В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Прп изменении параметра г кривая может пересечь биссектрису, например прн г>г„. В первом случае мы будем иметь два корня в некоторой области, т. с. два предельных цикла, а во втором случае предельный цикл отсутствует вовсе. Возмущение системы в этом случае может привести к рождению предельных циклов, причем, как следует нз привсденпь|х рассуждений, предельные циклы рождаются парами. Рассмотрим в качестве примера систему особых точек и осебых кривых фазовой плоскости математического маятника. Пусть ср — угол отклонения маятника от вертикали, б — параметр затухании, а ызз=д/1 — параметр.
Пусть для простоты б'<<ее~. Уравнение движения имеет внд ср+2бср+о4з(и ср=О. (2.15)' Введем фазовос пространство с помощюо переменных р=~р, о= =у. Движение в этих переменных описывается системой з ч=р р = — 26р — ыз з1 и д. Точки равновесия системы определяются условием р=-О, з)по=О, откуда р=О, з=-О, ~п, ~2п... ,11,ля определенна характера точек лннеарнзуем (3.15) в окрестности точек покоя: а) з)п 4= †в окрестности точек д„ = 2пз, д ==- д„+й; б) з(п4= — $ вблизи 4„=-.2пз+и.
систему В переменных $, п=р — отклонения от положения равновесия — система (3,15) имеет внд 1 = Ч, Ч = т- ю01 — 261, (4. 15) где знаки «-+» относятся к первому н второму случаям соответственно, Характеристическое уравнение Л(Л+26) з'--' ы' =- О дает для первого случая (у' г ба так что точка покоя здесь — устойчивый фокус, поскольку мы ограничились случаем 6~<ма' н полагаем иа' — — О. Прн 6 О эти точки — центры. Во втором случае Л~м~ = — 6 ~ ~~а +6'", так что Л+>О, .'~ (О и точка покоя — седло. Решенно уравне- ний (4.15) в окрестности особых точек имеет внд ~=А+а + +А а -, хи1 Ч=А~Л~.е"~+А Л е Собственные векторы, соответствующие значениям Л=Л„,, определяют положение сспаратрнс: т1 =ЛД .
При 6=0 в отсутствие затухания сепаратрисы начинаются в одном седле, а заканчиваются в другом, соседнем, так что плоскость вблизи оси абсцисс оказывается разделенной на ряд изолированных областей, внутри каждой из которых находится особая точка — центр, Поскольку фазовые кривые пе могут пересекаться, любая точка внутри ограниченной области никогда не сможет ее покинуть. 1'ак как в центре области находится точка покоя, движение могкет быть циклом, заключающим эту точку. Этот случай описывает свободные колебания маятника без трения.
Если начальные условия выбраны так, что изображающая точка попадает в область, внешнюю по отпошсншо к сепаратрнсе, то фазовые кривые здесь начинаются и заканчиваются на бескончности, так как точек покоя в втой области пет. Этот случай соответствует вращению маятника. Структура плоскости изображена на рис. 4.15.
у тухающего маятника картина резко меняется. Вместо центра возникает устойчивый фокус. Сепаратрисы седел плут в фокусы или фазовыс траектории из бесконечности попадают в седло. Траектории, начавшиеся вдали от фокусов, обязательно попадут и окрестности этих точек, и маятник будет Рис 4ЛЗ Рис. Бдб совершать затухающие колебания через некоторое достаточно большое время при любом выборе начальных параметров. Структура плоскости представлена рис, 5.15.
'16,3. ПОНЯТИЕ О СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Динамические системы, описываемые в рамках метода Лагранжа, испытывают воздействие со стороны внешних тел, задаваемых как силами, так и связями. В ряде случаев зависимость удобно задавать с помощью параметров, входящих в уравнение движения наряду с обобщенными координатамн. Зависимость от дополнительных параметров по су- 269 щестну означает, что прп оппгшпш лппамикн мы используем различпыс молслп, опрслслнсмыс иыбором соитие!ттиу!оа!их параметров, Апалопгчпая ситуации пь!ест место п при рс!пс ннн звцач, ког!и мо1!ель уже и!!б!!вив. Как и))!!пило, и процес.
се решения уравнений лнижсппя прпхолится лслать пскотормс приближения, мспяюп!пс и!холпыс урицисппн. Этп пзмсиспп,! приводящие к измспсп!по пгхоцпой мол!лп, т:!кжс могут бь!н, описапь! как [цйп хол к у(пни!спины,:пп4пс)пциы от 3щ()амсгрои Наконец, и выбор псхогпп)й молслп тини!с обусловлен пакете. рымн приближениями, и при ппвлпзс псобхолпьи! оцсипии!!, последствия псточпостн молслп. Понятно, что физически солсржательные результаты щш псслслонаппп (пп! !хпп'п таких сие!сз! будут получены, если пскоторыс псбольпш! пзмспсшгн параиет. ров залечи пе при!слут к качественным пзмспсппям н поведении системы, т. с.
сели моцсль оказьпмпстсн лостпточпо «г)!убой». Если перейти к оппгаппю лиижспия системы с помощ!,!о дифференциальных ураппсппй нила х!-.("!(ха, Л г„), где г, — параметры, хврактсризу!оп!ис систему, то прп изменении параметров возможное пзмспсппс ги!рактсри лппжсппя может поило !ь пзмепсш!с структуры <(и!зоипго простршптиа рас. сматрнвасмой системы. Как мы отмочили рппсс, система цпппмпчсгкцх уршшсппй порождает определенную структуру фазопой плоскости, характеризуемую количеством и нзапмпь!м рпсположсппсм особых точек и особых кривых, как солср>кащих особыс точки, так н ие содержащих нх.
