В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Действие Я записывается в виде и ««е 5=~( — ''~/ > — — -~ — (А ) — ч)й. (Л~О1 с' « Обобщеьппяй импульс заряженной частицы в электромагнитном поле получается дифференцированным (Д9) по «: дЯ м«е е Р= — = + — А =р+ — А. д« )/! — «'/с« с с (Д11) Подставляя (Д11) в (Д9), найдем обобщенную энергию части- цы в поле; тс« у= +ар Р! — «'/с' (Д12) и далее, выражая (Д12) через обобщенный импульс, получим функцию Гамильтона заряда во внешнем электромагнитном поле е Ш=- ~/ '.~- (Р— — А) а (Д)З) или (" ~ ) = — и'с«+(Р— — 'А) (Д14) Согласно прияципу наименьшего действия (см. гл. 7) интеграл (Д10) на реальной траектории заряда должен достигать экстремума. Поэтому бЗ=О, и мы получаем уравнения Лаграи- жа (Д15) ш д«дг Здесь Ы определена выражением (Д9).
Правая часть (Д15) преобразовывается так же, как и в п. 7,6. Учитывая это, полу- чаем следующее векторное уравнение движения заряда в электромагнитном поле: — = еа + — [чН~), др с ((Д18) Ес с 1 дА где р — импульс частицы, е = — дгас) ф — — — — напряженность с д! электрического, Н=-го1 А — напряженность магнитного поля. Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, уравнспю! движения (Д16) переходят в уравнения движения нерслятпапстской механики: т — = ее+ — [тН).
оо е Ес с (Д17)' Нетрудно видеть, что в релятивистской механике, в полной аналогии с нерслятивистским, имеет место уравнение с!йккк =-еа ч, Й (Д18) асс где Еккк =- . Изменение кинетической энергии частицы )/ 1 — оо!ск со временем равно произведенной полем над частицей работе в единицу времени, Заметим, что сила, с которой магцнтпос поле действует на частицу, всегда перпендикулярна скорости частицы. Выражение (Д!8) представимо также в виде с(Е„к=-г с(г=еа.с(г, (Д19) и если сила Г имеет потенциал, не зависящий от времени, т.
е. Г= — игас)У(х, у, г), то из (Д19) получим Е„к.= — !и, 1(Е„ко+и) =9, (Д20) что дает закон сохранения энергии точки в релятивистской ме- ханике Еккк(с)+0 (с) =Еккк (1о) +(7 (со). (Д21) Таким образом, формально введя функцию Лагранжа (Д2) на основании принципа нанмепьшего действия, можно получить динамические уравнения релятивистской механики, Здесь возникает интересный вопрос, Функция Лагранжа частицы массы т в отсутствие внешних полей в какой-то инерциальпой системе отсчета 5 имеет внд 'Она удовлетворяет принципу относительности Галилея, Действительно, построим функцию Лагранжа этой жс частицы в системе отсчета 5', движущейся относительно 5 с постоянной скоростью — Ч, Координаты г и г' точки в этих двух системах от.
счета связаны друг с другом соотношением г=г' — Ч1, но ход времени н 5 н 5' одинаков: У=й Следовательно, Ы'.=.— "=- — (ч+Ч)'=- — гг+т(ч Ч)+ — ' Чг =- 2 2 2 2 =Я+ — 1 т(г Ч)+ — ЧЧ), сг 1, 2 (Д22) Из (Д22) видно, что второй член в нижней строчке является полной производной по времени от некоторой функции координат и времени и поэтому согласно свойству (64.7) может быть опущен. Это означает, что действие в нсрелятивистской механикс инвариантно относительно преобразований Галилея. Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике принципу относительности Галилея пе удовлетворяет. Но тогда законы движения, полученные па основании (Д!б), пе будут одинаковыми в иперциальных системах отсчета, связанных преобразованием Галилея.
С точки зрения физики представляется правильным, что интеграл (Д1) для свободной частицы пе должен зависеть от выбора инерциальной системы отсчета, т. е, он должен быть инварнантным относительно преобразований между инерциальными системами отсчета. Действие (Д1) можно сделать инвариаптпым, если допустить, что наряду с координатами нужно преобразовывать и время, причем -1'(г, Ч, 1), где Ч вЂ” относительная скорость систем отсчета 5 н 5' При этом полезно использовать понятие четырехмерного пространства, па осях которого откладываются три пространственные координаты н время.
Рассмотрим системы отсчета 5 и 5', считая для простоты, что Ч имеет компоненты Ч= (Ч, О, 0). Нетрудно доказать, что интеграл (Д1) будет ннвариантным относительно следующих преобразований координат и времени (штрихованные величины относятся к системе отсчета 5'): У и+ — х' М'1 — ч~/Ы ~/1 — ч~/с~ , у=у', г=г', 1= . (Д23) Это формулы преобразования Лоренца. Непосредственной проверкой убеждаемся, что с'гз — х' — уа — г' = сз1" — х' — у" — г'* (Д24) Четыре величины с1, х, у, г называют координатами события, а величину Лиг=-')/с'(г,— 1~)' — (х,— х,)' — (у,— у,)' — (г,— г„)' (Д25) — интервалом между событиями, описываемыми координатами с1ь хм ум гз я с1ь хь уь гь Из (Д24) следует, что интервал между двумя событиями ипвариаптсп относительно преобразованвй Лоренца, Если два события бесконечно близки друг к другу, то для интервала между пнми имеем (в системе 5) с(з» = сз с(1» — дх* — с(уз — с(г' (Д26) и (в системе Я') Нз' =с'ор — бх' — бу' — с(г' .
