В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 39
Текст из файла (страница 39)
3,14, Полученные нами вы. рижсиия соответствуют первым членам разложения эллиптиче. ского интеграла по амплитуде при малых <р„,<1 и больших гро,-гс значениях. Область энергии М<гггф на рпс. 3.14 соответствует колебаниям, а при рйг)гпд! проискодит ирашение, В этом случае Т вЂ” период врашений. - пгрг а огс! Е Рис.
3.14 Рпс. 4.14 В области сильной нелинейности спектр колебаний маятника богат гармониками основной частоты. В пределе Ж-огггд! спектр становится непрерывным, что соответствует асимптотическп медленному движеггию. В этом предельном случае вычисление спектра особенно просто. Вычислим для примера спектр скорости маятника: +о 1 %о = г!г (!) ег" г г!! =— Л Л Ю сь —— 2 ого Соответственно спектр колебаний угла имеет внд соо 4го и го (24,14) л ог сь —— 2 мо В случае колебаний с периодом Т))2п!ого коэффициенты Ьо фурье-гармоник четной функции гр(!) приближеяно описываются формулой ого (го и и сог ск —— ого Характер спектра скорости в этом случае представлен па рис. 4.14, Спектр является дискретным с гпиринай между ли. пнями Лсг=аг(гро,).
Прн гро;+и Лег-об. Ы.З, ЛОКАЛЬНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦНЯ И ПЕРЕМЕННЫЕ «ДЕЙСТВИŠ— УГОЛ» Мы определили нелинейные колебания как фннптпое движение, описываемое нелинейными уравнениями. Основными характерными свойствами таких колебаний, в отличие от линейных, являются следующие: !) нелинейные колебания являются неизохроиными, т. е.. лерпод колебаний зависит от начальных условий; 2) колебания являются пегармоннческнмн, т.
е, закон дни>кения точки пе является зависимостью вида х(1)и=А з1п (ыр+ -+Чм). Прн исследовании нелинейных колебаний негармоннческий характер пх сильно усложняет описание. В частности, построение теории возмущений н виде аснмптотнческнх рядов,. рассмотренное в и. 14.1, удобно проводить, если нсвозмущенное движение — гармонические колебания, описываемые линеймымп дифференциальными уравнениями В случае консервативных одномерных систем удобно бывает провести замену переменных так, чтобы в новых координатах д(1) движение было гармоническим.
Предположим, что область возможного движения при не. которых значениях М ограничена, х, ч:хохм причем время достижения особых точек конечна. В этом случае в системе сугцествуют колебания, а закон движения определяется интегралом (1.14). Период колебаний — минимальное время возврата системы~ в исходное состояние — определяется выражением Здесь использовано обозначение контурного интеграла в смысле интегрирования по обеим ветвям уравнения (1.14) в зависимости от направления движения. Основная частота холебаний ьз=2л/Т. Отметим, что мы рассматриваем существенно нелннейпые колебания, так что частота колебаний зависит от энергии Определим фаау чь лияейно растущую со временем: ср=й1+ср,=й 3 — ( — ' +<рм (26.14).
Р' 2,) У Р~ — Ц (х) и введем ноную переменную а, которая будет периодической функцией времени с периодом Т, н изменяется по гармоническому закону: д=дзз)п ~р. В этом выраженни д,— некоторый параметр — амплитуда колебаний. Обобщенная скорость, соответ- 253' ствующая выбранной координате, определяется дифферепциро. ванием д.=д,йсозср, что приводит к интегралу энергии в новых переменных я'ч' а'90 — + — =— 2 2 2 (27.14) Мы построили гармоническую переменную, вводя промежуточные переменные цм у — амплитуду и фазу колебаний, В ряде задач эти переменные, удовлетворяющие системе уравнений первого порядка, оказываются удобными.
Однако эти переменные не являются каноническими. Нетрудно ввести пару канонически сопряженных переменных, вместо амплитуды анеля переменную 7=7(да) — действие, — зависящую от амплитуды дм Так как для гармоннческпх колебаний энергия (27.14) зависит только от амплитуды колебаний, а не от фазы, функция' Гамильтона зависит лишь от действия Выполняя дифференцирование получим связь между амплитудой да и новой переменной р: Р2 г ~'~о 2 (28.14) Канонические уравнения в,новых переменных действие — угол имеют вид (р = — =Г1(У), дЯ' д7 (29.! 4) = — — =-О, дЯ' дср 1 Т(Юг(У~. ,1 !2 (М'1 2п,) откуда следует, что Я=К!, а зависимость Я=Я(Я) от энергии системы позволяет определить переменную ! из первого уравнения непосредственно, не обращаясь к промежуточным выкладкам: г)ри этом предполагается, чта е1(Зв) не обращается в нуль.
