В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это не персмсщения точек системы во времени, а элементарные отрезки, которые по определению должны удовлетворять уравнениям связей в тот же момент времени й что и г~(1). Раскладывая 7„из (3.7) и ограничиваясь липейнымн членами, получим ~ (гь ..., гт, Г)+Ъ~ ( —" Бг, Я) =О, а=1, ..., й, (4.7) г1 с-~ илн, так как 1„удовлетворяют (2.7), — бг,) = — ~~(уК, бг„)=0, а=1, ..., )г. (5.7) ~-) ~ дД„ ~ дп С=1 С-1 Так как число уравнений й<ЗАс, то в выборе бг; имеется произвол. Из общего числа после удовлетворения условий (5.7) произвольными останутся з=ЗАз — й. Действительным перемещением Бй тачки с7г; называют бсс- ~ конечно малое перемещение этой точки, происходящее под действием как заданных сил Гы так н сил реакций связей '; оно ' происходит за время Ж Можно также ввести понятие возможных персмехцеш11ь удовлетворяющих только уравнениям связей.
Дсйствптельпыс перемещения как одни нз возможных удовлетворяют уравнениям ~„(г,-( г7гм..., г, +с7г -, 7+сП)=О, сс::=-1, ..., м, илп К классу виртуальных возможные перемещения относятся только тогда, когда связи стационарны. Понятие о виртуальных перемещениях позволяет ввести важный класс связей, называемых идеальпымн. Пусть сумма работ всех реакций связей на любых виртуальных перемещениях точек системы равна нулю: и (7. 7) Связи, удовлетворяющие этому условию, называют идеальными. В дальнейшем мы будем рассматривать только те системы, на которые наложены идеальные связи. 7.3. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ ОБРАТИМЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ. ПРИНЦИП Д'АЛАМБЕРА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МЕХАНИКИ Принципом или началом механики называют такое общее математически формулируемое предложение, из которого механика как физическая теория может быть выведена дедуктивно (т.
е, идя от общего положения к частному), т. е. могут быть получены уравнения дввжеиия для механичес.- ких систем общего типа или для систем некоторого ограничеппога класса. Эти принципы используют понятие виртуальных перемещений, т. е, по существу понятие вариации функции. Они формулируют условия существования обобщенного состоя- з~ Заданные силы Г~ часто называют актввными силамп; силы нсе Реакции связей Нз называктс пассивными силами.
88 ния равновесия некоторых систем, которое в свою очередь находится как решение задачи на экстремум некоторой функции. Рассмотрим несвободную систему материальных точек в н равновесии, Тогда Ф;=О, где Ф! Гг+ К!. Вычислим т'' (Ф, Ьг,), "! н получаем,)„(Ф; Ьг,) --:= О. Полученное равенство тривпал»по. !.= ! Чтобы наполнить сто новым физическим содержанием, представим его в виде (Ф! Ьг~)=-~, (Г! Ьг!)+У, (й! Ьг!) =:О, г-! с- ! н если связи идеальны, т.
е. если у (К! Ьг!)=-О, то и ! И „~» (г! Ьг,) =О, Е-! ! Виртуальная работа активных (впешних) снл, приложенных к уравновешенной системе, равна нулю. Это принцип виртуальных работ (перемещений). Он эквивалентен постулату; Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю на любол! виртуальном перемещении, не нарушающем заданных кинематических условий: 0 = ~„(р!. Ьг!) = — У, (В! Ьг,). к-.*! Заметим, что Р;~0, так как не все бг! независимы. с1тобы приравнять коэффициенты нулю, нужно перейти к независимым вариациям координат. Принцип виртуальных перемещений был обобщен Д'Аламбером на динамические системы.
Все другие основные принципы механики (Эйлера, Лагранжа, 51кобн, Гамильтона — Остроградского) явля!отея, по.ннднмому, различными математическими формулировками принципа Д'Аламбера. Поэтому в некотором смысле постулат о виртуальной работе сил реакций есть по существу единственный постулат аналитической меха-,, ники. Вкшочим и!!г! в Ф! и далее применим принцип виртуальных перемещений к «механической системе», на которую действуют силы Ф!, Тогда получим ,~„((гп!г! — г!) Ьг!) =О.
