В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 50
Текст из файла (страница 50)
«-! 3!6 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях парамет- ра, получим систему уравнений х,=~~ю(х, 1), еы=7 ю (,ч, г)е|л+~~ (х, О, ! 1 ю— К ~ = — Ь (х ~) баюл+ Ьс (х, ~) Ь» (~), Последовательное решение этой системы позноляет определить функция $ь 5ю и т. д,, решая неоднородные уравнения, напри- мер, методом вариации постоянных. Выбор начальных условий на каждом шагс интегрированна допускает опредслеппую сво- боду. В рассматриваемых примерах мы полагасм все Ц;(0) =0 и х; (О) =хна В качестве примера применения метода рассмотрим коле- бания математического маятника достаточно малой амплитуды. В этом случае можно ограничиться первой нелинейной поправхю кой, полагая з1пх = х — —.
Полученное уравяение — уравне- Б пие Дуффинга х+ вюх = ех". ю Пусть в начальный момент нремепи х(0) =а, х(0)=О. Решеяие невозмущенной задачи в этом случае имеет вид х=а соз юююй Подставим зто решение в уравнение первого порядка по параметру возмущения: 2 Ь+ ююю$ю — — еаю созе юююй Решение этого уравнения с начальными условиями имеет внд з,, юю ю„(О = — еаю (ыюГ з)п и,,1+ 2 сое оюю) — — е соз Оюююю Очевидно, что уже в первом порядке решение содержит слагаемые, которые расходятся прн щ(-ю-ос. Эти слагаемые называют векозымн или секулярпыми членами.
Полученный ряд сходится при условии, что ююю1<1. В случае ююю1>1 вопрос о сходнмостн ряда гораздо сложнее. Ряд, содержащий вековые члены, может быть сделан сходящимся прн выборе достаточно малого возмущения на достаточно малом интервале времени. 3!Б !!Ообшс !Онори, ирн решении дифференциальных уравнений 1 иоыошьк1 рядок чисто ряды акваына1отсн расходпцимися. !! ш1чтс1нс прцтнрв, н1итого нз монографии Л. 11айфв'1, расгчо1рнч уравнение ---+р -— ва ! х 1'у,ц ч ись11ь рс11нине н Об1лвс1и !х1;Ф1, 1!рслставнм решение. н инд1 1!)Орч1!льнО!и рида о т ы ~н 1 и. приравнивая кочффнцненты нри одинаковых стеиснях т, по- лучим )!(1,~а!) В-1 1!1 нри1нлсшн1го выражении следует, что ири лк1бых х ряд расч1лнмн, 01О111ко к1пн ишс число членов рядн хоронн1 анпроксичнруст решенно нри х .О, которое можно представить в виде ' е" и- с' ~Π— Их, х Сираислливость иослслнего утисржлсини легно проверить прямой нолстшкшкай.
Интегрирование но частям позволяет предстош1ть остаточный член ряда в ниле интеграла ет Р„(х)=л!е-" ! — „, г!х, Прн х<0 ряд является знакоперемениым и остаточный член легко оценить. !Яе!~и!! — р1-~е-' ~ е'г!х== — 1-, Поскольку остаточный член меньше последнего члена ряда, мы получили для всех х удобную оценку точности представления решении дифференциального уравнения конечным числом чле- ИОН РИ!Ш. Рицы, сходяшисся при всех ! лля некоторых фиксированных в, называют равномерно-приголиыми. Это свойство рядов тео- "' См,: Ы в Я Ч1В А, Методы возмущенна. М.: мир. 1070. 3!Т рии возмущений может быть нарушено как особеностями дн намическнх уравнений, так и неудачной формой представлеггня решений.
В последнем случае удается указать процедуру устра пения расходимостн, Так, в рассмотренном выше примере реш ниа УРавнеггиЯ ДУффннга длЯ нелинейного осцнллатоРа возггггк новение вековых членов обусловлено неудачным выбором частг, тьг калнбаггий, посггольку частота вазмупгеггггого оспиллятора не равна гэгг, Устранспие расходимости в этом случае может быть достигнуто при учете изменения частоты нелинейного ос циллятора. Процедура перенормировки частоты в каждом при ближе~ни Ряда Пуанкаре была предложена Линдштедтом В этом случае предполагается, что зависимость частоты коде баний от возмущения может быть представлена рядом ы (е) =ыс+ зиг+ ....
'Подставляя это разложение в уравнение движения и приразни вая члены с одинаковыми степенями е для ~„получггм уравне жие $г + ~г = (2 — '+ — А' ) А соз м1+ — соз ЗЫ, огр 8 / 24 Здесь в качестве независимого аргумента выбрана фаза коле баний Ф=М(+г(гь Накладывая дояолнительпое условие периодичности возмущенного решения, легко определить поправггу к частоте иь обеспечивающую обращение в нуль резонапсггого 1 члена в правой части уравнения движения гэг = — — ы А', 4 Для нулевых начальных условий ~ (о) = о, В (о) = о это дает поправку к закону движения: А' Рг = — (соз га( — соз ЗЫ) .
192 Заметим, что получаемый таким способом ряд уже не является Рядом по степеням параметра возмущения, поскольку з входит в выра1кенне для частоты колебаний. Процедура последовательного исключения резонансных членов путем определения поправок к частоте колебаний слабонелияейных систем была развита в методе Крылова — Боголюбова.
16.5. МЕТОД КРЪ|ЛОВЛ вЂ” БОГОЛЮБОВЛ Метод Крылова — Боголюбова является обобщением рассмотренных ранее методов построения аснмптотическнх приближений для пеконсервативных колебательных систем, в чаг.тпости систем с диссипацией. Этот метод развивает идеи Линдштедта о разложении частоты колебаний в ряд пгэ 318 и;)лим) [шрзч(')р( и [и'иильзтсг мстолик)' разделсиия лвиже иий! Ив бы('[рыс и мелл«ч[и)4«, Для ри'[лгми'иии лвиж(иий ис. циль[у«[ги рзон)жшпи и рял Фурь( пи нозмуи(ешпгх[у лви. ж(ш)ки п)ь чс«и)4)и!ниц( ч«лл(ииог«движении явля«о(я хор»иш [ицн.и)и ии«й ирои«:(ури[й!.
и к[и ц(ьз)вини ! кицтрили(нпшть с»чии«[ь з«ичп[»[ич««киги рззложеиин..)(ля уир(пцеция излож«иич [и ш)нных и»«й чшолз мы огрвиичимсн;ми«ь рассмотрев)ич зи!«И»чи)4х зиш)чи)и«ких ши'нч, 1!у('!з лицпмическзя «ш !«М» иии!')4из«[ш[ .(И[1)ф('р«ииизльи[4м у(и((ии'ш!см х ! ырх -е!'(с, х), гзе г изрвчетр возмущс)шя,!1рн ! О реи)ение етого уравие. ция - )ригииич( [ричсски( фуикцци. Если сш ыча вилис)мя кии((риз)явной, то колебательное решшии ири г+(! (юи ци представим и ниде тригонометрического. ряз' кичффии!и и [[4 к[)[[ц)оги (нц)ел(лик)т(я иичпльиыми условиями и, слиз[ишыльио, чигуг бы[ь иыражши4 через пмилитуду иершгй гврчииики: а„а„(а), й„й„(а), лаяй. И общем случае ли(сшштиииые члены, ихоляиц(е и уравнение (И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
