В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Учитывая это условие, умножим скалярно каждое уравнение системы на бг; н сложим все уравнения; ~' (т!гь бг!)=~" Р!збг!+~' Ф,бгь Если связи допускают виртуальное перемещение системы кзк целого, т. е. среди всех виртуальных перемещений существуют такие, что Ьг=бг, для всех точек системы, то, вынося бг! за знак суммирования, получим уравнение и и бг) т!г;=бг~.' Фь ! ! (=-! так как у ГО=О в силу третьего закона Ньютона, Пусть бг=пбг, причем я=О, т. е.
существует такое неизменное в пространстве направление, вдоль которого систему можно сдвинуть как целое, не нарушая связи, Тогда Р.=~~', Фы, (2.!3) где введены обозначения рп=(р, и), Ф!,=(Фь и) Применительно к твердому телу теорема позволяет найти движение центра масс )х вдоль направления, задаваемого вектором и; МЁ„=~" Ф1„. (3,13) 212 Для свободного твердого тела теорема дает максимальное число уравнений, равное трем, и позволяет полностью определить движение центра масс. Для описания вращения твердого тела относительно выбранной системы отсчета удобно использовать теорему об изменении кинетического момента. Пусть уравнения движения каждой точки системы имеют вид (1.13), а связи допускают поворот системы точек как це- лога, т.
е. виртуальные перемещения каждой точки представи- мы в виде бг, = ]бсргс]. «,13) Мы полагаем, что неподвнгкная тачка — начало координат, Умножая скалярно каждое уравнение на бг; и складывая, полу- чим уравнение сс и ~гс, асс«с]бср='5' ]гсрс/]бср+~" ~г/Ф/]бср, С=г с~*/ /-1 Здесь мы учли, чта для идеальных связей виртуальная работа равна нулю: БАн — — у' ксбгс =О. Саа Поскольку внутренние силы, действующие между точками системы, лежат па прямой, соединяющей этн точки, и подчиняются третьему закону Ньютона, получим условие 1гсрс/] = О. с~/ Если существует такое направление в пространстве, определяемое векторам п, что бср=ибср, причем п О,то,вводя обозначения (6,13) М = ~~ ~1гс, пссгс], Ь=~ 1г/Ф/], с-с придем к теореме аб изменении проекции кинетического момента системы на направление, определяемое вектором и: С" л ~ сс <6,1 3) Если твердое тело имеет лишь одну неподвижную точку — начало координат, то связи допускают вращение тела вокруг лсобой оси, проходящей через начало координат, что приводит к теореме об изменении кинетического момента как вектора: г' %=1..
(7. 13) Рассмотрим, наконец, теорему об изменении энергии системы материальных точек с идеальными голономными связями. Предположим, чта в рассматриваемой системе связи явно не завн- 213 бг; = е1го В этом случае изменение полной энергии системы равно мощности всех активных снл, внешних н внутренних. Действительно„ пусть уравнения связсй имеют вяд у'у(г, У) =О, 1=1, 2„...,/,, Внртуальныс перемещения удовлетворяют условию (тджх бг;)=О, а действительные, происходящие за время Ж, — условию фД дг~) + — г11 = — О, ен яу Очевидно, что пг=йг только в случае стационарных когда — = О.
а/ ау Пусть связей, г(г; =- У;г(Г = бгь Умножая кахгдое уравнение на Нгь учитывая, что мы рассматриваем систему с идеальными связями, виртуальная работа которых равна нулю: я 6А =~~~ й,бг;=О, у ! и после суммирования по всем уравнениям системы получим со- отношение М ч-н сленг, 1е' внутр + )н внеан е ну й (В.13) где ж',в„„='Ь' ЕПЧе, рре„„не=~ ф,Ч,.
Если в системе действуют потенциальные, гироскопические и диссипативные силы, так что аи ду; 214 сят от времени, так что виртуальные перемещения могут быть выбраны совпадающими с действительными: то, вводя полную эпсрппо системы Е=Т+У, получим теорему об нзмспспни полной энергии системы точек с идеальными го.
.лономными связями; (1).13) ((( д( .где %'""' =-~ г('""г( — мощность диссипативных сил. ( -.. ( Применим рассмотреннью теорсмы для описания движения твердого тела. Поскольку движение центра масс твердого тела, описываемое теоремой об изменении импульса, пичем не отличается от движения материальной точки, подробно изученного нами ранее, рассмотрим более детально движение твердого те.ла с одкой пеподвии(пой точкой. Будем полагать для простоты, что эта точка совпадает с началом координат выбранной ииерциальпой системы отсчета. Пусть г( — радиус-вектор точки гл( твердого тела, Так как скорость этой точки относительно системы, связанной с твердым телом, равна пулю, то из формулы (4.13) следует г; =-(»1, г(), (10. 13) где»» — угловая скорость тела.
