В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Иыиод формуль<, оир<чмляшиии скор«гть и <мси< яиц пол. иой мехаиичсской энергии сцстсмы тич<к, и<>добси иыиоду аиа- логич<п>й формулы для одной точки. (! р<зуги тита иилучим н н ,И1ск< <я> я! д! Ь' 1 яяк >Н ! где Е определяется формулой ((Иб), а Р''""', Р""в' яиещ. иие и ииутрсииис дисси<игпишыс силы соотистстисиио, Из формулы ((!1, !) <'лсду<т, чт<! и<>ниии м<'зинич<<яиц <иср гия систсмы материальпых точек сохраияетси, соли <)('""',<1г <О д(!<Я< ((тс О, а такжа если —:.= — (Р, т. с.
осли убыль тшсргии д1 за счст диссипативных сил компсисирустси иостуилсиисм ыгар. гни и систему за счет заиисшпих от ирсмеиц иотси<ышлш<ых сил ". Для замкнутой системы (и отсутствис также внутренних диссипатшшых сил) имесм )О интегралов диижеиия: семь иер. вых (Е=Ео, Р Ро ( '(!) и три вторых (й У(+йв) ° 6,4, МЕХЛНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ, ТЕОРЕМЛ ВИРИЛЛЛ Рассмотрим диижсиис и иолс коиссриитиииых сил систсмы тпчск, иотсициалшшя зисргия которой иилис<си однородной фупкцисй коор>1ии<п, т, с. фуикцисй, удоилстиоря.
югдсй условию () (аг<, аг,„..., агн) а'() (г„гм ..., гн), "> Во кзбыквкис И<хораз!'мсшй <<<нс<срквсм, что, соля тто ис огоаорвао особо, иох потокпквкьпмми склвмк м>к нпхрпяумсввсм склм, оввксв<мкв толь. ко от коордонат ~<вс>>><<, по кс <>т кр<мспп. где г! — некоторая постоянная, а число т — степень однородности функции. Запишем уравнения движения т,г,=-. — —, !=1, 2, ..., !~1 дС! дг! (20.5у и вы|!яслям и произведем в них преобразование, при котором наряду с изменением всех радиус-векторов в а раз одновременно изменяется в р раз время; ': г г!-+ !хгь Г-+ 111. ' *! а ь (21.5) Уравнення движения и результате этого преобразования, очевидно, приобретают вид — т!г! =- — а —, д- .. сг - !-! дс! (22.5) 52 дг! Пусть постоянная р связана с о соотношением «! — багз (25,5)- Тогда уравнения двихкеиия останутся неизменными. Но радиусы-векторы всех частиц мы нзменплн в о раз, т.
с. мы сделали переход к геометрически подобным траекториям, которые отличаются от исходных лишь своими линейпымп размерами. При этом отношение всех времен движения (между соответствую!цимп точками траекторий) равно +=~+)' "' (24.5) Здесь 1'/1 — отношение линейных размеров двух траекторий, Рассмотренный переход возможен только в том случае, когда потенциальная энергия системы является однородной функцией т-й степени от декартовых координат, Соотношения типа (24.5) для времен можно получить также и для любых механических величин в соответствекных точках траекторий в соответ.
ственные моменты времени, Так, для импульсов получим, Из формулы (24.5) нетрудно вывести свойство изохронпости колебаний математического маятника (т=2) или третий закон Кеплера (т= — 1) Докажем теперь теорему вириала для системы материальных точек. Обратим внимание на то, что эта теорема имеет и статистический характер.
Рассмотрим величину б=:~ (р; г!) ! ! дд ~-! — (!3р!) 1- ~(!'! р!). д! !=! (25.5) Преобразуем правую часть (25.5): н и ~ (г~р~) =') т,г) =2Т, ьм гю Ф, Ф ( г ~ р ~ ) х ( г ~ Г ) (=! е51 С учетом этих преобразований имеем — = 2Т+ ~(г~ Г~), ло й (26. 5) Усредним (26.5) по времени согласно формуле 7=Ипт — ' ~((т) Ис, т,~ о (27, (э) В результате усреднения получим 2Т+ ~~~(г; Г~) =- (28. 5) Правая часть этого равенства называется вириалом Клаузнуса, а само равенство выражает так называемую теорему внрналн. В таком виде теорема вириала полезна в кинетической теории газов. Можно показать, что если в силы Г; будут входить силы трения Г, пропорциональные первым степеням скоростей точек. то внриал снстемы от них зависеть не будет. При этом, разумеется, нужно предположить, что двизкеине системы не прекращается вследствие трения, т: е.
в систему поступает энергия на поддержание движения (в противном случае все средние значения будут стремиться при т- со к нулю и равенство (28 5) потеряет смысл). то Для периодического движения справа стоит нуль, так как с' можно выбрать равным периоду. Аналогично правая сторона обращается в нуль, если координаты и скорость точек системы остаются ограниченными (т. е. не обращаются в бесконечность), Поэтому в любом случае Из (30.5) следует, что для гармонического осциллятора (и, 2) й у=О, для ньютоновского взаимодействия (а= — 1) Т= —— 2 нТ= — Еэ и т.д.
Теорема вириала используется в классической механике, атомной физике и статистической механике, Ес модификация применяется в квантовой! механике. з.э. ВАдАчА дВух твл Задача двух тел представляет собой наиболее простую задачу системы материальных точек, решить которую можно полностью в общем виде, если сила взаимодействия между частицами подчиняется третьему закону Ньютона.
