В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Система канонических уравнений имеет вид Р вр ' и =- — щй( з(п а+ пгРвч з! и 2а(2. 'Особые точки фазовой плоскости определяются соотношением между в, и Я. При ыа<1) имеются особые точки а=О, р=О и а= ч-п, р=О. Точка и=.О, р=Π— центр, а точки и= ч-тс, р=Π— седло. При ыэ>Ы появляются дополнительные точки покоя р=О, а= ~-гм, где соз иа=ЯЧемз, Линсаризуя уравнения в окрестности особых точек, составим матрицу коэффициентов характеристического уравнения — л 17тР тР (в-,' соз 2а — эз' соэ а) — Х Из условия де1ам=О определим значения А и соответствующие им собственные векторы )1л(а) =.+ У в'-' сов 2а — Йэсоза. В точке а=О и при вэ<ьз зти точки являются центром.
При ва>Я Х~>О, Аз<0, 1т к=О, так что особая точка — седло. Собственные век- торы определяются из условия ! бац,).1, = — бр! э, вр бр~ э(0) = ь гиРР 'У во%э — 1 ба1 в При а=п 274 так что седловые точки имеют здес1> сенэратрпсы, опредсляемые эекторамн бр1 (и): —: к- кп!'-'Ы 1(!в„Я)'+ ! ба~а. Структура фазовой плоскости системы до и после бикруркаппп изображена иа рис, !О.!б. р/т1~~ эпч15г Рис.
1О.!5 Исследование рассмакриваемой динамической системы с трением, пропорциональным скорости, с помощь1о квадратичного интеграла энергии представляет трудности, так что дки анализа этой системы метод фазовой плоскости представляется наиболее удобным, Пусть в системе действует диссппатпвпая сила, пропорцпоналы|ая скорости Яэ= — 2иа. В этом случае М,= =Я"а<0. Уравнения движения с днсснпацией имеют вид ! 1 а= — р, экю р = пк1э (ь4 соз а — йР) э!п и — 2ир)кп)э.
Положение особых точек иа фазовой плоскости остается неизменным, однако их характер существенно другой. Введение затухания можно рассматривать как некоторый дополнительный параметр. При я>0 система является грубой по параметру всюду, за искл1очением тачек бифуркации по ока а к=0 — критический параметр. При этом значении фокусы переходят в центры.
Для определения структуры фазовой плоскости пря к>0 построим матрицу липеарпзовапвой системы н характеристическое уравнение Здесь введены параметр г= (кэз/~Я) э (0<г< со) и функция ~р(г, а), определенная для особых точек уравнения кр (г, а) =г соз 2а — соэ а. К<<р<$$$ характеристического уравиепия ири <$ (:) .. (к/«$!з!!)' оиредсляк<т устойчивые фокусы. 1!ри Ч<(г) >О особые точки будут или устойчивыми ) <лам<<, если оба корив отриивт<льицс, лиГя< ггдлпми и <л)чис ),,), О В систем< возможны диа тини Пш)<уркиииП.
Во.<$<р<$$<х, <иреход фокус — узел ири Ч (т) -1 — --) и, <ш вторых, иере<о<и узел- 1, ) седло ири )$< .О. рассмотрим зти нозмож<инти. Ллн точки и- +л,, 'р-О <р(я, г)--(! $ х), тик что для лк<бых г ~.<>0, )<з<0, и точки яил<иотся «сдлом. Для точки ц-О, р-0 Ч<(0, г)-! — г. !!ри $$~г<г< -!— я — ! — ) 1$$$)«аз<О, тик поособаяточка — устобчиныП фокус, тая квк 1!г А<а<0. При а<се<1 )<<а<0, и точки иргири<пвется н устоПчииыб узел, При г>1 <р(0, г)<0, тик что !.< $$, )<<О, и устоПчииыГ< узел иг(н ходит и седли.
Таким оГ<рвзом, и<$ мере увеличения уг,тоинб скорости вра. ихеиия затухпкицие малые колебания и ш<регтиогти т<<чки а 0 $$$$!<гх<<д<$$ и $$$<ср<$<$$$$<м<<<$<$<г, и,<;<тем !«чк<! «иноки<<я ист<тоб. чши<П. !бифуркации ири «„<г «$$$($«$«ок<$<$< << и шци<л<иигм иа. ры ус<<<О шшях точгк ири <ч<>!1, как было показано ранее для случвя к-0$ Г!рн г<гз=!+ — 1$$<Х<л О, Х<,т ч-0, <а(<$$ т.
