В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Как н выше, при решении этой за- 1 ~д5 ~ а) (д5) 1 (дХ) — Гвгег=О, (Д4Ц а=се'. Решение (Д41) ищем в виде 5.= — Е1 + азсср+ 5, (г), (Д42) где Е и Ес — постоянные энергия и момент импульса частицы. Подставляя (Д42) в (Д41), получим обыкновенное дифферен- циальное уравнение (Д43) Таким образом, 5 = — Е1+ азсср + ~ с(г ~' — ( Š— — ) — — — т с (Д44) Ч / 1 / ч гг 1с сг г дд дй Закон движения г(1) определяется уравнением 'дд а траектория г(ср) — уравнением — = р,.
Прежде чем найдьг ти траекторию, запишем уравнения движения заряда в релятивистской форме. 4-импульс частицы Р =пг =Ч Рк= т( ~Ы гу гс дЗ (Д45) Ис дсг Правуго сторону этого равепства вычислим с помощью (Д44): сУ дд Е пс дг дсг с ' (Д46) д'Р г г ш — = — — —, аг гг (Д47) (Д48) дачи в рамках классической нерелятивистской механики (см. п. 5.4), рассмотрим движенве частицы в центральном по. ле У=а/г. Запишем релятивистское уравпепие Гамильтона— Якоби, учитывая тот факт, что движение заряда происходит в пеподвюкной плоскости, проходян1ей через центр поля.
Это, как и в псрслятивистском случае, следует из закона сохранения момеита импульса заряда 1.-[гр)=1.с. Выберем систему координат с осью Оя~!).с, а па плоскости хОу введем полярные коорднпаты г, гр. Тогда релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид Здесь мы учли, что в цилиндрических координатах элементы метрического тензора имеют вид т!м=б!ад(1, — 1, — г«, — 1).
Как н в нерелятивистском случае, классически доступные области движения можно определить нз (Д48), Так как должно выГаг~« полняться условие ( — ) ~~0, движение может происходить в аа,) областях, где в з ЕО Е' » «2Ее с« — — т»с" '— — -!- >О. «« с"". г2 (Д49) Корни этого уравнения (Д50) где Е «я « К« = — — л««с», р = — — Ьм с« «« Бслн а>0, то оба корпя при Е>0 положительные. Классически доступная область двнженвя определяется неравенством (г — г„) (г — г«) > О, (Д51) «г «р=~о ') + ~ро. г«»уг Кр 4- .,/ з!а!и + с'г (Д52) Здесь знак «+» соответствует притяжению (с«(0), знак « — » соответствует отталкиванию (а)0), и мы положили р«=~р,.
По- 336 откуда следует, что область г>г, класснчсски доступна, а в область г,>г>г«частица попасть не может. Поэтому, если а>0, частица нс может сколь угодно близко подойти к центру поли и тем более «упасть» на него. Если с«<0 (притяженне), различают два случая: 1) 1~0, Ь«> —; 2) (3 «О, 1,,< —. В первом случае при Е>0 г,>О, !м! !а! с с гз<0, поэтому прв г)0 неравенство (Д51) удовлетворяется в области г>г, н, значит, падение на центр невозможно.
Однако если !8>0, то при Е>0 оба корня отрицательны, неравенство (Д51) может быть удовлетворено всюду в области г> О, и падение частицы на центр поля становится возможным. Эта ситуация отлична от ситуации в нерелятивистском случае, когда падение частицы с «'.,ФО на центр поля невозможно.
Найдем теперь траекторию заряженной частицы, используя уравнение — = р и (Д44): дЯ а~ о тг7р '»а1 е Х =- — ~ — —— сс ')Г»р и вычисляя интеграл, получим в результате 1 (сЧсо — а'), = — с1/(1сЕ)с — т'с' (~~ соз — р(ср — гро):Ч= Е!а~. (Д54) Здесь выбор знака перед корнем ну"кво согласовать со знаками грс и г,'(<рр), Третий случай возникает, если начальные уело. вия таковы, что 5=0.
Тогда сыс» с»х Ч 2 ( ~ с) 'р~~ +срс» 2 !а( Е где х= Тривиальные вычисления приводят тс рсзульта- ссг ту 21а~ Е с с»' ссс' =Ес — Я с' — ~=) (гР— спс)а. Г ) (Д55) Рассмотрим траекторию, задаваемую формулой (Л,64). Очевидно, г может обращаться в бесконечность тольксз тогда, когда правая часть (Д54) будет обращаться в нуль.
