В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 24
Текст из файла (страница 24)
дч~ ' дчэ д~ дМ Рэ= —, Ф= —, аВ ' арз' Последнее замечание касается «дуэльной природы> преобразований Лежандра. Она отражается в следующих уравнениях: Видно, что «поные» переменные р; выражаются через «старую» функцию!2' так же, как «старые» переменные !)! — через «новую» функцию М. Иными словами, исходя из сс с помощью указанных выше трех операций можно построить М. Но точно так же можно начать с функции Гамильтона Я и тремя последовательными операциями построить 2', >ЕД. ВЫВОД КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗ ВЛРИЛЦИОННОГО ПРИНЦИПА Поскольку формализм, базирующийся на функции Гамильтона, широко применяется в разных областях теоретической физики, представляется необходимым показать, как уравнения Гамильтона могут быть выведены из общих вариационных (интегральных) принципов.
Фактически это будет означать, что вся динамика механической системы определяется одной функцией — се гамиль.!опнапом. Для доказательства этого положения можно воспользоваться принципом Гамильтопа— Остроградского, введя некоторые изменения в подынтегральное выра>кение (60.7). Подставим и (60.7) следующее выра>кение функции Лагранжа; ~'=~, р>чт — 'у« !=! (11.10) и перепишем принцип Гамильтона — Остроградского в виде ь 68=6 ) (у" р>д~ —,!тс~ сй=0, Л у=! бд, ((,) =6Ч, ((«) =-О.
(12. 10) (1З. Г0) и н И=Я~~ ~(у,бр>+р>бу!) — ( — бает+ — бр>! ~ Ж= !'=-! Май 1!,) ~~( ~ д ) ~ д )~ !-! ', I=! !63 Это вторая !)юрма принципа Гамильтона — Остроградского, или модифицированный принцип Гамильтона, Он гласит. Реальное двиькение механи !вской системы, состояние которой определтьется каноническими переменными ан рн )=1, 2, „в, осу!цествляется таким образом, чтп первая вариация функционала 5 обри>цается в нуль при условиях (>3.>0).
Рассмотрим вариацию 8, полагая, что все входящие в 5 канонические переменные являются независимыми: и Здесь мы учли, что бдь= — 6(!ь, н проннтегрнровали по частям дЕ члены, содержащие бд!. Согласно (12.!О) и (13.10) ье ~ ~~ ~бдз ~4 — "'т' ~ — бь1, !'Р,+ ~~~ ~ !) г(г'==:О. (14,10) /=-! Но так как все вариации бь!ь, брг независимы и произвольны„ (14.10) удовлетворяется, если только коэффициенты при всех бь!! н бр; будут равны пулю, т. е. д ЯГ длг %= —, Рз= — — —,1= — 1, 2,...,з. др! дЧ! Тем самым доказано, что канонические уравнения можно вывести из модифицированного принципа Гамильтона.
Подчеркнем, что требование независимости групп переменных (9) и (р) здесь было весьма существенным. Обобщенные импульсы р; в методе Гамильтона считаются такимн же независимыми переменными, как и обобщенные координаты; р! связаны с ь!! только уравнениями ывьакепия, т. с, динамически, а не кипематически, т, е, заранее заданнымн соотношениями, как,. скажем, ь)! связаны с ь!!. Мы видим, что ни одна из групп леременпых (ь!) н (р) не рассматривается здесь как основная.
Обо группы независимы. Причем, только увеличив число переменных с з до 2з, можно получить уравнения первого порядка па времени, ьО.З. ИНТЕГРАЛЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ПУАССОНА Рассмотрим иекоторуьо функцию канонических переменных (ь!), (р) и времени !((9), (р), !) н поставим вопрос о том, когда эта функция будет обращаться в постоянную в силу уравнений движения (9.!О), т, е. будет интегралом гамнльтоновой системы. Вычислим полную производную 1 па времени; — =- — + ~ ' ( — ь!! + — Рз~ .
д! д! % т / д! д! (16.10) д! д! 2.1 (, дщ дР! !'=- ! Подставляя в (15.!О) вместо г)! и р; правые части (9.10), получим д1,+(( р) (16.10) где 5 р у) т),'! ( д! д,й д! АЯ~ ) д 1 1 дч! др! дьь! дч!. ! 154 Последнее выражение называют скобками Пуассона для величин ! и .Зй'„Условие того, что величина ! есть интеграл дан>кения, имеет вид — +[!', Я! = — О. д! д! (13. 10) 'Если иге !" явно от времени не зависит, то, 'для того чтобы фун- кция канонических переменных 1((ц), (р)) была бы интегралам движения, скобки Пуассона !' с функцией Гамильтона данной механической системы Н должны обращаться в нуль: [1, Я!=0.
(19.10) Скобки Пуассона можно определить для любой пары величин и, о, зависящих от (с), (р) и О д~ц др! др! джаз /.=;1 Используя это определение, нетрудно доказать следующие свойства: 1) [и, о) =- — [и, и[; 2) [и, с)- .О, где с — постоянная функция, не зависящая от (д), (р); 3) [и, и) =- 0; 4) [и+о, га)- — -[и, и)-1-[ь, ы]; 5) [по, в):=-и[о, ы)+о[и, и); б) — [и, а) =- ~ —, о ~ + ~и, — 1, Можно внести понятие фундаментальных скобок Пуассона. Для этого положим одну из функций и нли и равной д; или рь Тогда [сн п)=албо†(21.10) [дь с,)=0, [дь р,)=бн, [рь р)=0 165 да дс [рь с) =- — ~~би — = —.