е, появившиеся асобыс точки — усто0чивыс узлы, движение вблизи которых — ппсри<ци<ч<чкш колебании. При г гз!ш)т<0 и происходит бифуркации, ирснршипкиппи зтп точки в угтой. чивыо фокусы. Процесс псрсстробки <(«<.и<<<об плоскости можно изобразить иа диаграмме, иоквзыипкпигП хнрактср и и<рижские особых то <ск и зинисимости от ипрпмстрв (риг.
11,!П). Здесь сплопи<<<П толстой лиииеП отмечены угтобчииьи фокусы, точка. мн — устобчипые узлы, а сил<ншюб тпикоП лииисП вЂ” ссдловые точки, Х<<р<$$<т<<р Г<ифуркиции ии фа:нпоб ил<<скости вблизи тач. ки «О'-!$ изображен ия рис.
12,!Г$, В <том случив из устобчипого узла ири и= 0 иоянлястся седло ири и 0 и иври угтобчииых узлов и т<шкпх и- иьр. Пи рисунке изображена окр<чтиость т<<чки и -О, р--б, С)Г<$$$<$$$ <т(<уктура фи<ошп! ил<<око<то и характер криных и случае к>0 и <вв>0 изображены ив риг. И.(б. Характер бифуркаций, рассмотренных выше, весьма разнообразен, однако существу!от некоторые правила, запрещающие произвольное рождение пли уничтогкеппе особых точек, Отбор возможных бифуркаций можно провести, вводя индекс Пуапка- Рис, ! !.15 Рвс. 12.16 Х1 Рис, 14,!В Рис. 13,15 ре. Пусть па фазовой плоскости имеется произвольный замкнутый контур Г без самопересеченнй, не проходящий через особые точки.
Пусть в некоторой точке контура гг определен вектор фазовой скорости. При обходе контура векторы фазовой скорости, определенные па атом контуре, будут поворачиваться и, совершив некоторое целое число оборотов й, вернутся в ис- 277 хадшк положение п точке р. Если определить уго:! между «ек. тарами !))п,п)«ОИ !'ка)пптп п ш)киям.)п)бо по)'топпцым пппрпп))с цисм, пппримср осью .сь то угол ц)мсчпы)гц пп пел«чццу ЬО 2п)), '!псла осп!)п)тои, ош«ршсипых нектаром прп об)о)д ° контура, иазыцпстсн индексом замкнутого кингс)п! Г.
()слп сц. стсмп диипмпчсскцх уриш«шв' шгсд)д)см й шдпчи :,— Р,(.с„), ), 7, ), '), ..., ЙХ) то, поскольку ! П и )д! я . — (гт)И0:: — ))' ! егс!(( — ] — (~) — !— 1 Р ! с I, l) с ! Р/)«/а ))<)7) Очсцпд)п), что если ц)чаду и обла си, огы птыпиемпй поит)ром, подьштсгрпльипк фуикпш! и сс ирапзиодпы! псирсрыцпы, то /'- И, В особ)ек точкпх 7)д О, так что зппмспптссп. 7)(п)Г«! «брпщаетсп «пуль, что может итти к иир)ипппкм псирсры«п)пзд! для того чтобы «силн)чпть о)опии тички, псов)о)димо ри)сцпт.
рпцпг! м)шгосцпзпук) облпсп (рис И.!6)). Тпкпм обр;шом, длц опрсдслсици цид)ксп крпппй псос)холпма цып«сеть сумму индекса« кривых Г„окпп))з«пкп)спх особыс точки. Поскольку крш)у)а Г, м)оьпо рш пол)гжп)ь «псшпрсд)т. венной б)лизости ат особой точки, то прп цычп:пипи интеграла мо)кпо ограничиться линейным прпблгакеш)см д;и фуцкпий (! и )ж !!Ол))г))я бх, =. апбх, + амбх„ бхз =-.
а,)бх! - (- «„йхсп где бх; х! — х!), х„— каор!)пииты особой точки, выберем в кечестис каитура интегрирования Г, зллпис (апбх, ~ а)збх„)з-) (и„бх, ! аьцбх„)' 1, Тогда зпамаиетсль падыитегрельиага пырзжсипя абрек!естся и единицу, п интеграл цмеет ипд а),«„— «)!«)! Я 6„( 2п по !)) (6х)с((бх,) — бхз)((бх,)) 25, где 8 — плоп!адь эллипса; Ю :- и ~ а))а)! — а))аз! ) ', а казффипиецты разложения определяя)т зинки корней х))рактсрйстпческого урки«опия У вЂ” Х(а„~ аз!) ~ (а„а„— а),а„) =.О, тек что Х!)), а„а„— ама,), 27к Это приводит к выражению для индекса Пуанкаре Й=Е!)е/~ Е!),,~.