Если Еа' с(г (Ег-с)с — и». с4 ф~, ззт ')ггр !а! Н латая х==. — Л (()~0 а' (.5сс), преобразуеьа и г И7са вычислим интеграл = 7»-""~ - — "„„.)-" Обращая формулу, находим ! (а' — сЧ4) — =-~с)'(/сЕ)с+лг'с"()с5~(ср ср„) )гр ~ ~ Н (а(. (Д53) Здесь верхний знак соответствует случаю а<О, нижний — а>0. ПУсть тепеРь () О, Ьсзсз>аз.
Полагая ИтЛожбНИГ !. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В рСПИРЛЛЬНОМ ОНДУЛЯТОРЕ» Рассмотрим магнитное поле, вектор напряженности которого изменяется по закону Н = е,Нр з!и аг — ерНр соз аг. (П!) Здесь еь ег — орты декартовой системы координат. Такое поле создается на оси онлулятора, конструкция которого представляет собой два одинаковых сооспых соленоида с большим шагом намотки ! с противоположным направлением токов и смещенных между собой па половину шага намотки.
Уравнения дви>ксшгя электрона в поле (П!) в выбранной нами системе координат имеют вид (е= — ер, ер>0) х =- — ррррр соз аг у:== — рзрг з(п аг, (П2) г = ррр (х соз аг+ у а! и аг),. ереНр еер = Е (ПЗ) (П4) причем мр ерсНр! ~Р = — = —. а 2пЕ (Пб) Здесь точкой мы обозначили п(зоизводну>о по времени 1, Е— энергия электрона, являюшаяся, очевидно, интегралом движе- ния, Пусть пачальныс значения компонент радиуса-вектора и скорость электрона галаны в ниле г(0)=Л, у(0)=--г(0)=-О, х (0) =. О, у (0) =- ср„г (0) = с р, Интегрируя (П2), получим первые интегралы движения; .".
= — срр з!и аг, у = с)!р соз аг „ г=ср, Введя далее (П6) для радиуса-вектора получим г (1) = е, Р соз 51г+ е„Н М п 1сс+ ессрс. Отметим, что также (т. с. по закону (П7)) движется электрон в поле плоской электромагнитной волны, поляризованной по кругу, в постоянном однородном магнитном поле, а также в некоторых других конфигурациях электромагнитных колей при заданных (пе произвольных) начальных условиях. 2. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЭЛ ЕКТРО НА В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛИ Постоянное однородное магнитное поле, вектор напряженности которого направлен вдоль оси 07, можно определить с помощью 4.векторов потенциалов А,=А,=А,=О, А,=нд (П8) или Ао=А5=0 А1= — Ну, Ас= — — Нх. ! 1 2 2 (П9) Здесь А„Ас' — временные, а А, А' — пространственные ком- поненты 4-векторов. Декартовы координаты точек х" перечисля- ем в обычном порядке: хи=(сг, х, д, г), В этой системе координат метрический тензор уь' = с))ая(1, — 1, — 1, — 1).
(П10) (П11) т) = О, тх = — —" Ну, тд = '" Н х, тг = О, (П12) с с где точкой обозначено дифференцирование по собственному времени т. Из (П12) следует общее решение: Д тг = т х=гтсозсй+хо д=ст 51пф+Ус (П13) тг = — рс (т — т,), у = 1сст — йм й = —, сО ссс З40 Нетрудно показать, что 4-потенциалы (П8) и (П9) отличаются калибровкой. Уравнения Лоренца для электрона (е= — ес, ес>0) в декартовой системе координат запишем в виде Умножим правую н левую части векторного уравнения (П19) скалярпо на и н вычтем полученный результат из первого уравнения (П!9).
Тогда найдем 1п (с[ — пг) = пир =- О, или щ(с[ — пг) =Х, (П20) где Х вЂ” постоянная (ннтеграл движения). Интегрированием (П20) находим связь 1п (с1 — пг) = х (т — т,), (П,21) Здесь тс — постоянная. Переходя с помощью (П21) в (П19) от дифферснцирова1п|я по т к дифференцированию по гр и затем интегрируя (П19), получим г=-.Х ' ~ л(гр) с6р+п(2Ла) ' ~ (тась+па — Ла)а[ар-)-га, с! =(2Ла) ' ~ (таси+па+Ла) с(гр, а А (гр) с (П22) (пр) =(пах) =О. Найденное в параметрической форме (гр-параметр) решение уравнений (П19) зависит от шести интегралов днижения Х, р (двумерный вектор), га. Общий характер движения электрона исследуем, предполагая, что Л Ь 1[ш 1. ' ( А(гр) г(ар=О, !пп 1.
