэффициентов втого разложсиия можно использовать метол послсдовательпых прн. блнжсинй Пуанкарс " фои 1(айисля. Для этого подставим решсиис в ниде формального ряла по исрсмсииой а в уравнения и букам приравнивать ковффициснты при олинаковык степенях параметра вотмущспня. Рассмотрим лля оирсдалениости системы вида х -( (х ° !)+аЬ(х !) Пусть 4 — решение нсвозмущеииой задачи х,=~~(хю !). Прслноложим, что функции ~р(х,!) являются аналитическими, и будем искать решение в аиде ряда х, ° х, +7 а"$„(!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
