В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 6
Текст из файла (страница 6)
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ СОХРАНЕНИЯ Уравнения движения (1.2), (2.2) определяют закон изменения импульса материальной точки, из которых следует, что если Р=О, то вектор импульса точки р=гпг=р(1а), где р(1а) — постоянный вектор. Это утверждснне носит характер теоремы. Так как р — трехмерный вектор, то в случае ранепства пулю всех трех компонент силы остаются неизменными во время движения все трн проекции импульса на неподвижные осн. Однако нз (1.2) следует также, что н случае равенства пулю какой-либо проекции силы па неподвижную ось соответствующая проекция импульса сохраняется, Фупкппи ~,=-тх~=-р~(1,), (х,=х, хз=д, х„==з) (1 9.2) являются тремя первыми независимыми интегралами движения.
Найдем векторное произведение (гр), где г — радиус-вектор точки. Из (1.2) получим (гр) — — (ГР), (20,2) нли Л. — =- М гн (21,2) Ь = п,т (дг — зд) + п,п1 (гх — хг) + п,пт (хд — дх) = = п„1.„. + и, 1т, + п,Т., (22 2) Из (6.1) и (22.2) видно, что ).=2то, где о — секторная скорость точки. 2 В. Г. Халилов, Г. А. но>кое где М.=(гр) — момент импульса тачки, а М=(гг) — момент си. лы. Уравнение (21,2) определяет закон изменения момента импульса точки со временем. Из (21,2) следует теоремгп если вектор момента силы в любой момент времени равен нулю (М=О), то момент импульса точки пе изменяется во время движения, т, е.
).=Ьа, илн по компонентам с~ т...'о, Ьа Т.ио ь~=с~о. В случае равенства нулю какой-либо проекции момента силы соответствующая проекция момента импульса будет оставаться постоянной. Компоненты вектора 1. по декартовым осям Е,х+1.„у+ Е,г=О. (24.2) Аналогично (Е г) = (и> (гг) г) = О, йп~йьГГ ,Оь У.п' " (25.2) Е,х+ Е, у -р Е,г = О. Но если Г =-7 †', то 1. = Е, и, следовательно, l (1.„г)=О, ((.з г)=О. (26.2) 1Лз (26.2) видим, что под действием центральной силы точка движется по плоской траектории, плоскость которой проходит через центр силы и перпендикулярна постоянному моменту импульса точки 1м Заметим, что существование зависимостей (24.2), (25.2) связано с невозможностью решения системы линейных уравнений Е„= пг (гу — уг), Е„= т ( — хг+ хг), Е, =- т (ху — ух) (27.2) как относительно х, у, г (при фиксированных х, у, г), так и относительно х, у, г (при фиксированных х, у, г).
Легко проверить, что функциональный определитель этой системы равен нул>о, Вычислим скалярное произведение векторов г и тг, умножая (2,2) скалярпо на вектор г: т(г г)=(Г г), (26.2) Поставим обший вопрос: в каких случаях М=О, т, е. когда является интегралом дан>кения? Оказывается, это будет в г двух случаях: 1) Г=О; 2) Г=-7(г) —.
Первый случай тривиа- Г лен, так как на точку не действуют силы. Во втором случае линия действия параллельна (нлн антипараллельна) раднусу-вектору частицы и проходит через некоторую неподвижную точку — центр силы. Очевидно, центр силы находится в начале координат. Тогда М вЂ” -(гГ)= — (гг1=0. Силы вида Г.= 1(г) г г г называются центральными.
Мы будем рассматривать только так называемые потенциальные центральные силы; тогда скалярная функция 1' зависит только от (г~. Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса имеется зависимость, так как (1. г) =- (т (гг) г) = О, )Л,у~44 й> ' ~М (23.2) Левая часть (28.2) равна полной производной по ! от кнпетн- ческой эпсргин точкн ег~ Т == —. 2 (29.2) Правая часть (28.2) равна мощностн силы. Рассмотрим важный случай потенциальной снлы, Силу называют потенциальной, если она зависнт только от координат н времени н удовлетворяет вскзорпому уравнена!о го1 Г = [ГГ) =- О. (30.2) Если (30.2) выполняется, то Г можно представить в виде ди ! ди ди ди ! Г= — !!та!(У= — 1!У=- — — = — ( —, —, — ).