Особые кривые опрслсляют топалогпчсскую структуру фазового пространства, Пространство варамстров, таким образом, может быть разбито иа области, н которых измспсппс этих парамстрои пс меняет топологяческой структуры фазового прострапстпп, сохра. няя количество и тип особых точек и их взаимное располомсе. ние. Изменение топологии, происхолящес при некоторых значениях, называют бифуркацисй. Исследование в этом иапранлсппн, иыполпоппос и работах А.
А. Андронова н Л. С, Поитрягнпа, привело к уточнению введенных понятий и положило начало математической теории бифуркаций, Понятие бифуркации системы и грубости опираетсн пп понятие топологической эквивалентности фазового пространства различных динамических уравнений или уравнений прн различных значениях параметров, Системы называют топологнчсскн эквивалентными, если существует гомеоморфнзм, свнзывающпй дне сцстомы; х!!(() и х»'((), т. е, ха(!) =д(х!(!)), где д Осущсствл5шт взаимно однозца1и!Ое соответствие, прн'шм хз(! ~ Т):=. л(х! (!+ 7)) для л!обого Т, Система является структурно устойчивой, если она порождает н фазовом пространстве тонологнческн эквивалентную систему особых точск н кривых, причем ориентированные фазовыс крш!ыс системы тонологнчсскн эквивалентны в некоторой области гюмснсвня параметров.
Структурно устойчивые системы называют грубымн. Системы, нс янлшощнсся грубыми, называ!от негрубыми, Значения нарвмстрон, нрн которых происходит перестройка структуры фазового прострацства, называют критическими. В общем случае характер изменения фазового пространства чрезвычайно сложен и недостаточно изучен, поэтому мы ограничимся лишь простейшим случаем — рассмотрим фазовую ил о<'кость, Рассмотрим автономные системы. В этом случае число особых фазовых траекторий ограничено. Это состояния равновесия, сснаратрисныс кривые седловых состояний равновесия и замкнутые фазоные траектории. Поскольку рассматриваются лишь грубые системы, то такие кривые, как сепаратрисы, идущие из одной седловой точки в другую, отсутствуют. Пазовом негрубые системы, которые возникают в момент перехода от одного состояния к другому, системами первой стенаш нсгрубостн, сели в результате изменепня параметров появляется только одна особая траектория.
Пусть уравнения движения соответствующим выбором переменных приведены к виду !)=,г!(!), г), р=-)а(н, г). Рассмотрим простейшие случаи. Пусть )!(д, г) = — !)'+г; )з(р, г) = — р. Тогда прн г<0 уравпения не содержат особых точек, а при г>0 пмеются две особыс точки: !)! я= А=Юг; р! !=0, Точка (!)„р!) — устойчивый узел, а точка (дм р!) — седло, посколшсу оба корня характеристического уравнения в точке 1 отрпцателш!ы, а в точке 2 имеют разные знаки. Изменения структуры фазавой плоскости показаны на рнс. 6.15.
Бифуркация рождения пары особых точек, одна из которых является седлом, а другая — узлом, называется седло — узел и является примером системы первой степени негрубостя. 27! й Лртгой тииичи!и! иример мин.ег быть!иь!) ни, если Риссмот. рсва систему гс! !! р Рис а!" При г<0 особая точка рч-й, Ии-О является устой и!иой особой точкой — устойчивый уиел,!1Ри г>О ии фи ~ иий илеккости по. явля!отея трн особые точки: пр!шем обе точки ! и 2 нилнкпсн устойчивыми точнамн— устой шными узламн. Тси!ка и=О, р-О ири г. О сгаиииитсн иеустой иишй точкой — селлом. Иэмеиеиие фалоиой илоскости н этом случае илгиострирует рис. 7,!5, Ряс, 7,!б рассмотрим и р и м е р, Пусть пеитробежный регул!!тор массы вращается иа невесомом стержне длины ! вокруг вертикальной оси и иостонииой угловой скорость!о ыч в иоле тяжести.
Ускорение скоби!эио!о иалеиия !т. Введем обобщенную координату а — отклонение от положен~и равновесия (рис. 8.!5). Поскольку функция Лаграгг>ка с ги!'а' игг~гсс Е..= — + з)пи а. Р гггд! соз а 2 2 гг игу г и, иг91 Рис, 9.15 Рис, 9.15 явно пе зависит от времени, сохраняется обобщенная энергия а!гас мг мс , г Я = — — — и! пи а — гггд! соз а. 2 2 Вводя аффективную потенциальную зпергчпо 1и„2 )г,„1,З (а) = — — З1П' а — Пгя! СОЗ а, найдем закон движения иг!с иа 2,) и' М вЂ” У~За(а) Поведение функции У„~,е (сгс) существенно зависит от величины угловой скорости, Точки равновесия определяются условном У,ее'=О, что приводит к уравнению з1п а (гс"; соз а — ьг') = О, где й'=д!! 273 При всех значениях ьм а=и — неустойчивая точка — максимум функции У'ье(а). При вэ<ьй точка а=-0 определяет минимум у„ьь(о), а при вэ>22 в этой точке имеется локальиь1)т максимум.
При этом значении появляется пара локальных мнпимумов в точках сов оьэ=()айвза. Вид функции У;вв(и) приведен па рис. 9.1ог. При значении Ж<тй( в системе возможны колебания. При ва<1з малые колебания происходят около положения, и=-О, и при вэ>Р малые колебания возможны лишь вблизи точек о=ась Положеияе равновесия а=О в этом случае стаповитсл .неустойчивым. Для анализа структуры фазовой плоскости системы перейдем к каноническим уравнениям, введя импульс р=дЦдц=тР гх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
