В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Телесный угол между конусами с углами растворов 0 и О+г)9 есть п12=2п з!и Ог)6, Поэтому (!6,6) 5)п 10) ! ав Заметим, что значение угла ф, фиксирующего плоскость рассеяния какон-нибудь )х-точки, изменяется в пределах от 0 до 2п, Для нахождения эффективных сечений в зависимости от углов 0~ и 9г в л-снстеме надо выразить в формуле (15,6) 0 через 9, и Оз согласно формулам (8,6). При этом получа|отся формулы как для сечения рассеямия падающего пучка частиц до(0,), так и для частиц первоначально покоившихся г)а(9,). а 4.
ЗФФЕКТИ ВНОЕ СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ С ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ. ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА Применим полученные формулы к одному пз важных физических примеров — рассеянию электрически заряженных частиц, Положив в (3.6) У(г) = — —, получим и 2 о 2ях 1+,, —.х' Ич Р' здесь )х — приведенная масса, о-= )тз=т~-! — относительная скорость частиц до рассеяния, а х „ является положительным корнем уравнения 0 =- — 2 агс!и —,, Рра (16,6) 82 Вычисляя интеграл, для угла рассеяния в Ч-системе получаем В случае сил притяжения (а>0) угол рассеяния отрицательный, О<0, а если взаимодействие носит характер отталкивания (а<0), то 0>0.
Обращая формулу (16.6), получим а О р= — —, с(й —. (17.6У рс 2 Дифференцируя это выражение по 0 и подставляя результат в (13.6) или (15.6), находим О соз— бо=п ~ —,) пО, мп'— 2 нли (18.6)~ и!п4 2 Этп (11глрму.зл Реэео4юрле. Мы ютлим, псе эффективнее сечевле рассеяния ве зависит от знака и, так что формулой Резерфорда описывается как случай притяжения, таки случай отталкивания. В ряде задач теории рассеяния можно ввести понятие полного эффективного сечения рассеяния как величины, равной отношению числа частиц, рассеиваемых за едшпщу времени под всеми углами О, к плотности потока падающих частиц: ам~ = ~ пп(О) = ~ ао Я), (19,6) пй (Р) Из этой формулы следует, что если радиус действия сил ограничен, т.
е. потенциальная энергия взаимодействия имеет вид (у(г) при г<Н, У(г) 0 прн г>)т'„то аьп будет равно плошади круга радиуса )г' вы~ = ~ 2прар =- пй'. (20.6) Рели ввести полное сечение для процесса рассеяния заряженных частиц, то нетрудно показать, что опо обращается в бесконечность. Говорят в этом случае, что полное сечение расходится, Эта расходимость связана с сущеетвованием взаимодействия меткду частицами при сколь угодно больших прицельных расстояниях, т.
е. фактически возникает из-за бесконечно большого «радиуса действия» кулоновских сиЛ, Дело в том, что при вычислении пыл мы учитываем вклад всех рассеянных частиц, включая частицы с прицельным расстояпием р-+.оп и соответственно 0 — «О. Легко видеть, что при О-+О расходится и йо, так как ( а та па Ыо~о а на 8п ( — ) — ~ -~-пю, 83 Следует отметить, что эта расходнмость присутствует и в формулах с1п""1,„м полученных методами квантовой теории. Ее причина также связана с дальнодействуюшим характером кулоповских сил, ел.
ВАхвдг чАстиц. пол нОВ сеч ен и е 3АхВАТА Рассмотрим графики эффективных энергий, представленные на рнс, 7.6, и поставим вопрос: в чем опи существенно различны? Ответ, очевидно, заключается в следующем: па рис. 7.6, а изображен случай, когда для всех (л1обых) 1п-состояний существуют Оа1-состояния, в то время как в случае рис. 7.6, б некоторые 1и-состояния не имеют Оп1-состояний, .Легко видеть, что частицы, находящиеся при 1-» — сс в 1п-состоянинх с энергиями В>17„ь будут падать на центр поля, Подобно тому как это было сделано для задачи рассеяния, здесь также можно ввести некоторую физическую величину, которой удобно характеризовать процесс.
Если речь идет о взаимодействии пучков частиц, то отсутствие Оп1-состояний в такой задаче, очевидно, означает, что обе частицы прн 1=со совершают движение в ограеыщенной области пространства, В таком случае говорят о захватс частиц. Процесс характеризуют полным сечением захвата, которое определяют как отношение числа частиц данного пучка, захваченных за единицу времени, к плотности потока этого пучка до рассеяния. Как и ранее, задача захвата двух частиц приводится к задаче о движении р-точки. Условия падения на центр поля р-точки запишем, используя параметры задачи рассеяния ч и р: н далее "~ )г с' (г)~г о-.'- 2 (22.6) Этсий формулой и определяются условия падения на центр поля. 1!остчснпм вопрос: при каких значениях р неравенство удовлетворяется? Очевидно, если сх(г) >О, т. е, если взаимодействие носит характер отталкивания, то псрппспство пе удовлетворяется пн прн каких значениях р. В слухо час же притянсспия, по крайней мере, если силы притяжения быстро убывают при г-~О, падение становится возможным хотя бы для некоторых р: 0<р -р ., ЗнаЫНТ, В ЭТОМ СЛУсШС ПРИ (Э(Ра1ах ПРО Рис.
