В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Этн точки — точки бифуркации системы, В области г <г<4 показатель Ляпунова становится положительным, что свидетельствует о локальной неустойчивости системы. При г=4 наступает глобальный хаос, поскольку все точки в этом случае оказываются неустойчивыми. Эволюционное описание системы с помощью функций, определяющих зависимость координат от времени, в области динамического хаоса является неэффективным. В этом случае целесообразно ввести функцию распределения р(х), характеризующую вероятность нахождения частицы в заданном интервале (х, х+г(х). Если следующая итерация ие меняет заданное распределе. пие, то распределение является ииварпаитпым. Можно показать, что для треугольного отображения прн г=! инвариантное распределение равномерно покрывает интервал 0<х< 1. Более того, любое нормированное распределение сходится к инвариаптиому.
Конкретный вид распределения для систем в области динамического хаоса зависит от нида функции, задающей отображение. В частности, для логистического отображения прн значении параметра г=4 инвариантное распределение имеет вид 1 1 и )/х (1 — х) Мы рассмотрели простейшие модельные системы, в которых возмохсно возникновение динамического хаоса. Заметим, что это явление не является чем-то экзотическим. Динамический хаос появляется в большинстве нелинейных систем. В частности, такими системами являются математический маятник, па который действует периодическая внешняя сила, ротатор, возбуждаемый периодическим полем, система из двух связанных маятников и многие другие простейшие системы.
Волее подробно вопросы, затронутые в этом разделе, освещаются в специальной литературе ей "> Смн Шустер Г. Детерннннроаанный хаос. Мн Мнр, !988. Глава 16 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 16.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ В()ЗМУЩЕНИИ Опрсдслшшс эволюции некоторой динамической системы, описываемой дифференциальными уравпсниямп с задаппымн пачальпымн условиямн, сводится к решспи1о задачи Коши. (Корректность такой процедуры обеспечивается выполпшпгем условий теоремы существования и единственности рсшспнн спгтсаы дпффсрсппппл1 пь1х уравнений). В механике решение уравнений движения производится посредством построения первых интегралов, что позволяет в ряде случаев получить полное решение поставленной задачи.
Регулярная процедура построения решений в этом случае для канонических систем с помощью уравнения Гамильтона — Якоби рассматршшлась и гл. 8. Задачи, для которых решение уравнений мох1ет быть построено указанным методом, мы назвали интегрируемыми. Практически лишь и редких случаях удается найти полный набор первых интегралов, Более того, после работ А. Пуанкаре по исследованию динамических систем стало ясно, что существование интегралов движения является не правилом, а исключением, так что основной случай динамики — пенптегрируемые задачи. Заметим, что результаты Пуанкаре касаются существования однозначных иптсгралов для всех допустимых начальных условий и параметров механической задачи.
Это нс исключает возможности существования интегралов для отдельных значений параметров или начальных условий. Таким образом, решение динамической задачи в большинстве случаев связано с необходимостью замены уравнений, описывающих исследуемую неннтегрируемую систему другими, «близкими» к ней, но интегрируемыми, решения которых могут быть легко получены и отличаются от искомых па некоторую величину, которой можно пренебречь в рассматриваемой задаче, Существует большое число различных приемов н методов решения поставленной задачи, определяемых в конечном итоге как характером изучаемой системы, так н поставленными целями, Мы рассмотрим лишь некоторые простейшие подходы к решению этой задачи, В основе ряда методов тсорнн возмущений лежит теорема о зависимости решений дифференциальных уравнений от пара- метра и начальных усла13ий, Ра)имотрим дипамп>!сску10 сист те- му, описываемую дифференциальными урпнпгппимп х, =)1(х», )', «) где 1' - ), 2, ..., Л), (( )б) а е — некоторый параметр:шдачи, зависимость от кот ого предполагается достаточно гладкой.
В пачальиый ыамеит Ре. меня )=0 х) (0) =хм Как известно из теории дпффсршппшльпых урпипепий ли функции ))(х», г «) вместе са снапмп прапзиадпымп по х» иеирсрывпь) по всем исрсмсппым и иска)араб Об>ласти .О; и.== (О = г ( г„) х» — х„, ( » ~Ь„, ( ! то в екоторой об асэ! Зме еии51 1)рем Ок!ку ) щепке иачвльпой задачи пспрсрыииа па хп и пирпмстРУ «.