Отс!ода получаем индексы кривых, охватывающих особые точки. Для центра и фокуса Ха=А)н, так что Х!Хв=!Х(' и /!=+1. ,Для узла 1ш 1=0 и оба корпя отрицательны, так что Х</сз>0, т. е. /!=+1. Для седловой точки 1ш Х=О, а Х,Л)<0, что приводит к зпачешпо й= — 1. Обход регулярной точки не повора~ии)тает вектор фазовой скорости. Таблица па кексов Пуанкаре Регулнрннн тонне Слал з т)тозе ус Тнн оетзбенноетн Узел Центр !!плакс Пуанкаре Если па фазовой плоскости имеется замкнутая интегральная кривая, например предельный цикл, то, поскольку вектор фазовой скорости па такой кривой квсателеп к пей, оп поворачивается па угол 0н 2)! Прп полном обходе контура.
Таким обра- ЗОМ, ВНУТРП ЗаМКПУТОЙ ППТСГРПЛЬИОП КРПВОЙ ДОЛжца ПаХОДНТ!зея хотя бы одна особая точка, имеющая индекс 1=+1, Есги! в контуре имеется несколько особых точек, то количество седел на единицу меньше, чем других особых точек. Более подробно пзложепие этого вопроса см. в книге Б о гол юбов Н. Н,, М пт р о пол ьс к и й 10.
Л. Лспмитотпческпе методы в теории нелппейпых колебаний, Мп Наука, !974, 1бд. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ При исследовании неавтономных систем возникают серьсзныс трудности даже в случае систем с одной степештю свободы, Это вызвано тем, что явная зависимость уравнений движения от времени поро)кдает 11)ивовые траектории, которые могут пересекаться. Самопсрессчспие траекторий пршюдит к очень сложной и запутанной картшш, плохо поддающейся анализу, если время наблюдения достаточно велико по сравнению с характернымп временами системы. Поскольку полная картина фазовых траекторий становится неудобной для изучения, и теории неавтономных систем применяют другие подходы, основанные на наблюдении систем в некоторые определенные моменты времени, — стробоскопнческнй метод п метод отображений Пуанкаре, В обоих подходах при описании движения системы происходит переход к точечным отображениям, характер и общие свойства которых позволяют судить об особенностях движения и прн необходимости восстанавливать фазоную траекторию.
Особенно эцн1)сктивны эти методы Для анализа ПРедельпых множеств. 279 При использовании стробоскопического метода состояние системы иа фазовой траектории фиксируется через определенные промежутки времени. Обычно этот метод используется для систем, па которые действует периодическая внешняя сила, В этом случае удобно выбирать интервалы, равные пли крат. ные периоду внешнего воздействия. Отображение Пуанкаре — описание састояшщ системы в моменты, когда достигается заданное значение одной нз динамических переменных, например координаты нли импульса.
Использование отображения Пуанкаре позволяет эффективно понижать размерность фазового пространства, поэтому оцо часто используется для описания систем, фазовое пространство которых имеет размерность больше двух, — таких систем, как систома двух связанных нелинейных осцилляторов н т. п. В этом случае при наличии интеграла энергии, дшощего дополнительную связь между динамическими переменными, отображение Пуанкаре оказывается двумерным. Возникающая при этом картина состояняя может быть изображена па фазоаой плоскости. В системах с одной степенью свободы отображение Пуанкаре позволяет перейти к анализу с помощшо функции последовании, которую мы использовали при изучении предельного цикла. 11етривиальный характер фазовых траекторий существешю усложняет и структуру предельных множеств (аттракторов) неавтономных динамических систем. Как показывают исследования, в случае неавтономных систем возможно появление сложцо устроенных предельных мпоисеств — странных аттракто(юн, имеющих фрактальную структуру.
Поведение динамической системы в этих случаях за время, превышающее пекоторос характерное, становится похожим на хаотическое, которое плохо описывается с помощью обычных методов классической механики. Такос явление называют динамическим хаосом, Некоторое представление об использовании стробоскопического метода для анализа неавтономных систем дает изучение ротатора, ма который действует периодическая внешняя сила. Рассмотрим диполь, образованный зарядами +е, находящимися на концах невесомого недеформируемого стержня 1, помещенного в поле плоского конденсатора (рис. 15.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