(8.7) !-! вв Это соотношение называют принципом Д'Аламбера, а также общим уравнением механики Д'Аламбера — Лагранжа, Из общего уравнения механики получа>отся как уравнеаия Лагранжа с неопределенными множителями (1-го рода), тзк и уравнения Лаграпига в независимых (обобщенных) координатах (2-го рода). 7А. УРАВНПНИЯ ЛАГРАНЖА >-ГО РОДА Умножим каждое нз соотношений (5.7) на некоторый множитель — Х,(1) и сложим их: > >> Ф ь — ~'„Х„)~ (И„бг!)= — ~~~„(У Х (у>~„.бг!)).=О. (9.7у а=! !.=! >>а=! Складывая (9.7) и общее уравнение механики, получим » ь 1(п>>г! — г! — ~~~ Х,„СД,) бг>~ =.= О, (10.7) >=! а=.! Мы должны получить уравнения движения, Для этого подберем А еще пс определенных множителей Х„так, чтобы коэффициенты при й зависимых вариациях бг; обратились бы в нуль.
Это можно сделать единственным образом '(т. с, выразить й зависимых вариаций через Зй! — А независимых вариаций), так как мы предполагаем независимость уравнений связей и вытекающее из этого неравенство нулю детерминанта из коэффициентов при зависимых вариациях в соотношениях (5.7). Коэг1н)>ицие>>ты при независимых вариациях в (10.7) должны быть равны нул>о вследствие независимости этих вариаций. Следовательно, чтобы соотношение (10.7) удовлетворялось, необходимо положить коэффициенты при пссх бг! равными нулю: Л>>Г! = Г>+ >Г> хами~ (1 1.7) а=! (13.77 Кроме этого мы имеем еще А уравнений 7 (г„г„..., г„, г)=0. (12.7) Уравнения (11,7) называют уравнениями Лагранжа 1-го ро- да.
Силы реакции связей, как видно из сравнения (7.7) с (9.7), выража>ется через производные от функций 1„: 1(,= У, Л.У,Р„, а=! Можно сказать, что уравнения (9,7) представляют собой не- обходимые и достаточные условия обращения в нуль виртузль- ной работы сил реакций, т. е. условие идеальности связей здесь использовано, По существу к (8.7) мы прнбавили нуль, так как виртуальные перемсщения удовлетворяют соотношениям (6.7), Законы пзмспепия полных импульса, момента импульса н механической энергии несвободной системы материальных точек модифицируются, так как в правых частях соответствующих уравнений теперь нужно учитывать внешние силы реак.
цнн, Это нетрудно сделать, и в итоге мы получим рех1 ( Реха )Иех1 + йехехе Е=- — +~(р~~ г,) — ~')е„— ", (16.7) дг д1 с-~ а ! где Р'"'=.','г, Р",'"', Мй"'=-~ [г,Р,'"'), н при выводе (!6.7) мы исполь— е=. ~ завали (6.7), иа которого следует, что ,Ч ю ь ..". Ф (Р~ М ~ ~~1 )'а ( 'ге) ~ ~ ~)"а С=1 ым х=п х=~ Заметим, что полная механическая энергия несвободной системы сохраняется лишь прн условии стациопарности внешних потенциальных сил, отсутствии диссипативных сил н стациопарности всех связей. Нестационарные связи способны совершать работу, в результате которой механическая энергия системы будет изменягься со временем, 7.6. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В НЕЗАВИСИМЫХ К О О РД И НАТАХ (2- ГО РОДА) Для получения уравнений Лагранжа 2-го рода нужно переписать принцип Д*лламбера в независимых (или, хак их чаще пазывшот, обобщенных) координатах.
Выбор этих координат неоднозначен, однако при любом выборе следует удовлетворить двум условиям. Подберем з обобщенных координат 9~ так, чтобы все'Г~ были бы однозначными функциямн этих 3 координат дп г(м ..., дх.' (!7.7) г; =- г,(д„ ..., д„ 1). т1исло независимых координат з=ЗФ вЂ” й для систем, на которые наложены голопомные связи, называют числом степеней свободы системы. Итак, независимыми (обобщенными) координатами могут быть з величин, которыми конфигурация си- 91 стемы определяется однозначно.
Если перенумеровать лекартовы координаты материальных точек системы (хь уг, г;) в опрецеленном порядке, то условие независимости д;, означает, что из Зйг функций х! 9 функций должны быть независимыми, что можно обеспечить требованием дх! дх„дх, да! де! дуг дхи дх, дх, дд! ддг дя, чь О. (18,7) Второе условие накладывается на связи: при полстапоаке (17,7) в уравнения связей (1.7) они должны обрзщаться в тож- дества г (г„г,„,,„ггг, г)1г,=о<г,„сх гб =— О, а.=-1,, /г. (!9,7) ~т„=-г !д,„...агх! Мы увплнм, что в динамические уравнения, записанные в независимых коорднпатах, силы реакции связей вообще нс входят; по существу опн исключены из динамики системы условияин (7.7) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
