В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

22.)5. !О' 29! Для более подробного анализа поведения математического маятника, характеризуемого отображением имеющим максимум, рассмотрим модельное отображение, Осповныс свойства поведения системы можно получить, аппроксимируя фупкцшо )(<!ь М), полученную в результате численного решения динамического уравнения, параболой. Пусть у (х) =гх(1 — х). Для удобства анализа выберем масштаб по оси абсцисс так, чтобы при изменении угла ф движение происходило в области О~х ~! и у(О) =О, у(1) =О. Отображение в этом случае опредсляется единственным параметром г, Мы будем полагать, что этот параметр, характеризующий положение максимума функции, выбран так, чтобы выполнялось условие О~у~1, что соответствует области изменения параметра О-ч'.г<4. Такое отобраэкепие было введено в 1845 г.

П. Ферхюльстом для анализа размножения популяций и называется логистическим. Предельное множество (аттрактор) па фазовой плоскости определяется положением и устойчивостшо неподвижных точек логистического отображения, удовлетворяющих уравнению х= гх(1 — х). Две неподвижные точки этого отображения определяются сле- дующим выражением: х,=О, Поведение отображения можно исследовать или графически, построив лестницу Ламерея, нли аналитически. Как отмечалось выше, неподвижные точки отображения будут устойчивыми, если выполнено условие )е' (х))(1, В противном случае точки будут неустойчивыми. Для логистн- ческого отображения у' =- г (1 — 2х). Это приводит к следующему выводу.

При г(! точка х,=О является устойчивой. При увеличении параметра г эта точка ста. ловится неустойчивой, однако в области 1<г<3 устойчивой становится вторая неподвижная точка: 1 х. =-. 1 — —. г При дальнейшем увеличении параметра в области г>3 непод. внжная точка отображеьчия х, такжс становится неустойчивой, так что у рассматриваемого отображения отсутствуют устойчивые неподвижные точки, Однако логнстпческое отображение порождает множество отображений; р„== ~р„(х) =-. ср (гр (... ср (х))). Рассмотрим подробнее квадратичное отображение вида у, =- гр (гр (х)).

Неподвижные точки этого отображения определяются условием х= да(х). Очевидно, что все неподвнжные точки отображения р==Ч(х) являются также неподвижными точками отображения р = гр (у (х)). Однако при г>3 у квадратичного отображения кроме рассмотренных выше появляются дополнительные неподвижные точки, Отображение рз(х) осуществляется с помощью полинома четвертой степени, так что неподвижные точки отображения определяются системой уравнений ! х~.=гх (1 — х ), х =гхч (1 — х+), решение которой имеет вид х„=- — (1+г ~ '$/(г — 31(г+ 1)), 2г Очевидно, что при г>3 появляется сразу пара неподвнжиык точек вместо одной.

Для определения области устойчивости неподвижных точек вычислим производную отображения в этих точках: ЙД р у' (х~) = — у' (х~), где г = у (х~) = х~, ~а Вычисляя ее как производную сложной функции уз (х ) = у' (х;) у' (хе), получим )р, (х )) = ) г" — 2г — 4), Отсюда следует, что при выполнении условия 3 г<1-~ )/ б неподвижные точки рассматриваемого отображения являются устойчивыми. Дальнейшее увеличение параметра г приведет к потере устойчивости точек хч. и х .

При этом отображение четвертого порядка будет иметь четыре неподвижные точки. Исследование устойчивости этях точек аналогичным путем громоздко н поэтому обычно проводится численными методами, Заметим, что бифуркации удвоения периода порождают пары новых устойчивых точек, которые при болыпих значениях п — числа точек — располоясены в непосредственной близости от породившей нх точки, которая стала неустойчивой.

Это позволяет применить приближенное описание процесса рождения устойчивой пары, рассматривая лишь малую окрестность неподвижной точки. Пусть х=хч +е„, где е««1 — отклонение от положения равновесна. Рассматриваемое отображение у=-уз(х) переводит эту точку в точку х++ з„+1 = ре (х++ е„), Поскольку е.«1, ограничимся лишь квадратичными по е, членами отображения: х++ е„ы = у, (х~ )+ уз (х+) е„+ — уз (х+) е„, Вычисление производных дает уз(хч.) =д'(х+) у'(х ), уз (хз ) = у" (х, ) у' (х ) + у' (х ~ ) у" (х ). Таким образом, отображение у, преобразует е-окрестность неподвижной точки так же, как логическое отображение е„+, = аз„— Ьззг Для квадратичного отображения параметры а, 6 элементарно выражаются через параметр г; а=г' — 2г — 4, Ь=-г(4+2г — гз+3 Уг(г — 3? (г+1)) 994 Линейная замена переменной 2 ра 1+а ь ь и введение нового параметра г =.

