В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 36
Текст из файла (страница 36)
>> — ~а а >> — 4 Оч>ииаио, чш И, И„ири Ц/ оо, но >очки остается иедостижияхой, Лилии дни>к«иин и н«им случае сщшада«т с никоном движения ма>«матин«скоп> ман>иик» прн Е .К„.. Более иодробио и«слпипш>ь характер лиижсиия ири аасрпш Е Еа+е, где еК ° Ф;Е,, мо>>.и«л ирои«ли хам«иу и«рсмсииых, своди калачу к задач«и лииж«иии ми>«ми>нч««ки>о маятники. Для упрощении обо;и>ачеиий внедем вместо констант Еи М.определяющих энергию м момент твердого тела, иерем«ням~ раамерности у~л~~~й скорости И,„и Имк опредсляемые следующими уравнениями: Вращению 2 3 Я!о=О!о том, =зло: вокруг оси е, соответствует случай з>зо=О н а движение при Е=Е, происходит так, что ззз= ззсо = зззо = ьзо. > з Рассмотрим подробнее для определенности случай, когда !газо ~ ~йо айза, ззз.= ззз з! и — ..
м 2 Изменению переменной — я<а<и соответствует изменение ззз во всей возможной области. В этом случае для переменной справедливо уравнение математического маятника и у-~й "со (!+, + ~ыз з>зо (Зб,!З) где з сззо с>со а=2 л'зо Этот случай соответствует вращению математического маятника, определяемого углом ц, При гс((! период вращения легсло оценспь, используя сшиванне решений. Введем характерную частоту ыз = йв~2зо =М!о. Закон движения для переменной а записывается в виде квадратуры а ! сСи ло С== 3Г2,) ~/ ! +с>+зази о ' Этот интеграл является эллиптнческнзл интегралом первого рода, так что закон движения можно записать в виде о>зс = ~ йр ( —, !л ), где й = ! с'-у' ! + сс>2. 1 2 С помощьсо полученного выражения можно определить период колебаний угловосс ' скорости для интересующего нас случая что соответствует области возмо>ксльсх изменений вектора Я от вращения вокруг осн ез до вращения вокруг е,, Поскольку в этом случае область слзменення Яз ограничена 3 > з условием ззсо(йз Йз~ можно ввести переменную а с помощью следующего уравнения: д~С 1, 11спользуя разложение вллиптнческого интеграла прк л= 1, получим опенку 2 32 Т =- — !и — ", М!и ч Этот же результат можно получить непосредственно из квадратуры, нсполь»уи метод сшивания решений, изложенный в.
и. 14.2. Вдали от точек остановки закон движения имеет иид И,(!)=ам() ы„д Соответственно для компонент й, и ззз зависимость от времени дается выражениями (37.13) Графики зависимости компонент угловой скорости Иьз от вреишш приведены на рис. 2.13. Рнс. 2.!3 Для определения зависимости углов Эйлера от времени выберем лабораторную систему так, чтобы сохранявший вектор кинетического момента был направлен вдоль оси ОЯ; М-Мспз. Учитывая явные выражения для козффипиентов матрнпы азз. а,з-=(еп пз) з!п $з!пб, а, .--(е,„пз)=-соз фз)пб, а,,- (ез, п„)=-.соз О, 2В! найдем проекции вектора М на орты е„, что сразу же даст явную заввснмость углов нутации и собственного вращения О, ~> от времени: соз 0= — 'й,((), (д1р = — — '" ()~ й) м„"' ' (.
П(И ' Угол прецессии определяется из кинематнческих формул Эйлерв квадратурой ))~ Мп Ч3 ()) (- Пк с05 ч) (Л р(()= и(+ ф~, з) и 0 ()) '(Зо.(3) )за. ГеометРическАя интеРНРетлция ПУАИСО Проекции вектора М на орты е; системы, связанной с твердым телом, изменяются: М,.=у,„й„,е;. Учитывая, что компоненты этого вектора выражаются через компоненты вектора угловой скорости й: й='й егн вычислим скалярное произведение (М, й)=у„.„,й,И,„=-2Е. Поскольку энергия в рассматриваемом случае является интегралом, то полученное соотношение означает, что сохраняется проекция вектора угловой скорости на ось 02; ЕЕ й,== М Таким образом, концы веитора углоной скорости при движении будут лежать в некоторой плоскости Р., перпендикулярной вектору кинетического момента, а в нашем случае — осн 02.