Вектор кинетического момента в этом случае определяется формулой М = — Х т; (г( (Йг)), (11.1 3) Для упрощения формул перейдем к тензорпой форме записи: >И), = ~п)(() 6»ых(' б тпигРпхо . и> (и и) Подставляя значения координат и проводя суммирование по повторяющемуся индексу с учетом формулы (3,13), получим выражение для вектора кинетического момента: М» = ~' то) (х(п х,'О 6„„— хп' х,",) ..
(12.13) н) Величина, стоящая под знаком суммы, является симметричным тензором второго ранга и называется тензором инерции: У» = ~')и(() (х,'ох((пỄ— х(',(~х~п), (13.13) и) так что выражение для кинетического момента может быть представлено в виде М» — —,/»„й„. (! 4.13) Тензор инерции характеризует распределение масс твердого тела. Теорема об изменении кинетического момента твердого те- 2!5 ла, имеющего неподвижну)о точку, с помощью введенного тензара инерции в лабораторной системе имеет вид д — (1д„Л ) =.
В», где йд — момент впешних снл, действующих иа тело. Р))ссмотрим теперь изменение полной энергии твердого тела. В общем случае по формуле Эйлера г; = Чд+ 1йг;). Мощность внутренних сил равна нулю: Кдд„„= '5' Г),Чд + Х Г); (11г,'1 =- (й, ~' ~ Гы, г,' — г!)) = О, 1Ф/ ).—./ так что изменение полной энергии обусловлено лишь внсшннмн силами: Я ае э!)д д~ ад а) д! 1=-1 Кинетическая энергия твердого тела в случае вращения с одной неподвижной точкой также может быть выражена через тензор инерции.
Действительно, по определению кинетическая энергия твердого тела как системы материальных точек и, Ф ч-) днг) ! ч-э У =~ = — ~ 'т,[йг)1'. и Х'..! (15.13) Таким образом, тензор инерции оказывается важнейшей характеристикой твердого тела при описании вращательного движения. )3.2. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ И ЕГО СВОИСТВА Введенный нами в предыдущем разделе тензор инерции системы точек д) 4д„= ~ тц) (х, х) бд„,— хд х ) (о и) а и) дч) 1 (17.1З) 2)а Подставляя выражение для скоростей точек и переходя к тензорным обозначениям, получим т!)) б дьйхт б дпр11дхр = 2 ')тдРмРи (1б 1Е) )=) для твердого тела, плотность которого р=р(х,) выражается с помощью интеграла У„„=- ~ Нг'р(х,) (х,х,бь„— лэх„).
(13.13) В лабораторной системе отсчета компоненты тензора инерции являются функциями времени, поскольку распределение масс, характеризуемое координатами точек хопа, меняется при вращении, Однако в системе отсчета, связанной с твердым телом, эти координаты остаются неизменнымн, так что компоненты тепзора в этой системс — постоянные величины, определяе'- мые лишь распределением масс и не зависящие от каких-либо характеристик движения. Как следует нз определения, тензор инерции является симметричным тензором второго ранга, имеющим шесть независимых компонент. Диагональные компоненты тензора называются осевыми моментами инерции, а недиагональпые — центробежными моментами инерции.
Соответствующим поворотом осей, связанных с твердым телом, можно привести тензор инерция к диагональному виду У„о 0 0 0 Уэ причем в силу положительной определенности кинетической энергии все осевые моменты тензора инерции будут иеотрицательны, Диагональные моменты в этом случае называют главными моментами ипсрции, а соответствующие осн — главными осями инерции. Для определения главных осей инерции необходимо найти такие направления в пространстве $, которые не менялись бы под действием матрицы У~, т. е. собственные векторы преобразования, определяемого тепзором инерции: (19.13) У, х„,=-Лхн где х — компоненты собственного вектора в системе, связанной с твердым телом, Л вЂ” собственные значения.
Существование решениИ системы (19,13), не равных тождественно нулю, возможно прн условии сне((!Уы,— Лбв„!) = О, 217 что определяет три действительных карня Льэл=Уькэ — трн главных момента инерции. Введенный тензор инерции связан с моментом инерции тела, вращающегося вокруг заданной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