Если и„, указанных условиях пачальпыс апач«пни пиля)Отса параметра ми, изменяющимися и Некоторой аблпсти У)), та Рспп пяс задачи будет пеирерыи)ым такжс и па начали~1.)м ппрамстрвл! в пека торой области пзмсисипя ! "), Мы будем прсдпо)п)гать, чта прп и О рассматриваемая си стема является иптсг()ирусмап и )))япспие сс пзисгтпа. Тогда ре. шеиие системы, зависая)сс от пирам)прп х» х»(! «) Ири еи»0 является возмущенным. Очевидно, что для получении физиче ски садсржательнога результата пеобхадимо, чтобь) иыб>раппа) интегрируемая система урависпий — «эталонная» — у3)аилетво ряла некоторым условиям, сиязаииым с физической поставов кой задач механики. В частности, следует учесть этп обстав тельства — желательно выбирать интегрируемую эталапиую си стему грубой, Начальпыс условия в задаче Коши принципиально могу быть определены лишь с некоторой точпастно, поэтому жел» тельна, чтобы малые ошибки при их определении нс привадил к нараста!Ощим отклонениям в законе движения, т.
с. систем должна быть устойчивой. При выполнении указаппых условий зависимость решений с начальных зиачений и параметра позваляст строить рсшени описывающее возмущеипое движение. Перечкслим пскоторь!с из методов рсшспия задач дшшмии; Из наиболее простых методов, широко применяемых во ми) гих задачах, назовем метод вариаций паст!шппых. Прп пахан ,дении решений этим способом решение псиозмущсппай зада» представляется в виде х» х»(1, С)(1), а), причем при и= С)(!) =См.
Поскольку константы С» опрсделя!отея начальными услови ми, метод вариации постаяппых фактически предполагает, ч возмущенное решение может быть получспо путем пспрсрыви< «подстройки» начальных условий певозмущспной задачи. )и ») Сии Тихонов Л. Н., васильева А. В., Свешипиов Л, Диффереициильвыс ура»а»нии, Ми ))ау«и, 1980, ,ЗОО тод вариаций постоянных удобно использовать для определения частного решения линейной неоднородной системы. Одни нз эффективных методов решения дифференциальных уравнений динамики с памошыа рядов в конце прошлого нека был предложен А. Пуанкаре.
В основе метода лежит представление решения в виде ряда по параметру возмущения: к, (й С„, е) =- ~~ е "У„! (г, С„,), х=а который с учетом требования аналитичности по параметру позноляет построить решение задачи Коши. Еще один прием, широко используемый в задачах механики, связан с принципом разделения движений, т, е. с представлением закона движения динамической системы в виде х! (!) = х! (!) + ь! (г) Длн линейных систем такое представление может быть использовано, например, для задач о воздействии вынуждающей силы. Тогда У;(К) — решение однородной системы, а Ц! — частное решение неоднородного уравнения.
Разделение движений эффсктявно и задачах, где имеются различные характерные времи!Пыс масштабь), например в предложенном примере воздай" стеня быстро осциллирующей силы на маятник, собственная частота колебаний которого мала. В этом случае функции х>(!) опнсыва!ат некоторое усредненное дан>кение, а $! соответствует быстрым осцилляпиям вблизи этого усредненного движения. Существует еще множество приемов, позволяющих находить решения различных задач. Однако, как правило, прн решении задач используется комбинация различных методов. Так, построение рядов Пуанкаре в методе Пуанкаре — фоп Цайпеля связано с последовательным интегрированном системы неоднородных уравнений, которые удобно выполнять методом вариаций постоянных.
Метод приближенного решения уравнений для слабонелинейпого осцнллятора Крылова — Боголюбова или ме тод канонических преобразований в переменных действие угол, опираются па процедуру усреднения, основанную на методе разделения движений, и т. д. Широкое использование методов приближенного интегрирования создает иногда впечатление об их универсальности при анализе динамических систем. Следует, однако, помнить, что и большинстве случаен динамические уравнения неицтегрируемы, так что рассмотренные методы могут давать частную информацию лишь о поведении систем в ограниченной области начальнь>х условий и параметров. В других областях параметров требу>отея совершенно другие подходы.
Так, при описании существенно нелинейных пеинтегрируемых систем в областях глобальной неустойчивости, аналогичной рассмотренной в гл. 15, 301 пслесообразсп вероятностный подход, оспояаппыП пд введеаки функции рдспрсдслспии и Фас<оп<>м про<трппстве. К систеиди, в которых этот подход можс> Г!'<ть примоя< п прп иекоторих значениях параметров, о>по<итси т<<кп< хорошо п:Местные, кдк математический мдятппи пд '«>'"Рып >!сп' 'ау!<в периодическая вь<пужддк>п<дя с~ла, <юлппсйпыс осппллиторы с двуми и бжюе степспямп снободы, капе<и <<скпв:п<дпчп трех тел, электрический:<д1>>ц! в кулон<пиком поле, пв которыП дсПстпуст электро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
