В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 45
Текст из файла (страница 45)
11о<колььу и рпссм)и[)$))<азамом случпс крииыс )>-0 и )э-!) Ис сшишаик>г, мсжлу то'В кз) и ы й< и $<< ! 1 образустск истин, $$>ВО<$3<3$<ь ко)ирой:э',. [!рсобрн»гэ)заике, <иуп<с<чилнсмос ошригором эиолк>иии >, 3)рсобра.)ует агу петлю и истлю мсжлу точкнмй <Г' ! 1 и <з< $2, 11оскольку Гэпрелелитсль матрипь< э[кой)3 Л иск>ду иа фазоиой илоскости равен едииицс, площадь (<(>азо<))зГ< $>бъсм) чтой иатлй сокриняетсээ ири диижсиии: Таким образом, сжатие точек ио мере приближений к Ваепод<3$<ж<<ой точке ирш)олит к уислич<иию нмилитулы истли и [эа) эб>егпшио точек ри«м<<гр>и>$<смо<о ииаириаипнио мио>костим Окрс<ти<к'Ги и<!<или)<жиой точк<! (и, О) точки йииарии!)т )ГОГО мпожсстна, иикодииишс<к иа искотором малом отрезке кр)Ввсэ)$) )>:--й, могут Оказдтьсн как и иеиосрсдс)$)с)<иой близ<эсти друг Гэз друга, так и ии р<и<тоя<$$$$$, <риииимом с расстойиисм меэ) эту !<с<)о>3$<$<ж<<3<м<! точками полного отображсйин, ьложиан сгру>чзури такого ирсдсльиого миожсстаи ипзыиист<я гомокл<$3$)тнеской и иисриыс бьыш шГслсдоиаиа Л.
1)уаикарс. К<<рт<$$$33 $$<'иолии>к<<ыз точск Отобрйжс<<ий !' Яалиатса сУш6 стисиио бил<с с<<ож)<ой, чсм рис«мотрсшши иамн. носк<)-ОВ Всу < п<р;ггор <лшлк>пии г<исрируст <читсму Оператороа, осузнесч'- илккзших отображения за иериод, за «аа пер<<ада и т, д, В на- ака стностн. оп<брал еннс за дна периода определяется системой уравнений 2й» ! и Ч „- Ф»йп (Ч „—,' <й и Ч „- < 1»), 2/», 1» . ' 1»-"з(п4» — й»йп(Ч,--йз<пЧ» /»). Крпъи' <и'пп;нш ы<<зз <пчсь, р'!««ын<!и'иных пани, Опера'!Ор /з !«м!«< и<в.<ннжныс <очки, определи«мыс нз у«лопай <- « ! — «йп Ч дп 4 -- <нп Ч, Деза.зьиос н««ледонаиис структуры фазовой плоскости рассматриваемого итог<рнисинп проведено н <иепиальпой литсратуре, Н шклншсиис <<тметнм сннзл между рнс«мотрсши<й системой «ли< ьр< ыгым нрсм<исм н лпнамичсскои системой, пиисынвемой диффсрсдпиа.ииымн уранишпгнми второго порядка.
!!у«ть иа. чд.~! н<!««<н <пнин« си<тем<4 <!иране!<сап точкой и»- ! (<Г» <, /»-!). 1(н)ярд<и<!«ирине<кикс оператора»над<опии <кренодит систем) «пдш!.зд и п<чь) и», д затем и <<н<к) и»<„причем Ч» Ч» <; /»„ /», ! /» -/<г(п <Ы,.
1!«к,<к<чан и! этой системы /, иайлем ю<нзь межлу <р,-«, Г н Ч'»+ <: Ч,! — 2Ч» ', Ч -! — йь(п<Г» Поскольку Ч»»! — Ч.-Чт, где т — период «нстсмы, то левая часть уравнения представляет собой одну из возможных ревлнзвннй диффсрсиниалшвго оператора второго порядка с ио. мо<пью разиостиой схемы <)т'= <р,„! — 2<р» ! Ч,. !.
