В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 51
Текст из файла (страница 51)
6 — "—— ии л, (и) а В(в) а (0) -ам (!1.16) а, Осциллиру1о1цис члсиы а, и й, можно определить из уравнения (16.!6), звмеиия интегрирование по времени интегрированием по фвзс, с учетом сделвнных приближений: ((„(А) = а„(а), Й„(А) = И„(а). (18.16) 321 11 В. Р, хаянхов. Г. Л. Чнаов Для представления решсния уравнения (8.16) в форме Крылова — Воголюбояв и псрвом иорядкс по е подставим иолучсипыс иырпжспкя для амплитуды и фвзы в (12.16): х(!) ав1пф+еи,(а, ф), где о з-,1д„(а) сог в~6+ Ь„(а! Мп а1(> 1 г о)о ! — аг о=-г Приближения более высокого порядка по е можно получить таким же путем, подставляя полученные выражения в правую часть (14.!6) и вновь повторяя изложенную процедуру. Метод Крылова — Боголюбова можно использовать для анализа движения математического маятника в среде с сопротивлением, Если момент снл сопротивления пропорционален скорости, то уравнение движения имеет вид ср+ 2бгр + о)ог з! п ср =.
О, (19.16) Здесь д — угол отклонения от вертикали, Возмущение в этом случае описывается функцией е1(гр, (р) = со6 (ср — з( п гр) — 26гр, Подставляя в это выражение гр=аз!пгр, срг амосов ф н раскладывая возмущение и ряд Фурье, для коэффициентов разложения получим йг (а) = — — 2баог„ lг, (а) = а, '(а — 2l„(а)), йа (а) =- — 2огг,,(а (а), где п=2Й+1, 7„(а) — функции Бесселя. Остальные коэффициенты равны нулю. Уравнения (17.16) дают а (() = аоа-о', а б (а)=0,+ — "" ( да 26,! аг а Для а<<! поправка к фазе выражается через элементарные функции б (а) = 8, + — ' (аг — а'), 326 о так что зависимость фазы от времени имеет вид г ф(()=го„(+ — '(е-гм 1) 326 322 Закан движения и виде Крылова — Вагалюбоиа н >приам парилке ио параметру возмущения представлен иыражеинсм ! е-л З>л>>(о! ср(!) аек в>з!п>р 1- — ~ з)п(2а ! !)ф.
2 ь',С оса ! !) л.> 1>овсе подробно этот метод и ириисдсниый пример изложены в оригинальной литературе '>. !ВВ. линейные уРлвиГния и метс>л вкв Т м — — ° в<1, Т, мв Такие системы мы будем называть снстсмамн с мсдлсиио измсняюип>мися парвметрамн. (20.16) ю Смс Боголюбов Н. !1, М нтр о повлек на !О. Л. Лснмптотввескве методы в теории незинеаиых колесвввп, М,: !!вука, !В74. Рассмотренные иышс методы ирнближспного решении уравнений яо многом основаны нв разделении дииже.
ннй 11редполагвется, что система н срсдием диижстся медленна и ирн этом совершает быстрые кол>бакин относительно усредненного движения. Если и звлачс мажиа агрвиичитьгя линсйк>вл> приближением для описания быстрых асцилляцнй, то урпиисиия лля этих колебаний будут линейными дифференциальными уравнениями с коэффициентами, япиа;шиигящими от проясни. В общем глучис решение таких урпппгиий а и иь слажии.
иси нгиользуя различные ирсмсииыс мпгштабы. которые обычна имеются в задаче, решение можно упростить. Если коэффиииенты лниейиага уравнения ииляк>тгн мсллениымн функпиичи времени, то для и<>строении рсчиеиий удобна исиальзоивть мстол Вектцсля, Крамерса и Вриллк>эпз или гакрвщспио мгтс>л ВКБ, Развитие этого л>стада и псиониом гия.шиа с нос>расином решений уравнений квшповой теории.
Дли иллюстраиин этого подхода рассмотрим простейшую модель — линейный осинллятор с частотой, явно заиисящсй ат ирсмсии. Уточним вначале понятии быстрого и мсллсииаго движений применительна к рассмвтрнивсмаму случаю, Пусть — частота колебаний, опрелеляющаи масштаб быстрых праисссав, характерное время которых Т 2я(св.
Мсдлсииыс изменения характеризуются масштабом Тв, я течение каторога частота быстрых колебаний существенно меняется, т. с. ЙО о>Те О>, Будем расматрнвать системы, для которых выиолняется усло вне Пусть лннсяный осциллятор, частота которого явно ванн снт от времени в=в(1), удовлетворяет условию (20.16), Уравнение движения имеет вид х+ в' (1) х = О. (21.16) Учитывая медленное нзменение частоты, будем искать решение уравнения в виде х (1) = А (() ейп ф (о), где Л(г) — медленно меняющаяся амплитуда, а фаза определяется выражением ф(1)=~ (()А1 Поскольку рассматриваемое уравнение линейно, решение его удобно искать в комплексной форме, а затем выделить действительную часть.
Рассмотрим замену переменных х=А(1) е'(""'", Подстановка решения в виде (22,16) в уравнение (21.16) дает для амплитуды линейное дифференциальное уравнеяие второго порядка А+ 2йоА+ (вА =- О, (23. 16) имеющего, как и исходное уравнение (21,16), два линейно яезависимых решения. В обгцем случае решсние этого уравнения пе проще исходного, однако его линейно независимые решения обладают замечательной особенностью — они характеризуются различными временными масштабами.
