В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 37
Текст из файла (страница 37)
На это медленное движение накладывается колебание с малой амплитудой и высокой частотой >ео. Одновременно происходят малые колебания угла нутации О с частотой Ие. ,Дифференцируя это уравнение по времени, получим линейное уравнение для отклонения от точки покоя: Фр~ (з,+т(с) е+ ' " е=-тд(яп0„.
у,+тн Глава 14 НЕЛИНЕИНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ гчл. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ Рассмотрим консервативные одномерные системы. Динампчсские уравнения для этих систем имеют первый интеграл — интеграл энергии, что позволяет провести качественный анализ характера движения и записать формальное вырахсение для закона двпжепкя точки в виде — к т (' «х 1=* 2,)" 'У',»Г — С7 (х) (1.14) Здесь хз — начальная координата, а параметр ЗИ вЂ” обоб. щенная энергия, определяемая начальнымн условиями. Аналитическое представление закона движения связано с возможностью выполнить интегрирование, т. е. представить решение в ниде элементарных нли специальных функций, свойст.
на которых хорошо известны. Представление закона двпженияв явном виде связано с дополнительной возможностью обращения полученных функций, Ясно, что это возможно лишь в исключительных случаях для ограниченного класса функций (7(х) и, как правило, прн некоторых определенных значениях обобщенной энергии,Ж, т. е. лишь прп определенных значениях начальных условий. Будем называть задачу, допускающую представление решения в таком виде, невозмущенноГВ а соответствующее решение — невозмущенным решением: 237 х=х (1). Практический интерес представляет построение решения в виде «простых» комбинаций невозмущенных решений при некотором «малом» изменении потенциальной энергии.
Будем считать, что потенциальная энергия может быть представлена в виде (У (х) =(/» (х)+ Ю, (х), ° ' ' (2.14) где параметр в — «малый» параметр, который могкет быть связан с некоторым «малым» параметром, характеризующим отклонение от невозмущенного решения х(1). Назовем такую систему возмущенной, а слагаемое еУ, (~ ~ возмущением. В частности, возмущение может иметь еУ~ (х) = — ЬМ; что соответствует изменению только пачалт условий задачи без изменении сил, действующих на тсзым, Теория возмущений изучает методы построения решений мущенной задачи с заданной точностью в некоторой областгт з мепепня времени в анде простых комбинаций определегттт~ функций. Предположим, что возмущенное решение х=х((, е) при е — ~-О стремится всюду в области изменения переменной О- к1<1з к невозмущенному решению х((, О)=х((), т.
е. выпозхняется условие )х((, е) — х(~) ( -+О при в-+.О для всех ( из указанной области. Возмущенные решения, обладающие такими свойствами, тгы зываются регулярными. Возмущения, пе обладающие этим свойством, называют сингулярными.' Возмущенное решение мы будем представлять с помощт,ц~ удобных для анализа «простых» функций х=х(Г, з), которые при вФО могут отличаться от возмущенного' решению х=х(Г, в) на некоторую величину.
Если при з- О отличие исчезает, т. е. )х(г, з) — х(г, е)| -+О прн з-+ О, то' функции х(г',в) называют аснмптотическим приближеми~ва возмущенного решения, а соответствующая теория являетс.я асимптотической теорией возмущений. Для оценки отклоненття возмущенного решения от иевозмущенного удобно представитт решение в виде функционального ряда по параметру возмущения е: х ((, в) = Я х„(г) е". и-С Функции х„(г) могут быть любыми ограниченными функциями (кроме хз(() =х(()), но обычно в качестве таких функций вт тбирают решение невозмущенной задачи или функции, получаемые из этих решений с помощью последовательного интегрирования или дифференцирования. Конкретные методы построения таких функций определяют ту или иную теорию возмущений.
Мы будем рассматривать такие ряды, что Ае-я частичная сумма ряда хн (Е, з) = у' х„ (Е) з" »=О является аснмптотическим приближением возмущенного реше- ния, причем приближением с точностью порядка о(е»), т. е, (хн(Е, е) — х(Е, е)~ вн, е И» 2,) УМ вЂ” ЕЕ(») — ЕЕ,(») (3.14) Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных кс-~х<а подынтегральное выражение определено в каждой точке, т.
е. всюду в этой области выполняется условие Я вЂ” й(х) >с>а. Предположим, что в этой области существует иевозмущениое решение, удовлетворяющее аналогичным условиям. Представим подынтегральное выражение в виде произве- дения У,ж-ее(») — »ее,(»Ь т',ту-и (»), ме „, / Ь— Я вЂ” Е.' (») 2зэ Если ряд является сходящимся прп рассматриваемых значениях параметра возмущения е в некоторой областв изменения Е, то увеличение ЛЕ приводит к увеличению точности представления возмущенного решения. Асимптотическое представление возмущенного решения возможно и с помощью расходящегося ряда. Если ряд расходится при выбранном значении возмущения е, то частичные суммы могут быть устроены так, что при Ае<йЕ, точность представления возмущенного решения возрастает, и лишь начиная с некоторого номера АЕ„точность падает.