' ~ Аа(гр) 1(гр.=да~ ои, (П23) /:» а Л-» а Введем среднюю скорость электрона согласно г ЗЛр [- и [глас' [1 -[. Ла! -1 ра — Л'! С)аа = ЦП1 т с* [1+ Р) + ра+ Ла азАа ага†тасс (П24) Тогда из (П22) следует, что прн выполнении (П23) заряд осцнллирует около некоторого среднего положения и дрейфует со скоростью сра. Если р=О н Ла=пааса(1+Ча), то ра=О.
Интеграл движения Л в выбранной нами системе отсчета, в которой вектор-потенциал поля имеет вид (П18), имеет ясный физический смысл. Оп выражается в виде разности энергии электрона, де- лепной па с, и проекции обобщенного импульса на направле- ние п; Е Х == — — (Р и). с (П25) Мы будем использовать также безразмерную величину Х Е вЂ” с(н п) а =- — =- мс глеб (П25') Из (П22) найдем энергию электрона Е=.с и~с'+ я~ Л. Х~ 2Х (П26) откуда следует вь1ражение для средней энергии У+ я'+т'с'(!-! Р) 2Х (П27) В заключение выпишем решения (П22) в конкретном случае, когда вектор-потенциал А(ср) (П18) описывает циркулярно поляризованную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси ОЯ.
Тогда А,= — — 3!п/э, (! — — ), А,=д — созш, (/ — — '), А;=-О, спи , l а ) сЕ, СОд с и, с (П28) где величина д характеризует правую (д +1) нлн левую (д= — 1) поляризацию волны, Еа — амплитуда напряженности электрического поля, ы, — частота волны, Полагая Р=О н ге= ° О, из (П22) нетрудно получить закон движения электрона в виде г(/)= е Я сов й/+еуЛ з!и Ы+ еао! /, где !2 = в, (1 — р !!); /т = —, с$ ооь $$ ой о,~ — с „=ар!!, !+Р+о" (П29) (Пзо) 343 Из (П29) видно, что направление вращения электрона совпадает с направлением вращения вектора поляризации электромагнитной волны: если у=+1, то траектория электрона представляет собой правую спираль, если д= — 1, то левую. Нелишне отметить, что если Р=О, то при движении электрона в поле (П28) сохраняется энергия, которую в данном случае можно представить н виде Е— -1/ ! ре ПРЕДМЕТНЫП УКАЗАТЕЛЬ Антоноыпая система 54, 261 адпабатнчсская инпариаптность 186, 326 аиспальпый вектор !1 актпвшае переменные 152 амплитуда 118, 119, 129, 139, 251, 321 аналитические связи 86 ансамбль Гиббса 169 аперпадическое затухание 134 апспдальпый вектор 49 асимптотическое прпблшкснис 238 аснмптотическне ряды 239 аттрэктар 54, 265, 291, 292 — Фейгеибаума 296 Барьср потенциальный 38, 42 бассейн аттракгора 265 Биешш Уйтэ Бине формулы 16 бинормаль 19 бнфуркацпя 270 †2, 276 — уивоешш цикла 289, 290, 294 Вектор аксиальпый 11 — апспдольпый 49 — волновой 123 — главной нормали 18 — пзотроппый 50 кинетического момента 215 — Лапласа 58 — Рунге — Ленца 58 внриал Длауэиуса 70 вириала теорема 69 — 71 виртуальная работа 89 виртуальное перемещение 87, 88 возможное перемещение 88, 110 возмущение 1!3, 238 возмущенное решение 238 волна бегущая !23 — стоячая 124 вращение 181 — ось 198 — чистое 195 времени однородность 27 выровгдегше двшкепня 60 — частот 124 иьпгуждеппыс колебания 1ЗО, 135 вынуждающая сила 131 Галилея — г!ыотонэ закон инерции 22 Гзмнльтопа главная функция 174 — припппп (модифицированный) 153, 160 — уравнепня 150, 183 — функция 151, 189, 325, 327, 328 гамильтоннап 151, !80, !85 Гамильтона — Остроградского принцип 89 Гамильтона — Якоби метод 176 = уравнение 174, 180, 182, 185, 189,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