Б пределе т- 0 мы перейдем к дифференциальному уравнеишо второго порядка, оии«ыннкш(ему математически(< маятник: <Г .' ы! з!и <у О, где Р /г/тз, Такам образом, параметр й являет«я шагом иитсгрнронания, пыра к«иным в безразмерных переменных, !!ри д»~! снойства молели;игскретныз отображений хорошо передают снойстна рсиюиия дпфференпиальиого уравнения маятника (типичная величина шаги интегрирования Й-О,()!), !!ри увеличении шага интегрирования н пбшгстн й ! свой«тин дискретной модели и <кирерыной суше<тасино различаются, !! качестве второго примера неавтономной системы рассмотрим математический маятник, па который действует момент силы, запаздынвюшнй ив некоторое заданное дрема отиоситель.
287 по определенного состоип>я системы. Пусть иа мнят>шк действует момент силы М, которьш вкл>очается спустя время То!й после прохождения маятником точки ма>!сима>и~поги отклонения, а выкли>чается в момент врсмспп То. (Здесь Т>, — период малых колеба>шй маятника: То=2гс)с>о.) Будем считать, что в течение этого времени момент силы остается постоянным.
Урнннспне двиг>сепия ма>гоника, иа который дейстнуст такой момент силы, имеет ннд Ч>-1 своз>пй> -М(!). Действие такой выну>кдюощсй силы будет приводить к росту амплитуды малых колебаний маятника, как показано па рпс. 19,15, поскольку работа внешней силы за период положительна: Д„;= ~ б! М (!) 1>(!) =- 11. о По мсрс увеличения амплпту. ль! Период 'колсбпппй матс'мвтп чсского маятника булст увеличиваться, ток что н тсчсппс некоторого нрсмспи за каждый псрш>д момент силы будет оказывать тормозя>цсс !юздсйстнпс 1!слп н пачпльпый момент врс.
мспп угол отклопсппя ми>гп>пки достаточно велик, то ноздсйст. нис нисп>ней силы н целом зв период приведет к уменьшению амплитуды колебаний, поскольку работа внешних сил н этом слу. час может оказаться отрицательной: Га >> ~>о >гос. >9,>5 Аз=~а И(г)Ч(!)<О. О Для анализа системы построим функцию последонапия, рассматривая точки пересечения фззоной траекторией системы оси абсцисс при ср>0. Эта функция позволяет определить максималыюе отклонение (амплптуду) маятника в области положи. тельных значений углов по предыдущему отклонению.
Поскольку при малых значениях углов момент М совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний, то в этом случае ср,о»ср„, При больших углах отклонения спрнпсдлюю пропивополо>кпое неравенство: ср„+><ср„. Функция последоваш>я является непрерывной, поэтому существует такое значение амплитуды ср, что ср„+>=ср„. Это означает, что отображе. ннс, порождаемое функцией последования, имеет неподвижную точку.
Вели неподвижная точка отображения устойчива, то фазоная кривая, проходящая через эту точку, является устойчивым циклом. Для оцсикп поведения функции последования и полоисе>сия предельного цикла па фазовой плоскости предположим, что действующий па маятник момент достаточно мал, так что он существенно пе меняет закон движения маятника за период. В этом случае для оцешси изменения эиерги>с маятника за период маисно воспользоваться методом итераций, проводя ннтегрирование в выражении по невозмущенному двихсеппю ср((): соя сро н> =-соя сро — ., (ср(Т„) — ср(То>2)). >>с сомо Для малых колебаний маятника можно считать, что движение происходит по гармоническому закону, но период колебаний зависит от амплитуды.