Это точно решаемая задача. Она может быть упрощена путем разложения движения системы (состоящей из двух частиц) па движение центра масс и движение точек относительно ЦСО. Запишем уравнения движения относительно неподвижной системы отсчета с началом в точке О; в!,г, =Ем()г,— г„)) =— д(! ( ~ г., — г1 1 ) дгт (31.5) гн,г,=рм()г,— г,!) =— ду (1гх — г~ ) ) дтпл причем (32.5) т! Рм+Г, =О.
Рассмотрим случай, когда все силы Г; являются потенциальными. Тогда вместо (28.5) получим Т= — ~„(г, — ). (29.5) 1'.— -1 Если к тому же потенциальная энергия является однородной функцией п-й степени от всех радиусов-векторов гь то согласно теореме Эйлера об однородных функциях получим Т:=-ай, (30.5) 2 Т ео р е м а в и р и а л а. Кинетическая энергия системы материальных го !ек, усредненная по бесконечному интервалу времени, равна усредненному но тому же интервалу времени вириалу сил. Так как т+П=Й=Ев, соотношение (30.5) можно представать в формах, полезных для приложений: й= в 02 э+2 Так хак вне|инне силы па точки не действуют, то согласно (7.5) имеем закон движения центра масс системы двух точек в вице т,г, + т,гз т1'т та (33.5) г,=)х+г;, г~==Ъ'+г~, Г=1, 2, (34 5' где Ч=К=Чт г — радиус-вектор Г-й точки относительно 3', Согласно принципу относительности Галилея уравнения двн.
жения (31.5) сохраняют свою форму в системе отсчета 3', и,г1 = Рз, (~ г — г~) ), изгз — — им Г)гз — г~ ~). Но в системе 5' радиус-вектор центра масс Гх'=О. Значит, /пгг1 + и.,гз =- О, Вводя вектор взаимного расстояния (35,5) (36. 5) (37.5) г=г — г — г — г 2 н из двух последних равенств находим г'=— т, т, 1 г, г'= 2 г, т,+т, т,+т, (38. 5) Дифференцируя (38.5) по времени, получим г~=.— тг ' '' тг г, гз= г. т~+т, т,+т~ И далее г~= — ' г, гз= ' г,. (40.5) т1+тг т +тг Подставляя (37.5) н (40,5) в (35.5) и учитывая (38.5), убеж- даемся, что уравнения движения для каждой точки записыва- ются одинаково: г = — Рм (1г ~ ). (41.5) тг+ тя Величина Гг=и,изГ(и,+из) называется приведенной массой, l где У= 'г'" ~ ' " — скорость, а 11р — — (т,г„+и.,г,р)/(и, +ив)— т,+ тг радиус-вектор центра масс в начальный момент времени.
Введем систему отсчета Я' с началом О' в центре масс, Тогда Нетрудно показать, что 1'=).~'+Ез', а Е'=Е,'+Ез', где 1. — момент импульса, Š— энергия г-н точки в системе 5': ).' = лг„ (г~ г1) + тз [г гз) = р (гг), т,г, е,гз ргн Е' = — + — + У (г) =- — + У (г). 2 2 2 Итак, механическое состояние системы, состоящей из двух взаимодействугощих точек, относительно системы отсчета 5 определяется формулами г,(()=К(1) — — ' г(Г), г,(1)=й(г)+ ~' г(г), г1(~)=ЧΠ— — 'г(г), гз(()=1г,+ — 'г(~), т=пг,+гн,. т Ф Глава 6 У)1РУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ ЗЛ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В теоретической механике в ранках задачи двух тол решают в основном дпе задачи: задачу определения значспый энергии системы, траекторий частиц, движущихся в ограниченной области пространства, н задачу рассеяния частиц, которая вкл1очает в себя исследование упругого рассеяния.
1засссяпис двух частиц называют упругим, если в этом процессе пс происходит изменения внутреннего состояния взаимодействующих частиц. 1'1остановка задачи рассеяния состоит в следующем. Прежде всего удобно считать начальным моментом времени 1з= — оо. При этом предполагается, что при 1= — ~ частицы являются свободными, так как онп бесконечно далеки друг от друга н вследствие этого энергия их взаимодействия, явлпощаяся функцией расстояния между ними, равна нулю. Далее частицы взаимодействуют между собой, однако при 1 — ~- о они раходятся, пх энергия взаимодействия снова обращается в нуль и онн становятся свободнымн в указанном смысле.
Задача заключается в том, чтобы определить механическое состояние системы частиц при 1=со, задав их состояние прн 1= — оо. В квантовой механике состояния частиц при Т= — оо называют 1п-состояниями, а при 1=со — Оп(-состояниями. Удобно придерживаться этой терминологии и в теоретической механико. Лсгко видеть, что механическое состояние системы, состоящей из двух частиц, при 1= — а в 1= определяется полностью их скоростями (или импульсами), поэтому векторы чс=ч, ( — чз), чз =чз( — оз) характеризуют 1п-состояния, а векторы чз+=чз(со), ч1" =ч1( о) — Оп(-состояния системы.
Кроме того, нужно такзке задать массы частиц пз„шь энержпо их взаимодействия У(г) н параметр р, называемый прицельным расстоянием. Скорости частиц задаются относительно некоторой ннерциальпой системы отсчета, которую в теории рассеяния обычно называют лабораторной системой плн л-системой. Если рассматривается задача о рассеянии двух пучков частиц (в таком случае предполагается, что в одном из пучков все частицы имеют одинаковые массы, скажем ~и~, и скорости ч,—, а во втором — т, и чз-), то, как будет видно из дальнейшего, нужно 76 также задать угол Чь определяющий ориентацию плоскости движения каждой пз пар сталкивающихся частиц относительно системы отсчета, связанной с центром масс какой-либо пары (зту систему называют д-системой), Задачу рассеяния двух частиц можно решить в общем виде, используя полученное выше решение задачи двух тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