Это позволяет легко организовать процедуру разделения движений. На временном интервале Т<стс~То можно считать, что оо=о>о, оо=во являются некоторыми константами. В этом случае решение можно предста. вить в виде Л (1) = Л,еом и построить характеристическое уравнение Х~+ 2(в,Х вЂ” 1в, = О, решение которого, соответствующее корню Х,= — 21омо=о-оооа, описывает быстрые движения, а Х,=~воз/2 — медленные процессы. Для выделения медленной части заменим уравнение второго порядка (23,16) уравнением первого порядка, полученного отбрасыванием старшей производной: 2ва,+ ва,=О.
Представим амплитуду А в виде ряда А(с) ==- ~ а„(с). о=о Члены ряда, начиная с п=), можно получить с помощью итеративной процедуры, полагая, что они удовлетворяют неоднородным уравнениям первого порядка 2СОао+ Мал = Сао-С правая часть которых определена предыдущей итерацией. В этом случае ряд определяет только медленно меняющуюся $унссци>о, Решения приведенных уравнений с учетом начального условия Л(0) =Ло имеют вид т' со (С) а» (С) ао (() ) с с с оС оо с (С) 2 ' ) и (С) " с (С) в частности первое приближение для рассматриваемой задачи даст с Этн приближения пригодны для всех со, удовлетворяющих условию 0<а«ос(С), В качестве примера применения метода ВКБ рассмотрим малые колебания математического маятника, длина которого линейно увеличивается; Е (С) = (о+ "ой Измснссснс длины приводит к медленному росту амплитуды.
В пулевом приближении этот рост описывается формулой ао (() = йо ) '1+ оог((о. Если одномерный осциллятор описывается функцией гамильтона Ссо ососо (С) с(о = — + 2ос 2 325 где ы (1) — медленно меняющиеся параметр, аднабатический инвариант системы 1 Г М (= — рда-=— 2н У сохраняется (приближенпо). Подставляя значение амплитуды, полученной с помощью ВКБ приблюкения, найдем зависимость функции Гамнльтопа от времсни: гам (1) гасла У (1) = где гс(О)=гас Отсгода следует, что Т=та1слая/2=соней Таким образом, нулевое приближение ВКБ соответствует сохранению инварианта. Использование высших приближений метода ВКБ позволяет оценить точность сохранения адиабатичсского инварианта.
ДОПОЛНВННВ. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ*~ Уравнения Лагранжа Покажем, что основные интегральные принципы механики, обобщенные соответствующим образом, могут быть использованы при исследовании движений материальных тел в релятивистской области энергий. В частности, выведем уравнения движения релятивистской частицы во внешнем поле из принципа наименьшего действия, Запишем сначала действие в отсутствие внешнего поля: н В=.') Яй, Здесь 2.' — функция Лаграпн<а частицы, Можно показать, что релятивистское движение частицы (например, н декартовой системе координат) правильно опнсьгвастся следующей функцией Лагранжа: с' Т са дх ДК г1а где х = —, у = —, г = — — компоненты скорости частицы, с— 81 а! ж скорость света, и †мас частицы.
с Раскладывая (Д2) в ряд по отношению ~ — ), т. е. переходя с к пределу с- ее, получим с точностью до несущественной кон- *' Здесь мм следуем книге; Л а ад ау Л. Д„Л и ф шин Ек М. Теория поля. Мс Наука, 1987. 326 стапты правильное выражение функции Лагранжа в нереляти- внстской области: тхх Я =- — тс'+ —, 2 (ДЗ) Вектор дЯ д,~~ дт' д.у ' (Д4)) называют импульсом частицы. Его явный внд Очевидно, при о <с это выражение переходит в нерелятнвистское, Энергией частицы называют величину Е=( — ' ч) —.У.
(Дб) Так же определяется обобщенная энергия частицы в нерелятивнстской механике, которая в случае стационарных связей, как известно, совпадает с механической энергией. Подставляя (Дй) и (Д4) в (Дб), получим Е== (Дб) При ч=О Ео=тс' (Ер — энергия покоя), При малых скоростях (о«с) с точностью до членов порядка с' имеем Е=тсл+ ~" 2 т. е. разность Š— Е, равна кинетической энергии частицы. Обобщенная энергия, выраженная через импульс, естьфункция Гамильтона Я' = с 3/р'+ т'с'. (ду) Это выражение при р«тс приближенно равно Яытс'+ ~ 2т ' т, е, за вычетом Е, это нерелятивистское выражение гамильтониана. Нетрудно видеть, что имеется следующее соотношение между энергией, импульсом н скоростью частицы: (Д8) Действие для частицы, находящейся во внешнем злектромагиитиом поле, складывается из двух частей: из действия (Д1) и из члена, который описывает взаимодействиечастицысполем.
В релятивистской мехзиике фуикция Лаграия~а заряда е мас. сы т во внешнем электромагнитном поле, описываемом векторным потенциалом Л и скалярным потенциалом у, имест вид 2'= — тс' ')Г1 — «ус'~,— '(А «) — вар, с (Д9) Мы видим, что структура этой функции точпо соответствует структуре лагранжиапа заряда во внешнем поле в перелятнвистской механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