а + 2 = гз — 2г — 2 приводят полученное выражение к лагистическому для пере- менной $ и параметра г; р=г1(1 — 5). Потеря устойчивости неподвижной точкой 5=$, что соответствует х=хе, произойдет прн г=З, т. е. бифуркационное значение параметра г, определяемое из уравнения г' — 2г — 5=0, совпадает с полученным выше: г=1+)/6. Масштабное преобразование окрестности неподвижной точки можно последовательно провести и для следующего отображшпмь Самоподобие бифуркаций удвоения периода при последовательном преобразовании масштаба называется скейлингом. Отметим, что точность аппроксимации возрастает по мере увеличения порядка отобран1ения.

Преобразование параметра г =- г' — 2г — 2 в свою очередь можно рассматривать как некоторое отображение, осуществляемое оператором Я: г=Ь. Существует неподвижная точка этого отображения, определяемая условием г = гз — 2г — 2. Отсюда легко найти величину параметра логнстического отображения, прн которой число бифуркаций бесконечно: 2 Это приближенное значение параметра хорошо совпадает со значением, полученным в результате вычислительных экспернментов: г =3,569945...

Полученный результат подтверждает, что бифуркации удвоения периода обладают скейлингом. Скейлинг приводит к тому, что при больших значениях числа удвоений периода и значения параметра г„ ггри которых происходит бифуркация, удовлетворяют условию -и г„— г -6 Константа 6=4,669 называется константой Фейгенбаума. Пре'дельное множество логистического отображения, которое при г=г„состоит из бесконечного числа точек, называется аттрактором Фейгенбаума.

Движение систем, имеющих предельные ипвариаитныс множества типа аттрактора Фейгепбаума, во многом носит случайный, хаотический характер. Это обусловлено тем, что точки таких аттракторов являются неустойчивымн. Устойчивость удобно характеризовать показателем Ляпунова — величиной, определяющей средшою скорость разбегания двух близких точек за одно отображение.

Пусть отображение задано функцией у=гр(х). Если точка, характеризующие состояние динамической системы, находятся вначале на расстоянии 6<<1, то после пкратного применения отображения расстояние между ними определяется выражением бъ = (гри(х+6) — гри(х) != ) ~" (' (6, дх Определим показатель Ляпунова следующим условием: а(х) = 1!гп — !и —" =11гп — ~ 1 6„. 1 ! жр„(х) ,»и 6 и~ гГх Предел и- в этом определении введен для того, чтобы характеризовать предельные множества, содержащие бесконечно много точен.

Если рассматриваемая точка является неподвижной точкой отображения, т. е. х=-гр(х), то, поскольку справедливы следующие равенства: 6, = !гр(х+6) — х1= гр'(х) 6, 6,=- )грз(х+6) — х(=!гр'(х)(6,= (гр'!'6, бх=! р 1-6, показатель Ляпунова вычисляется элементарно: о(к) = 1п)гр'(х)1. Таким образом, для устойчивых точек, когда (гр'! <1, показатель Ляпунова отрицателен, а(х) (О, а в случае неустойчивых точек, когда !гр'!)1, этот показатель положителен, а(х) >О, Вычисление показателя Ляпунова в произвольной точке возможно лишь в исключительных случаях. В качестве примера 296 можно рассмотреть треугольное отображение, задаваемое на интервале 0<х<1 функцией гх, 0 <х< —, 1 2 г(1 — х), — =х<1, 0<г<2.

1 Вщоду, кроме точки х=1/2, выполняется условие ~ р'(=г. Отсюда следует, что для гпобых точек показатель Ляпунова п=1п г отрицателен прн г<1 и положителен прц г>1, Такам образом, прп г> 1 все точки оказываются в среднем неустойчивыми, разбегаясь экспоненциальпо быстро. Поскольку при этом опп остаются внутри интервала 0<х<1, возникает явление, назынаемое динамическим хаосом.

Расстояние между любыми двумя близкимп точками за конечное (и малое) число итераций окажется порядка размеров интервала. После этого система «забынаетз о начальных условиях и движение ее представляется случайным, хаотическим. Аналогичные свойства проявляет н рассматриваемая система с логистнческим отображением при достаточно больших значениях параметра г. Аналитическое вычисление показателя Ляпунова н этом случае затруднительно, однако численный анализ системы показывает, что прп г<г показатель Ляпунова всюду отрицателен, за исключением конечного числа точек, где он обращается в нуль.

Характеристики

Список файлов книги