1-! одставляя м интегрируя выражение (30.14) ио параметру Ж, получвм за- иисимость Р 2 $т/Я (1(х)г( — 1 Яр( ) ( 2и 2и 'З' иле р(х) — импульс, сопряженный координате х'; Выражая отсюда Я=те'(1), мы получим гамильтониан системы и переменных действие — угол. Частота основных колебаний определяется теперь дифферепиироваинем е)=дМ/д1. .Таким образом, использование переменных действие — угол позволяет ввести обобщенные координаты д=д(х), такие, что для л>обых фнннтиых движений системы с некоторым периодом Т колебания в этих переменных будут гармоническими (но не мзохроииымн).
Это свойство переменных привело к широкому использованию нх в теории. В качестве примера построим «гармонические» координаты для математического маятника, совершиощего большие колебания. Пусть энергия маятника Я=гщ1(1 — в), где е«1. Из интеграла энергии (9.14) определим амплитуду колебаний Ч>: тп( (1 — е) = — тя! соз 4р,„. Вводя 6 =-и — 4р «е. 1, получим Ь ="р' 2е. Период колебаний мате- матического маятника в этом случае вычислен нами: Т(е)= — 1и=. 4 8 (Оо !'2е Это выражение позволяет определить переменную 1: 1(е) = — ~ Т(У) г(У= 1,— — е (1+ !и — ), 1 и - тф > 32~ 2и д >ч», е Зпачсине константы 1, можно вычислить, используя выра>кение прн е=О: 1 и .
8жи 1» —— — т(тр (<р) дФ =- — е>», 2и $ Е где >р (ч>) =- 2ыю саз —. 2 255 Таким образом, для перехода к переменным, изменяющимся гармоническому закону, достаточно ввести амплитуду д,= 2х —, где 1= — ы, ~1 — — ~(1+!и — ~), /2! вер ~ е / 32 ~' У -и 'на(,е а частота колебаний яюв 32 1п— е Переменная д(1) =дав(п(01+~рс) является искомой перемени Приведенные рассуждения показывают, что основным к: терием нелинейности, системы выступает пеизохроипость ко баний, т. е.
зависимость периода или частоты от начальных ловнй. В дальнейшем будем называть колебания велинейпы если они являются нсизохроннымн в канонических перемена во всей области возможных начальных условий. Глава 1б ОБЩИЕ СВОИСТВА ДВИЖЕНИЯ Важную роль при решении задач динамики играет качественный анализ, который позволяет изучить общую кпртппу движения н наметить подходы для решения уравнений, Используя подходящие для данной задачи методы, апалитичесмпе илн численные. В прос1ейшем случае одномерной консервативной динамической системы качественный анализ может быть проведен с помощью интеграла энергии, как показано в гл.
3. Это исследование позволяет установить область допустимого нэмепспия обобщенной координаты (область возможных ,>ьннжепий), определить «особые точки>ь в которых скорость обращается в пуль, и оцепить время достижения таких точек. С помощью качественного исследования можно определить число н положение точек равновесна системы и установить характер равновесия (устойчнвое нлн неустойчивое).
Знание этих характеристик системы позволяет исследовать движение вблизи точек равновесия, как это рассмотрено в гл. 3, а также поктроить приближенное описание, например асимптотическую тсорик> возмущений. Выбор подходящего способа такого описания движения существенно зависит от характера и располо>кення особых тачек и начальных условий, определяемых констапгой интегрирования — энергией системы. Конкретные при. меры построения теории возмущений в зависимости от характера и расположения особых точек и начальных условий рассматривались и гл. 14, Кроме того, качественное исследование позволяет установить зависимость структуры фазового пространства динамической системы, т.
е, числа, расположення и типа особых точек от параметров задачи. Прямером такого исследования является ана>лнз состояния равновесия центробежного регулятора в зависимости от угловой скорости вращения, проведенный в гл. 15. Аналогичным образом можно исследовать движение консервативных систем с двумя и более степенями свободы, если н системе имеется достаточно первых ннтегралов, с помощью которых можно разделить переменные н свести задачу к одномерной, Для описания движения в этом случае вводят некоторую «эффективну>о потенциальную эпергиюж Такая ситуация возникает, например, при исследовании движения в цептраль- 257 я в.
Р. халилаэ, Г. л. чюков пом поле, нс зависящем явно от времени. 1Лсследоваиие общи~ свойств движения этих систем принципиально пичем ие отличается от случая одномерного движения. Вдипствеипым отли чвсм является то, что эффективная энергия будет зависеть от констант интегрирования как от параметров, т, с. в этом случае характер особсшюстсй 1количсство п расположение точек рвв повесив и их характер) определяется ие только внешними па рамстрами системы, ио и пачальпымп условиямп. Для гамильтоновых систем с и стспспями свободы, имскп>шх и интегралов движения, как следует из общей теории, всегда можно провести разделение переменных и проинтегрировать задачу, так что рассмотренное качсствеппое исследование с помощью интеграла энергии отпосптся к интегрируемым задачам динамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