де! а~д ' Положим теперь в (21.10) с=с; и о=рь а (, ) — р . —, а в (22,!0) о=рь Получаем (23.10) Соотношения (23,10) называют фундаментальными скобками Пуассона 'с. Скобки Пуассона позволяют по-иному записать ураннепии Гамильтона, В самом деле, пусть в (2!.10), (22.10) й=,яв. Тогда вместо (21.10), (22.10) получим !с71 Я! = — = с)с с)с = !с)с СсР ддх дрс (р ~~)= — — =-р рс=Ьь Я) (26.10) ддс Уравнения (24.10), (25.10), очевидно, являются уравнениями Гамильтона, записанными с помощью скобок Пуассона. Опи являются частными случаями равенства (16.10), в котором в качестве 1 выбирается либо с)с, либо рс.
Положим в (16.10) )=с)Св. Получим (26.!0) Следовательно, если св не зависит от времени явно, то гамильтониан механической системы является интегралом движения. Можно показать, что между скобками Пуассона, составленными из трех функций и, и н в, существует соотношение (и, !и, ис)]+!о, )ис, иЦ+!сп, !и, пЦ=-О, (27.10» называемое тождеством Якоби. Одним из важных свойств скобок Пуассона является возможность получения интеграла движения — скобки Пуассона (сс, и), если и и и — интегралы движения. Это утверждение сод р имаев пс .
д..г р г. Вычислим полную производную по 1 от ~и, п|: сС!и, о! д 1п, о! сСС дг (28,10) и воспользуемся тождеством Якоби, приводя (28.10) к виду = ~ — +(и, гр'), и ~+ !и, — +(о, Д1)С(, (20.10) ! ю В кнаптовой механике соотношение — (и, о), где и, о — оперзторы а физических аелвчин, а — постоянная Планка, называсот коммутационными соотношениями. Опи определяются как — (ио — зп), Коммутациоссссыо, а пли перестзновочиые, соотношения для операторов з, р введены Гейзенбергом, Процедура так называемого канонического кваптовапия состоит в пероходо от фундаментальных скобок Пуассона к перестанозочным соотношениям Гсйзснберга.
1-1о сели и и о — интегралы движения, то — о+[и, Я![=О, — +[о,Я)=-0. (30.10) а Следовательно, — [10 а) =О, что н требовалось доказать. Ф Мь1 внделп, что полная производная по времени любой функ11ни Р((д(1) ), (р(1)) канонических переменных д, р, которая не зависит от времени явно, определяется равенством (31.10)' Покажем, что значение Р(д(1), р(1)) в момент времени 1 выра>каетсл через значение Р(д(0), р(0)) в момент времени 1= 0 следующей формулой: Р(д(1), р(1)):=Р(0)+ — [Р, Я)!1=о+ —,[[Р.
Я) Я!11=о+ 11 Гн —.Р(О)+~,' — '" и ... [[Р, М), У)...)Д)),, (32.10) где й((), р(1) удовлетворяют каноническим уравнениям, описывающим эволюцию механической системы, гамильтониан которой ЯЮ(д, р) явно от времени не зависит; Р(0)=Р(д(0), р(0)). Ряд 1> правой части (3210) предполагается сходящимся.
Доказательство проводится непосредственно подстановкой решения (32,10) в (3!.10),' в результате которой (31,10) будет удовлетворяться тождественно. Приведенная формула интересна тем, что на основе ее аналага строится теория возмущений в квантовой теории. В задачах теоретической механики использование этой формулы не. всегда дает наиболее простой путь решения задачи, однако она эффективна для нахождения приближенного решения в задачах, где можно вьщелить малый параметр.
В качестве примера рассмотрим, однако, просту1о точно решаемую задачу. Найдем Ч(1), р(1) в задаче гармонического осциллятара. Гамильтопиан системы Положим Р(д(1), р(1)) =д(1) и вычислим скобки Пуассона: [а, МИ - = — ', Па, У), У)( =-.= — 'а, 157 Очевидно, в этом примере правая часть формулы (32.10) легко восстанавливается: Р Ч «Р « д(!)=д+ — г — — ! — — ы« — +... = т 2 т 3! = — д соз Ы+ — з!и од Р мм (33,10) Функции совы! и з!им! мы восстановили по первым двум членам их разложений. Аналогично, полагая Р(4(!), р(1))=р(1) и вычисляя скобки Пуассона, находим [р, Ю]1~=~= — ы'тр, [[р,,ур], У]]в=о=- — «йр, [[[р,,%, У], М]!~= = 'л д, [[Цр, Я], Л], У], Ж]! = ы'р, для р(!) получим р(1) р ~~'~1 мР Г«1 мм«1«! мр 1! 2! 3! 4! мн«нн4 дар = р ( ! — — + — +...
1! — Фры ! ы! — — +... ) = 2! 4! ) !, 3! = р соз ыг — гп()м 5!и ОИ, (34.10) Формулы (33.10) н (34.10) определяют состояние системы в мо- мент времени 1, т. е. представляют собой решения канонических уравнений для гармонического осциллятора. !0.4.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Преимущество метода Гамильтона по сравнению с методом Лагранжа заключается в том, что в нем обобщенные координаты и обобщенные импульсы выступают равноправно и поэтому метод Гамильтона предоставляет зяачительно больше возможностей выбора величин, которые принимаются за «координаты» и «импульсы». Тем самым вырабатываются более абстрактные формы излохсеиия основных положений теоретической механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