з.з исходит захват частиц. Полное сечение захвата, согласно данному выше определению, вычисляется по формуле Осос — прсаах (23.6) Пример, Найти полное сечение захвата частиц с энергией Е, в поле У(г)== — —, а г' а эффективная потенциальная энергия 0„„4,= — — —, где )3= =$ — Е„ро, Падение па гхентр поля возможно, только если 5~0, т.
с, прй р Е,р', Прн этом должно выполняться Ео~У, где а зр (У„,=У,ее~ах (рис. 8.6). Найдем У . У,~„~= — — +==-О. ОтГ 2 а р ах сюда г„,= — с' - 0 н сг' а гас г~„45 Из условия Ео У, получим х.) — "' , а — с.г~— 4 ((4 — бор') 4Ео сох осос=О, Ео«- —. 4Р ' аа аа н — — —. Значит р' = — — —. Тасс как величина По 4Еэ саа~ со 4Бо о р' должна быть положительной, то окончательно найдем Глава 7 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 7.е дВижение тел ПРИ НАЛОЖЕННЫХ СВЯЗЯХ Под связями понимают не вытскшощне нз уравнений движения ограничения, налагаемые па положения (радиусы-векторы) и скорости точек системы.
Связи можно представить себе реализуемымн поверхностями, стер>киями, нитями и т. п:, аналитически свяаи выража>отся уравнениями связей, т, е. соотношениями между гь гь Начальные условия теперь не произвольны, точка не свободна, так как в произвольный момент времени долгкпы выполняться соотношения 7 (г„г, ..., гл, 1) =О, се=1, 2, ..., 1к (1,7) Это голономные связи. чгупкционально они зависят только от координат и времени.
Точнее, если все уравнения связей; можно представить в виде (1.7) до интегрвровання уравнений' движения, т, е. если можно проинтегрировать уравнения связей, (которые, как было сказано выше, могут зависеть от скоростей) независимо от уравнений движения, то связи называются '.
голопамнымн. Бслн в функции 1 входят скоростя, то связи называют псголономными. Различают связи, когда пи в одно из соотношений (!.7) время явно не входит (стационарные, нлн склеропомпыс) и когда (1.7) явно зависят от времени (нестацнопарныс, или реопомные связи). Силы, с которыми тела, осуществляющие связи, действуют на точки механической системы, называют реакциями связей.
Связи вносят в задачи механики две трудности. Во-первых, не все г> являются независимыми, так как опи связаны определенными соотношениями. Следовательно, пе псе уравнения движения явлшотся независимыми. Во-вторых, 'силы, аозпика>ощне в результате действия связей. (силы реакции связей), априори нс заданы. Онн являются неизвестными величинами решаемой задачи и подлежат определению. Наложпть на систему связи — зто значит просто указать, что в системс действу>от силы, которые прямо не заданы, но которые определенным образом влияют на движение системы.
Основная задача механики системы А> точек, на которую наложены голономные связи, формулируется как задача пахож- денна законов движения точек системы и реакций связей по заданным силам Г; (1=1, 2, .„, У) и заданным уравнениям голономных связей. Если задано й соотношений нида (1.7), то опа сводится к нахождению совместного решения уравнений движения и уравнений связей; п1г,=Р,+й, (1.=.1, 2, ..., )У), ~,(го гм..., гхп 0==0 (а=!, 2...
й) с начальными условиями, заданными в соответствии с уравиевиями связей. Это система ЗЛ~+й скалярных уравнений, содержащих 6бг неизвестных функций (ЗФ функций г; и ЗУ вЂ” Н~), В тривиальном случае (А=ЗУ) связи полностью определяют движение системы.
Если й(ЗУ, то рассматриваемая задача являстся определенной только в том случае, когда известно 6)У— — (361+й)=361 — й з независимых соотношений между положениями точек н реакцнямн связей. 7,2, ВИРТУЛЛЬНЫВ И ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРВМВЩВНИЯ Виртуальным перемещением системы называют бесконечно малое изменение ее конфигурации, согласующееся со связями (наложенными па пее) и данный момент времени. Иными словами, если 7„(гь ..., гл, 1) =О, а==1, 2,, 7г, (2.7) то и 7ч(гд+бгь ..., гь+бгн, 1)=0, а.=-1, 2, ..., А, (3.7) т.
е. уравнения (2.7), (3.7) должны удовлетворяться в один и тот же момент времени. Виртуальныс перемещения являются геометрическими понятиями, не связанными с движением. Это вариации функций бг~(1) при неизменном значении аргумента, т. е. малые измспепия нида функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