Ограничимся первым порядком теории возмущений для вычислен>ся зависимости периода колебаний маятника от времени, полагая, что применимы формулы для свободных колебаний маятника; Т (ср„) .= То (1 1- сро) 16). Изменение амплитуды колебаний за период в этом случае лег- ко опсннтсь используя теорему об изменении энергии: Ео+> = — Ео+А, где Е„= — то>~ ~соя ср„и ср (с) =- ср„соя со1. В этом приближении функция последования выражается через элементарные функции; м г,> соя ср„+>:--соя сро — —,, (сояо>То — сояо> — ~ ср„. ""оо 2 ) Неподвижная точка отображения определяется из уравнения соя соТ вЂ” соя — =- О, о 2 решение которого дает амплитуду установившихся колебаний маятника: о з' Уз' Учет конечной величины воздействия внешней силы и изме.
пения закона дни>кения маятника при больших углах отклоне. пия несколько меняет поло>кение неподвижной точки отображе. ния, График функции последования для И=0,19 приведен на 10 в. Р. хсмнлоо, г, м ссижон 289 Рпс. 20.!б,б !!Рп увеличеи'!и имп"!нтуды внешнего воздействия максимум крппай Растет аси!оиременно смешаясь в сторону мспьпп!х зпичспий """""""'" ь!мпз!!'туды колебаний, а угол, пад которым кривая пересеки!т приму!о у=х, растет.
!!епадвижпаи гочка отабрахсепии с Рас™ амплитуды Ваздейспгия сме. щастся в область больших значений начального угла отклаисиив. Рнг. 20. ! б Для определении устойчивости поподвцхииой точки вычислим произ!юдпую фуикшп! Последования в этой точке. Малое отклапспис ат раппапсспага гагтоиння будет нарастать, т. е. цикл будет неустойчивым, если выполняется условие !!Р'(л) ( 1, При малых М, как следует из проведенных расчетов, предельный цикл является устайчипым, однако прн некоторой величине внешнего воздействия система теряет устойчивость и аттрактор, имекпцпй впд замкпутай кривой без самопересечсний, разрушается. Структурная псрестрайкп фазовой плоскости происходит при М-0,195.
При дальнейшем увеличении внешнего воздействия и рассматриваемом случае происходит изменение аттрактора, который прп 0,105<.".М<0,215 представляет собой кривую, имс!ащух! спмапгрс!! гения н возвращающуюся в пачальпук! точку пасла двух оборотов вокруг начала каардииат. Бифуркации, происшедшая и этс>м случае, называется бифуркацпсй удвоения цикла. Фазовый портрет аттрактора, возникшего и результате бпфуркашги удвоения цикла, приведен па рис. 21.!5, и, Дальисйпп!й анализ устойчивости этой системы удобнее проводить, введи фупкцп!а паследова~ня за два периода: Рч+э =- И(!Р )) ~а (!Р.) Фуикция последования для этого случая приведена иа рис. 21.15,б сплошной линией, Как следует из приведенного графи- ка, после бнфуркацнн удвоения цнкла имеются две устойчивые точки — Ч1 н Чс.
причем для каждой нз зтнх точек выполняет. гн условие т. е. отображение за период !Г,ы-((Ч ) перенадит одну точку и др)тукь !с Ряс. 2!.1б Прн М 0,2!В обе неподвнжные тачки отображення одновременно теряют устойчнность, а на плоскости возникает аттрак. тор, представляющнй кривую, возвращающуюся в исходную точку фазоаой плагкагтн лн!иь после четырех оборотов, На )з крниой, изображающей функ.
цнк! послгдоняппя гпгзсмы нас лг чг!ырсх оборотня гочки нв фа.юной плнаког!и, нознпканзт чг!ырс устойчиныс точкн. Дальнейшее унелнченне мо. мента М, действующего иа ма. ятпнк, прнводнт к паследова. тельному удноенню чнсла ага йта йт! 222 м устойчнных точек снстемы н соответственно к погледова.
Рнс. 22,!5 тельному удвоению периода системы. Пронсходяшее янлс шц назына!от каскадам бнфуркацнй удвоения цикла, Сн. стема неподвижных точек представляет предельное множество дпскретпога оператора знолюцни, порождаемого функцией последования. Диаграмма, нзобража!ащая структуру предельного множества, прнведена на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