Асимптотические ряды могут быть использованы для оценки или вычисления квадратур вида (1.14), возникающих при интегрировании уравнений движения консервативных систем, Рассмотрим один из методов построения асимптотического ряда для такой задачи и обсудим условия сходнмости.
Пусть решсние возмущенной задачи представлено в виде квадратуры: . Еторой сомножитель этого произведения может быть пред ставлен в виде формального ряда, так что падынтегральное выражение имеет шьц и. О (4,14) что приводит к выражению Г(х)-:7(л)+Ж(х, а). Если закон движенна в отсУтствие возмУщеннЯ,-х(1) учет поправки дает неявное выражение для возмущенного движения х(г) ==х(г'-Ы(х)), Неявное уравнение можно решить методом итераций, если в мало, Первая итерация даст йг(х)" Л((х(г)), так что х(1) жх(1 — Ь! (х(!))) =х (Г) — т'(Г) Ы(х(Г)), Замечательно, что эта формула может быть использована н вблизи от точки остановки, хотя интеграл в втой точке расходится, так что разложение (4,14) оказывается неприменимо, Конечно, представление решения в виде ряда целесообразно лишь в тех случаях, когда вычисление членов этого ряда проще, чем интеграла (3.14), В системах, совершающих колебания, часть времени части.
ца проводит вблизи точек остановки, где подыптегральиое выражение имеет особенность, так как У вЂ” У(х~л)=О, Мы будем считать, что и в возмущенной и н невозмущениой задачах точки остановки находятся вдали от точек равновесия, так что У'(хгд)~0, Соответственно для возмущенной задачи точки остановки определяются уравнением У вЂ” 0(х~л) =О, в мы предположим, что Ц (хь2) ч60.
Рассмотрим возможность применения теории возмущений вблизи особых точек для определения периода колебаний возмущен- ной системы. Период колебаний невозмущенной системы опре- деляется выражением «к(««) Т(Я) ='1I 2пг уж — и («) ' к, ья') Для определения периода колебаний возмущенной снстемы необходимо вычислить интеграл «иа) «,)««) Предположим, что нозмущенне достаточно мало, так что всюду в области интегрирования выполняется условие равномерной сходимости ряда 1(~, которое нарушается лишь в граничных точках,. где Я вЂ” и(х, ) =си,(.т),). Подынтегральное выражение может быть разложено в ряд,, однако условия теоремы о днфференцируемости интеграла по.
параметру в особых точках нарушаются. Это приводит к нарушению условий сходнмостн ряда в точках х=х)а, поскольку при; х-)-х)л в случае У)(х,д)т'0 а ((«1(хпа)/(У У(х))! Бнномиальный ряд, представляющий второй сомножитель в. выражении (4,!4), имеет радиус сходимости )(=1, тзк что прн выполнении условия аи, (.) (5.14) подынтегральное выражение представлено равномерно сходящимся рядом.
1-1еранснство позволяет в заданной области изменения координаты определить велнянну параметра возмущения, обеспечивающего равномерну)а сходимость. Бели возмущение задано, то зто неравенство определяет область изменения координат, где ряд сходится равномерно. Равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно, поэтому при выполнении условия (5.14) решение возмущенной задачи может быть представлено в виде Пусть для определенности 17! (х) ~ О нс'одУ х!<х! а хз>хм т. е. точки лежат за гр",и!!!!а~~и !'б"" '" можного движения возмущенной задач»! ' оск! Ль"» ы!" Н1"'!н"„ лагаем, что У(х!л)ФО, прп вычислении ппт'!"Рпто" "' н'Риой суммы О~й.ч:и пределы и!!тегрпроваппи х! а кожно "'!х"пн"' '!'! х! !, причем ошибка выли!сдення пп'гсг1мла прн такой замен!' будет порядка е" "'.
Аналогичная оценка может быть получена '!л!' лк"б"й ФУпь ции И! (х), достаточно гладкой н удавлотворякнцсй! Услоппк! 17' (х!л) чьО. При интегрировании второй суммы пол!зи '!:!мс!'нт' пропи'- лы интегрирования для каждого слагаемого однако зтп сух!ма при сделанных предположениях пе преп!!'!ппгг с"и!гасив!о прп й=п, Таким образом, с помощью получспп!'го !'!"Р»»женин ьпя имеем асимптотическое представление пер!'одп ~е Т=~/ ~ "" — ' — '~~В .1 ~/Л вЂ” и(х» 2 ат х, х ( дх (7,(х)+... -!.О(е"), Переходя к пределу п-~с, имеем г т=т+Ъ' ' '»" е '" ~ 11(у'!!(х(1». а! дМ п=.1 в Здесь Т вЂ” период невозмущенного дпиичепня, х х(1) — закон движения точки в невозмущеииой задаче. Вообще говоря, условие Равномерной схолимости существенно, но не является необходимь!м для почлсппого интегрирования ряда, так что при указанных условиях ряд тсорнн возмущений будет сходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
