В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 18
Текст из файла (страница 18)
в формулах (6,8) нужно положить все Ч1о равными нул1о. Примем далее следующее О предел ение Л я пупов а. Пусть для сколь угодно малых (заданных наперед) положительных величин г1,1, е,„, можно найти такие положительныг величины Ь1р1, 611, что для лро- багО 1)уе ВСг 1Х«)(зрр (у«1~г, ЕСЛИ ТОЛЬКО При ( (С ЕСЕ р ~ ~х1((а)~~бра (уг(1р)! ..б,, то нгвозмурценное состояние движения д;о(1) =дыр, уу(1)=0 устойчива, а положение угвр низызаюг положением устойчивого равновесия. Следующая теорема Лагранжа определяет достаточные условия равповссня консервативных систем. «( ' Положение равновесия консервативной голопомпой снстеьры устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум.
О п р ед ел е н и е, Минимум потенциальной энергии У называют изолированньем, если в некоторой окрестности положения равновесия иь в которой (7 минимальна, нет другах экстремумов. Иначе говоря, миниму,ч будет изолированнылц если при 1Чу Чу р! (у «у)) ~ и((д„)), причем знак равенства будет, только если все д;=у1ы, Заметим, что положительные величины йя опРеДелЯ1от окРестность минимума в конфигурационном пространстве.
Теорему Лагранжа впервые доказал Дирихле. Современное доказательство, данное А. М. Ляпуновым, вытекает непосредственно из его так называемого прямого метода*>. В этом методе основную роль играют некоторые вещественные одпоаначные и пепрерывныс фупкцни )т(Х, у) =Р'(Х1, ..., Ха, у„..., у,), ОПрЕдЕЛяЕМЫЕ В Обпаетн ~, (ха+да) ~С, где С вЂ” постоянное положительное число. Начало отсчета выбирается в точке хь у1=0, )=(, ..., з, т. е. предполагается, что У(0, 0) =О. Далее проводится классификация функций )7(х, у). Так, если всюду в областн определения у'(х, у) > 0 или )7(х, у) < .к:О, то функция У(х, у) называется знакопостоянной (положительной, если )7~0, или отрицательной, если )7(0).
Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том слу ' чае, когДа все хь ..., х„УБ ..., У, Равны пУл1о, то она называ-, ется знакоопределепной (определенно-положительной или опре- »~ Более детально с влсмеитами теории устожоаости можно ноаоакомитьсн в прекрасной работе Й. Р, Меркнна «Введение в теорию устойчивости движення» (Мл Наука, 1987). дслепно-отрицательной соответственно). Функции, припимакзщие значения обоих знаков, называют зпакоперемеппымп функциями. Введенные так функции У, с помощью которых исследуются проблемы устойчивости движения, называют функциямп Ляпунова. Доказательство теоремы Лагранжа основывается на знаменитой т с о р с м е Л я п у и о в а об устойчивости днижеппя.
Мы приводим последнею без доказательства. Если для дифференциальных уравнений' возмуи(енного движения можно найти знакоопредсленную Функцию У, лроизводнал которой Р в силу этих уравнений была бы знакопостопнной функцией противополоекноео знака с У или тоекдественно равна нул1о, то невозмуи(енное донесение устойчиво. Примеры. Функция У(х, у) =хч+2уз — определенно положительная (рнс. 1.8).
Функция У(х, у) =хи — 2ху+у' — знакопостоянная, так как в пуль она обращается пе только в качале координат х=у=О, но н на прямой х=у (рис. 2,8). Рис. 2.8 Рис. '1.8 Теперь нетрудно доказать теорему Лагранжа. ОтсчитываЯ д1 от цнр, а У((д)) от У((в,ч)), нетРУдно нндеть, что в рассматриваемом положении потенциальная энергия равна нулю н имеет изолированный минимум по условию. Это означает„что в некоторой окрестности положения равновесия ды„потенциальная энергия (т' является определенно-положителыюй функцией переменных дь а полная энергия Е=Т+ (г' (7.8) — определенно-положительной функцией обобщенных координат и скоростей.
Действительно, кинетическая энергия механической системы с голономпыми и стационарными связямн содержит только форму 'Гм>, которая является определенно-положительной квадратичной формой обобщенных скоростей. Выберем Е в качестве функций Ляпунова У. Из уравнений Лагранжа (3.8) следует, что Е= — М=О, т. е. Š— интеграл движения. 115 Значит, Р=О, Следовательно, эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения, част- ным случаем которого является устойчивость равновесия.
Тео- рема Лагранжа доказана. 3 2. сОБствгнные линейные КОЛ евдния МЕХЛНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Задача о собственных линейных колебаяиях механических систем по существу является задачей о движении вблизи устойчивого положения равновесия. В силу докаэа)шых теорем такие движения будут устойчивыми, Выведем уравнения, которыми описываются линейные колебания механических систем с голономными, стационарными связями, предполагая, что внешнис силы консервативны и не зависят от вре:мени. Для таких систем У=))э)~0. Разложим кинетическую и потенциальную энергия системы в окрестности точки й;„д, ограничиваясь членами второго порядка малости по обобщенным координатам ))! — )))„.д и обобщенным скоростям !)), В результате лолу1)аем 5 2 (8.8) (У=(У((д.))+ ~, — ~ (д! — Чьм)+ ч-! "дУ дед )д)=)д,) /=1 юд Т= — хз ажХ)ХЮ (У= — ~' СМХ)Х„, 2 2.4 ' 2 21 (11.8) дь ! ,й=! где дду схз — — — ~ д!Нддь ))д)=(д ) В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия У должна обладать изолированным минимумом.