С другой стороны, сохранение кинетической энергии приводит к тому, что величина вектора й меняется, так как геометрическое место концов вектора определяет эллипсоид инерции У,.„й,.йм = 2Е. Представление о движении вектора угловой скорости твердого тела в случае Эйлера может быть сделано наглядным, если учесть, что в этом случае вектор кинетического момента М сохраняется. Сохранение направления вектора в пространстве фиксирует плоскость движения. Выберем систему координат некоторой ииерцнальной системы отсчета так, чтобы орт пз был направлен вдоль вектора М: М=-Мп„. Таким абра.!с!и, лнижсиис нсктара угловой скорости прп вращении спсрласп сслп прап«холит так, как будто эллипсоид ни!рнии вскссспссн.
бсп праскпльпынанпя по плоскости Р„. сйшмсстпос выполнение услоннй движения эллппсапда ни«риси! Па плоск!!с!и ( !11в:-- l„„.l„ф1е,Ц„ ~ 2Е .,), 111!е (39.!3) пе)руина покппптсь что на плоскостях есе, и е,е, проекции линий перс««чспин абрппуют семейства эллис!сон. с! ! с! !в) с)! св (св — св) Сев в в — --1, )е()е — св) Ив се(~е - (в) П" а й (40,13) а про«канн ип плоскость есев определяет семейство гипербол: !! ()с — lв! ()! )в Ув- !в) "з Я 2 1.
~е ( )е-- ~в) с)в !е ( се — )в) с)е о ев ппр«л«лпс! ьрипьн - сачки ьп«пнпя пла«кости Ре и эллппсопда пнсрипн. В ьссссрссннссспх, сняшппых с тнсрдыч телом, где теп. ппр щн рнии сппгоп;!лс!! (ар !и е„), эси урана«пня опрсдслякм псшсрюса«)и «фсры А) А)в и эллин«опдп иисрцпп Е=Ее! в 1 ! А4е в )сФ ', !"..1. ) )1(е1,', 2Е в,/,11! '!-,1,Д1в+ (4Г', Персссчепис спих поверхностей определяет геометрическое ме. сгст !очек спптеьствп лскссврл уютолой сьостосгг! — наладки, Вно- дн кспштщпы ув сй вместо Е и М: 2Е = !е()е А4~ Ге(1е, са,а, твердое ТелО ВО Внешнем пОле, СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА В случае твердого тела, движущегося в залапиан кпсшнсх! иоле, псрехшппы«рп:с!сслнются, н )шшеппе может быть получшю н инде квадратур тальк!! н некоторых специальных случаях. В случае Лагранжа д)щжсние происходит в а„пюрпдпам палс тяжести и предполагается, чта прпщакнцсеся тело обладает «их!в!с!трисй, так что !! /веьУв, Прс)!положим, что и этом случае орты е, выбраны так, чтобы опн санппдплн с глпипымн осями тснпора инерции, а лабораторная система орисптиращснп так, что сила тяжести направлена вдоль оси пв.
Мы будем предполагать, что твердое тело имеет иеподвижну)а точку, китс!рая находится нп расстоянии ! от центра масс, н выберем начало лабораторной системы О, совпадающим с пепадниж- ной точкой. Положение твердого тела относительно ннсрцнальной лабораторной системы пь мы будем задавать углами Эйне. ра, как показано на рис. 1.13.
Для составления уравнений движения твердого тела в этих переменных может быть использован лагранжев подход, Кияетическую энергию вращающегося тела удобно вычислять, используя теорему Кенига, Н этом случае функция Лагранжа легко вычисляется: Е = ' ~ (Оя+ сря я(пя О) + — '" (ф+ гр соя О)~ — тд) соя О. 2 2 Поскольку функция Лагранжа не зависит явно от углов прецессии ~р и собственного вращения ф, в системе сохраняются соответствующие обобщенные импульсы: Ра = —. =. ((1, + тр) я(п' О+ (а соя' 0( ~р -(.