(Д271 Из свойства (Д24) следует, что ,в с» сз (Д28) где ч' = ( — ) + ( — у — ) + ( — ), ч' ==. ( — ) -~- ( — „', ) + ( — „, ), Соотпогпепие (Д28) доказывает инвариантность действия (Д1) с функцией Лагранжа Я= — тс ~г 1 —— с' относительно преобразований Лоренца. Совокупность координат некоторого события (с1, х, у, г) рассматривается как совокупность компонент четырехмерного радиуса-вектора в четырехмерном пространстве. Его компоненты принято обозначать через х', где индекс принимает значения О, 1, 2, 3.
При этом хс=с1, х'=х, хз=у, х'=г. Квадрат «длины» этого вектора (который называют также 4-радиусом-вектором). определяется выражением (х')» — (х')' — (х')' — (х')', Очевидно, квадрат «длины» ннвариантен относительно преобразований Лоренца. Совокупность четырех величин, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиуса-вектора х', называют 4-вектором.
Различают 4-векторы с верхним индексом А', которые иазывеиот коптравариантпыми, и с нижним индексом Аь называемые ковариаптнымн компонентами 4-вектора. Поднимание и опускание индексов 4-векторов можно производить с помощью так называемого метрического тензора 3 з Тогда А'='~ т1мАа, Л, = у т1мА", По дважды повторяющемуся ино=а а=-о дексу согласно принятому правилу подразумевается суммпрованне, а знак суммы опускается. Квадрат 4-вектора определяется любой из следующих форм: (Ао)о (Ат) (А')о (Ат)о Аа4о 4 А Ат+ 4 Ао+ ЛтАт. = т)э,А'А' = т1мА,Аы Компоненту 4-вектора Ао называют временной, а компоненсы Л', Л', Л' — прострапственпымн; 4-векторы с положительным квадратом называют эремеииподобиыми, с отрицательным пространственноподобиыми, с квадратом, равным нулю, — пулевыми, или изотропными. Можно ввести четырехмерные тснэоры 2-го и более высоких рангов, Четырехмерной скоростью частицы является 4-вектор ох' н = —.
ос Его компоненты найдем, замечая, что с(з = сс(1 ~1 — то1со, (Д22) где тс — обычная трехмерная скорость частицы, т. е. Следовательно, (ДЗО) И' = с'о =асс "у'1 — т'1со с втяражает собственное время Из/с через время в системе отсчета 5, относительно которой рассматривается дни>кение тела. 4.Скорость и' является безразмерной величиной. Ее квадрат равен единице, так как с(зо=с1хсс(х' и и'и;=1.
Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным телом, называют собственным временем этого тела. Поэто.му формула Введенные вгяше энергия н трехмерный импульс обранУют контраварнантный 4-вектор импульса (нли просто 4-импульс) который для свободной частицы также можно записать и мцдс р' =: тси'. (Д31) Из (Д31) легко получить р~р' --=- т'с'. можно опродс- По аналогии с обычным определением силы лить 4-вектор силы как производную дг' де де (ЛЗЗ) др Выразив компоненты 1' через трехмерный вектор силы Р:: — —.
йк получим Нетрудно проверить, что 1'и~=О и что временная компонента сн. лы связана с работой трехмерной силы. Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного по. ля образуют 4-вектор.потенциал А' ((р, Д). И наконец, вводя 4-теизор электромагнитного поля Рее согласно г„,= — ' — — ', дли дА, (Д34) дх! дк" ' запишем уравнения движения заряда е, массы т (Д16), (Д18) в релятнвистско-ковариантной форме: си~ е ( дАи дА~ 1 тс — = — ~ — — — ~ и, де с (, дФ дке,) (Д35) илн ди~ е м тс — = — Г иги де с (Д36) 333 Это краткое введение в теорию 4-векторов нам понадобилось для того, чтобы ниже дать решения некоторых важных задач релятивистской механики точки.
Релятивистское уравнение Гамильтона— Якоби Уравггенис Гамильтона — Якоби для свобод. ной частицы в релятивистской механике получается подстанов. дд кой в (Д32) вместо р; производпых —; дхг ' (Д37) дхг дхг дх' дхе Записав сумму по О /г в явном виде, получим ( ) ( ) ( ) ( — ) ихсх, (Д38) где 5 — функция координат и времени. Для получения релятивистского уравнения Гамильтона — Якоби для частицы в заданном электромагнитном поле нужно использовать (Дг4), подстав- дЗ ляя в него вместо М производную — —, а вместо обобщенного д/ дз импульса Р— —.
Б результате получим дг пгаг)5 — — А) — — ( — +егр/1 ч и с =О, (Д39) ( ~ дг Нерелятивистское уравнение Гамильтона — Якоби можно получить из (ДЗО) в некотором пределе. Прн этом нужно помнить, что в релятивистской механике энергия частицы содержит нулевую энергию Е,=ис', которой нет в нерелятивистском случае. Но так как при полученвн релятивистского уравнения мы до". использовали замену Е= — —, ясно, что прн переходе к пред/ делу нерелятивистской механики надо вместо 5 ввести новое действие 5, так чтобы член с нулевой энергией исчезал в пределе с-+-оо, Вводя 5 = 5 — гпсх/ и подставляя это выражение в (Д38), получим — ( — ) — — — — ( ( — ) + ( — ) + ( — ) ~ = О, (Д40) переходяшее в уравнение Гамильтона — Якоби в нерелятнвист- ской механике в пределе с-ь.оо, Движение заряда в кулоновском поле Рассмотрим релятивистскую задачу о движении заряда е массы и в кулоновском поле неподвижного центра, заряд которого равен е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