)16 дди + —,7,' — ~ (Ч вЂ” й! )(Ч! — Ь,,) (О 81 дд! дд)~ Пн — м, ) ,й=! ед 'Будем отсчитывать У от У((д„)) и учтем, что в положения равновесия все обобщенные силы обращаются в нуль: — = О, ! = 1, ..., з. ви (1 0.8) дд) )д)=!д!д) Напомним, что эти уравнения определяют положения ра вновесия. Введя х=й; — а)дд, получим Из линейной алгебры известно, что если коэффициенты с»р удовлетворяют критерию Сильвестра ~с11 с1$1 ~сп...с„, ' ( сз, саз ~ с„, ... сь„ то (l будет определенно-положительной квадратичной формой переменных хь ..., х,; в окрестности нуля, а значит, У имеет изо.лиРованный минимУм в точке с„.», »1»,,р, ..., дркр и положение Равновесия устойчиво. Заметим, что 7 — определенно-положительная квадратичная форма переменных х„...,х, Значит, матрицы коэффициентов а»р удовлетворяют условиям ~а„а,, ~ а„...
аьт аю... а„„ Построим функцию Лагранжа в окрестности начала координат фазового пространства, т. е, в окрестности точки х~=О, х~=О: я = — р аз„хзх„— — к с~„х;х„, (1 4.8) дл — л л» вЂ” »ч и составим уравнения Лагранжа р — — ) — — ==~(ал,хк+смх„)=0, у:=-1, 2, ..., з.
(15.8) д l де' ~ д.У г) д» (, дк) ) дЮ 2.1 к-1 (16.8) где Ск — некоторые постоянные. Подставляя (16.8) в (15.8), получим алгебраическую систему уравнений ~ (ал,У+ см) С„= О, 1 = 1, ..., з. А 1 (17.8) 11етривиальное, т. е. не равное пулю, решение Ск+О (а=1, ..., з) этой системы существует только в том случае, если детерми- нант алгебраической системы (17.8) равен нулю, т. е. с(е1(а~к).»+ с1ь)»л 1 = О. (18,8) 1!7 Мы видим, что движение системы с з степенями свободы около положения устойчивого равновесия определяется линейными однородными уравнениями с постоянными вещественными симметричными коэффициентами.
Решение системы (15.8), как известно, следует искать в виде х„= Схем, Это так называемое характеристическое уравнение, представ. ляющее собой, очевидно, алгебраическое уравнение 2з-й степе. ни относительно Л. Следовательно, в общем случае, оно имеет 2з различных корней Л . Корни Л называют собствсппымп значениями характеристического уравнения, Предположим, что все корни Л„различив!, т. с. что кратных корней нет.
Соотношения между постоянпымп Се" "> определяются из соотношений У (и!!,Ла+сл!) Се = О. 2 а л=! (19. 8) Величины Сл" иногда называют «амплитудамн», принадлежа- щими собственному значению Ла, Общее решение хл (й — — 1, ..., з) имеет пид 2! х„=Ве ~ СТе '. а= ! (20.8) Знак реальной части Ее здесь необходим, так как обобщенная координата х!, по определспи!о величина вещестнсппая.
Для механических консервативных систем, на которые наложены стационарные связи, каждый корень Л„должен быть чисто мнимым, так как если бы все реЛ„(се=!, 2, „2з) пе равпялнсь бы нулю, то хл и х!„, имели бы экспонснцнально возрастающие и убывающие со временем множители, что привело бы к парушенюо закона сохранения энергии. Таким образом, в этом случае собственные значения характеристического уравнения (18.8) таковы: КеЛа =-О, Ла =!соа, Ла = — с!оа, а=-1, ..., з, (21,8) Здесь Л„перенумерованы от 1 до э, поскольку каждому номе- ру соответствует пара комплексно-сопряженных значений кор- ня. Решения (20.8) теперь можно переписать в виде хл — — Яе Я ((Сл)+ е'м'"' + (Се) е ' (22.8) *! Напомним, ито С!а, вообп!е говоря, иомплеиспме постояипме.
1!8 Вещественные велнчнны го„называют собственными частотамн системы, Значения коэффициентов С~я, соответствующих определяются с помощью однородной системы. Пусть, например, какой-то нз коэффициентов Сл не равен нул!о. Переобозначим номер й', присвоив ему индекс з, н перенесем все члены (а,,Л„'+сан) Са в уравнениях (19.8) в праву!о сторону. В результате однородная система (19.8) станет неод- породной системой уравнений относительно козффицнентов С~",, й=1, ..., з — 1. Ве решение известно нз линейной алгебры: Л„С", аа (28.8) где Л~ь — алгебраическое дополнение к злемепту л-го столбца любой строки характеристического детерминанта, взятого при значении ЯР ==А~. Но так как «амплнтудаз С, не определена, введя С„= — С,".7Л,", имеем Сх =Л~~С, /г=!, 2, ..., з, н хх=.йе ~ (С иЛх(Есв„)е"'"'-1-СаЛь( пв )е ""Я') (24.8) Здесь С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