(31.2) дг , дх ' да ' дг ) Скалярную фупкцню У называют погепцнальпой энергией точки, Пусть Г и У пе зависят от 1 явно., Используя (31.2), представим (Г г) в виде Г ди аг! аи (Г г) = — — — '= —— ,дг й) й (32,2) Выражая гп(г г) нз (29.2) н подставляя полученное, а также (39.2) в (28,2), находим (33.2) й а! й Здесь г(А — элементарная работа потенциальной силы, т, е. г1Л=(Г Й). Так как с!Т и г(Л явлгпотся в данном случае полнымн дяфференциаламп, то а (т+ у) = г(е = О, (34.2) т. е.
Т -1 У ~!, = Т + У ) „ Е (1ч): †. Е (1). (35.2) М!! получили закон сохрансння полной механической энергии точки Е, которая определяется как сумма кинетической н потенциальной энергия точки. Если Г и У зависят явно от 1, то — = ~ ~У вЂ” 1!+ = — (' à — ) + —.
(38.2) аи, аг! ди ! аг ! ди а! (, а!) д! (, и3 д! ' Зб Выражая отсюда (Г г) и подставляя в (28.2), получим ат аи1 ди дн ди (3!.2) й й д! ' й д! Это закон пзменеппя полной механической энергии точкн, двнзкущсйся в поле потенциальной силы. В задачах механики помимо потепшгальных сил рассматривают также днссипативиые н гироскопические силы. Днссипатинная сила Г» направлена всегда противоположно скорости те. ла относительно среды, вызывающей торможение тела; Г" = — рг, (38.2) причем (3 в общем случае является положительной скалярной функцией координат и скоростя точки. Гироскопическая сила представима в виде Г» = и (гВ), (39,2) (40.2) где г — скорость точки.
Из (39.2) следует, что вектор Г» ортогонален вектору скорости г. т. е, (Г» г) =О. Если Г"ФО н Г»ФО, то этн силы нугкно учитывать в уравнениях движения. В частности, закон изменения полной энергии точки прн наличии потенциальных, гироскопических н диссипативных снл имеет вид — = — +(Г' г). ЫЕ дУ »1 д~ Глава 3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ЗД, ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ОБШИЕ СВОЙСТВА Уравнение (2.3) выражает закон сохранения полной энергии (3.3). Из (З.З) можно найти х(х), не отыскивая закона движения точки х(!).
Кроме того, (З.З) есть диффсреицнальное уравнение первого порядка, которое можно проинтегрировать в общем виде методом разделения переменных. Имеем дх / 2 д> х> (4,3) откуда дх 2 — (Е,— и(х)) (Б,З) Решение (5.3), зависящее от двух постоянных Ем С, является вторым интегралом движения. 37 Далее мы увидим, чта в механике рассматри- ваются иекоторыс модельные системы, движение которых мож- но описать одним уравнением що(~~),, дх . ' ~!' с ° Здесь х не обязательно декартова координата точки, а пара- метр т ие всегда обозначает массу точки. Примерамн таких си- стем могут быть: гармонический осциллятор, математический маятник, бусинка на неподвижном гладком кольце и т, п.
Если (7 является только фуикпией координаты х, то уравне- ние движения интегрируется в общем виде, т, е. основная за- дача динамики решается прн произвольной функции с>'. Для это- го найдем первый интеграл уравнения движения (!.3). Умно- жая (!.3) на х, получим ди и г >ах>л хшх= — х —, — (' — '+и(х)).=-О, (2.3) дх д> , 2 ~о~ 2 2 (3,3) Зз.
ОБЛЛСТИ ДВИЖЕНИЯ. ТОЧКИ ОСТЛНОВКИ Запишем (3.3) в виде !ох! = Ео (! (т) 2 (6.3) а в области х<х ! к, — — ! эо(и-а,! Оо л х -1 где й — постоянная Планка, ЗВ о> !!о Так как — =7 > О, то отсюда следует, что ди!жение может 2 происходить только в тех областях пространства, где Ео>(!(х).