з'а Ф соя 0 == Р,„ дь а д,„. Ра —— —. —.- Уа (ф + <д соз О) = Р»ч. дв д1а Кроме того, функция Лагранжа пе зависит явно от времени, что приводит к сохранению обобщенной энергии, которая в данном случае совпадает с полной: Е = '+ (О'+гр'я(п'О)+ — '(ф+ср соя О)я+тй4 соя О. (4!.13) 2 2 Поскольку число первых интегралов задачи равно числу независимых координат, возможно провести разделение переменных н получить решение в виде квадратур. Подставляя выражения для обобщенных скоростей в интеграл энергии (41.13), мы приходим к уравнению с разделяющимися переменными Е = 31+ тР ОЯ+ и фа (О), 2 (42,13) где У,,ч,а — эффективная энергия, определяемая выражением У,ьа — — + + тй( соя О. Р„(Р --Рас 501 21~ 2 (Л+ тР] я(п~ О Решение уравнения (42.13) в виде квадратуры получается элементарно: Л+ мн (' ОО 2 ) У Е вЂ” (гз,рф (О) Область возможных значений угла нутации О определяется условием Š— И,аа(0) )О.
При Р'-'Р" функция ((м в(О) обращается в бесконечность при 0=0, и, а в интервале между этими значениями имеет минимум. Таким образом, при любых Е двн- жеиие происходит и области О!<В кйо, где О!а определяется ус- лависх! (",фе[(!., о! -Е. !! абш«м гл)шс рсшсчпк уроиисиия (42.13) будет весьма граоса!лкпм„олюшка и !икапюры.! чос!иых слу и!ях рсшеиие мо. жс! бы!ь иалучсио и ечшм!и!зриых фуикиикх. В частности, те- ла мажст и(ииц!!!ьси вокруг ксргикильиой оси, вайлем условия, ири жо!арык оио нрзиииис суи(сг!иу! г и устой!1иикь 11тс !ь И((! и !1ри з!ам ар$ы со и ио п)виола!от, тзк что ! '„Р,. 1(асьазьку (! ! ! ! И, У еф —,; — 'г — —; — „! тй!.-Е.
'» и(! (43,13) 2З, Н (З, ! 1! аьрсс!кости !очки какая 0 О эффективная потепциальиая эзи !цив х!Иж! ! бы!ь р;плажсип и ряд иа 0: ро '! ао У~ Е ! ( — — 4тя(~ —. (/, (а,о / а Функ!(ии имеет мииимум при О-О и случае Ре~>»в!д1(/! ! т!о), (44,13) иоэьзму ири иыиалисиии условия (44,13) движение тела вокруг вертикальной аси устойчива, Яру»ой случай -- иссиларегуляриая ирецессия при От'0 осущсс!и»!ис!си !вкжс ири л»гстаточиа большой скорости вращения тели иок!)уг оси симметрии. Пус!! параметры залачи выбраны »ак, что »ро Оо О, а»)!отоО, 1! этом случае интегралы движения выражшатся через зада!шыс зиачеиия углов и угловых скоростей: Р,-~.ф,сов ба, Р,-У.ф,.
Эффективиая эиергия для задаииых условий имеет вил 2 2(l~ ! !о(о) е(и" И Значение полной эиергии, при котором 0 О, Б У,ее(0,) =- — +тц( саз Оо. (»Ч'оз 2 Для исследаваиия движеиия вблизи точки 0-О„разложим (/ооь ио степеням е Π— Оо, ограиичиваясь степенями е ие выше второй.
Интеграл энергии имеет вид -Ь:Ь вЂ” — е' етй4 е!п Оо — ;е'. з!(о "з'!'о 2 о 2 ((1+ пио) ' 'Решение этого уравнения при начальных условиях е(0) =О, .е(0)ФО имеет впд е(1)=2п~д(япбо ' ' яп' — ", где >е,,- — - — ' у +тр , с яс> е >е>ре )с р " о ' " > )т»' 3 с Учитывая полученное выражение, нетрудно получить зависимость углов Эйлера от времени, используя интегралы задачи Фр.=- . ~ — шФ вЂ”.ь)»ее ~+сро тя! ,>'>+ т)> г>>р> ге ре О = ' >г>п>яп О„яп' — о--Р О„, 2(У1+т)>) я 0„1 .е > ,) >1>о (46.13) те) сов вс,1 1,0+ т)е) те) сое Ос, > е ео > Ч' ° Фре Движение можно рассматривать как медленную прецессию вокруг вертикали. Скорость прецессии тем меньше, чем больше угловая скорость собственного вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