Если У(х) задана графически, то классически допустимые области движеш>я (для определенной Ео) можно найти, проведя иа грас!и>ке У(х) горизонтальную прямую, соотвстству>ощую заданному значению Ео (рис. 1.3). Де>й>ствптельиые корни уравнения (у(х)' — Ео=-О определяют границы областей движения, В этих точках потенциальная и(х! энергия равна полной, а кинетическая энергия (и скорость точки) обращается в нуль.
Поэтому эти точки являются тачками остановки частицы; анп зависят от Ео. Если полная энергия часх тицы равна Ео, как на рис. 1,3, то в зависимости от начального Рис. !.3 значения хо движение может либо происходить в ограниченной области пространства (если х!<хо<хо) между тачками х„хь либо в области пространства, ограниченной лишь с одной стороны (если х„<х, нли хо>хо) Лви>кеиие в ограниченной области пространства называют финитным; в ограниченной с одной стороны илп неограниченной вообще (движение с Ео) — пифипитным.
Прп ипфпиитпом движении частица уходит на бесконечность Частица с энергией Ео в заштрихованных областях находиться не может, как и пе может пройти через эти области, Последнее утверждение справедливо только в классической механике. Если система кпаитовомеханичесная, та вероятность просачивания частицы через классически недостугшую область (т. е. через потенциальный барьер) отлична от нуля. Поэтому даже если мы приготовили состояние с х!<хо<хо и энергией Ео, то вероятность обнару>кения частицы в области х>хо можно оцепить по формуле А'1 о — ! ! Оо1(а — Е,! оо л,! к, и согласно (5.3) получим ли ил Т (Ев) ==- 2 ли ли (8.3) г — (Е„ — и (х)) Этой формулой определяется период колебаний частицы в за- висимости от ее полной механической энергии, Пример.
Найти закон движения и период колсбаний од- номерного гармонического осцпллятора. Гармоническим осцпллятором называют механическую силпевхк стему с потенциальной энергией (1(х) = —, х — коордпг пата точки. Классически доступная область движения есть при любой положительной полной энергии (рис. 2.3). Замстим, ес- ли Ес О, то решение тр>пптвльпо: х(1)=0. Вместе с х обраща- ются в нуль все производные закона дни>кения: х(1) =О, х(1) =О, х(1) =О,." При Ео>0 закон движения получим, используя (5,3): 1=1е~ ) / г "й/ — (ń— и (.)) >л =1,~ — (агсз)п — — а), ))= ~~ —, сс=агсз1п —. 5 )' ~Г ' й' "1 Свойство обрзтимости при звмспе 1 пп — 1 имеет место и н общем слуявс движения в трехмерном ирострвпствс.
Эту твк пвзмваемую 1-нпвп. риаптность уравнений мскзипкп можно продсмопстрироватв, сняв ив кипа- пленку килой.то мекпппясский привесе, развивав»инйся в ивпрлвлеинп возрзствпии 1, п прокрущвся со в обрптпом пвпрввлсппи. зй В квантовой физике явление прохождения частицы через потенциальный барьер назьптают квантовым тупислпроваппсм илн туннельным эффектом.
Оп будет иметь место прн конечных высоте и шнрннс барьера. Заметим, что формальный переход к классической теории соответствует пределу 1т-+-О, что влечет за собой в- О. Если х лежит в области х1<х<хя, т. е. частица находится в потенциальной яме, то дни>кение является колебательным. Из (1.3) и вообще пз уравнений движения следует, что если силы, действующие па частицу, являются потенциальными п У пе зависит от 1 явно, то замена в уравнениях движения 1 па — 1 пе меняет уравнений дни>кения. Это свойство обратимости движений, происходящих по законам классической механики*>. Б частности, это означает, что время диижеппя 1л,л„от х| до хз равно времени обратного движения 1„... от хя до хь т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
