В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В самом деле, задачу двух тел сведем к задаче о двшкеппп р-точки и далее, учитывая сохранение скорости центра масс системы в процессе рассеяния (вследствие того, что система изолирован.ная), находим ч~~ = и — — ' ч+, и+=К~с — 'ч+, т=т1+т„(1.6) 1,и ' и и) тс»~ + иьч где 1г= †скорос центра масс, а ч+ =ч+ — ч+— Ш 2 скорость р-точки после рассеяния. Величину чг найдем из заиона сохранения энергии для 1г-точки (закон сохранения энергии в задаче двух тел относительно ц-системы): — +(/!г=.
= — +У~ =-- рс" ич-' 2 2 (2.6) Но так как У)~= =У)~= =О, о~=о-, Поэтому и"=и-п„где и-=) чз — и,-! а единичный вектор и, направлен по чь или чз+. Процесс рассеяния в ц-системе можно изобразить графпче- Рис. г.е ски (рис. 1.6) на плоскости х'Оу', являющейся плоскостью .движения взаимодействующих частиц.
Напомним, что если т1 =ть как на рис. 1.6, то согласно (38.5). г'= — г12, г,'=г!2, ! ' 3 где г — радиус-вектор р-точки. Так как в и-системе в любой момент времени р,'+р,,' — -О (и, значит, р~~ +р~+ =-О и р1 +рг =-0), то угол между ч+, н ч~ равен угол между ч~з ' н чз ' и, следовательно, скорости частиц в любой момент ( направлены противоположно. Таким образом, результат упругого рассеяния частиц сводится в г(-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противополозкпыми и пеизмеппымп по величине.
Но так как вектор ч~~ параллелен ч+, этот угол равен углу отклонения (~-точки, Обозначим угол отклонения буквой О. Учтем, что полярный угол йм выразкаетсн через определенный интеграл: Чо "= ~а Нг (3.6) нГ 'пип ~l (Ео — 0 (г) — Ед ~2пг') где точка поворота г„ы является корнем уравнения Е,— Цг) — Ез ~йргз =.= О. В подынтегральное выражение (3.6) входят параметры, харак-.
теризующие р-точху, Очевидно, что (4. 6) 0-.- ж — йгрО, Мы здесь воспользовались общим свойством симметричности траектории по отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центру поля точку орбиты, Поэтому обе аспмптоты орбиты, скажем, р-точки, пересекают указанную прямую под одинаковыми угламн. Угол О называют углом рассеяния в системе центра масс; он равен углу между двумя асимптотами к траектории р-точки, а срз — угол между асимптотой траектории и апсидальаым вектором.
Прицельное расстояние — это расстояние между аспмптотами траекторий частиц в Ч-системе, по которым частицы движутся до рассеяния; его также можно определить как минимальное расстояние, на котором частицы пролетелп бы друг от друга в отсутствие взаимодействия между ппми. В задаче рассеяния сохраняющиеся величины Е, и Ьз принято записывать через скорость и- и прицельное расстояние р: Е,= —, Е,.=ргп — з(п(г, ч — ) — — рро-, 2 так как р=гз[п(г, ч-).
Отсюда видно, что р равно длине перпендикуляра, опущенного из центра поля па асимптоту траектории (х-точки, или, эквивалентно, это минимальное расстояние, на котором р-точка прошла бы от центра силы, если бы взаимодействие между ней н полем отсутствовало вообще, Формулами (1.6), (4,6) дается решение задачи об упругом рассеянви двух частиц. Мы видим, что эта зада ш является частным случаем задачи двух тел, когда нужно знать лишь скорости частиц после рассеяния.
Угол рассеяния О зависит от р, и-, а также от вида взаимодействия частиц и параметров, которые его характеризуют„т. е, от (7(г); (5,6) й "т1п / 2~~) /' ВЛ, ДИАГРЛММЫ СКОРОСТИИ И ИМПУЛЬСОВ Общим результатам, полученным выше ца основании законов сохранения энергии и импульса, можно дать геометрнчсску1о интерпретацию, изображая г па графике импульсы частиц в л-системс. Для этого умножнм формулы (1.6) па /пг н шг соответственно: Р+ = — (Р +Р ) — ра па (66) т Рг+ .
— — (Р~ + Р~ ) л Ро иа (7 6) ас-" ик, Ав=тЧР ' р ), он= т//р,- р, 1, лс=р', св=р 2 Т 11остропм окружность радиуса ро- н далее векторы (6.6), (7,6) (рис, 2.6). Прн заданных р,— н р,— раднусокружпостнияоРис. 2.6 ложение точек Л и В иснзменшя, а точка С моясет иметь любое положение йа окружности, Рассмотрим случай, когда одна из частиц (для определенности массы и,) прн 2= — оо поканттг ся, т. е. У,-=0, В этом случае У =Уг, АО= — ' р,, АВ=Рг, т тг ОВ= — ' р =-рч, н, в зависимости от соотноп1ения масс /п~ н аИ т получим диаграммы, изображенные на рис. 3.6, Указанные па рис. 3,6 углы 9, н 6, представляют собой углы отклонения (рассеяния) частиц после столкновения по отношению к паправле- Рис, 3.6 иию двяження налетающей частицы импульса рз- (направление удара).
Углом 0 задается направление вектора пм н, значит, этот угол представляет собой угол поворота частицы массы тз в системе центра масс. Из элсментарпоп геометрии находим связи О,-= "-', Ц0е=- (8.6) 2 ' т.,+т,сози Абсолютные величины скоростей обеих частиц как фушсцни 0 можно найти из формул (1.6): о+=2 — 'о-з(п —, ки~,.
О (9,6) м 2 ' о+ = — '~/и' + пгз~+ 2гп1ггЗ со50. (10.6) Суммарный угол н в О, -+ О., --- — — — -р агс(ц 2 2 /и, — м, ! + созО+ ~1 есть угол разлета частиц после столкновения. Видно, что О, + +О,> — при гп,= гп, и О,+О,< ~ прн гп,~гп,. Напомним, 2 " 2 что лг,— масса налетающей частицы, Заметим, что прн т,>тз скорость налетающей частицы после столкновения может иметь любое направление, по если глз)ть то угол отклонения первоначально движущейся частицы ограничен значением, соответствующим такому положению точки С, при котором прямая ЛС касается окружности. Прн этом ОО т з(пОз „„=- —" йО та Если гп~=гнз и, кроме того, т~-=О, то диаграмма импульсов становится совсем простой (ркс, 4.6).
Существенно упрощаются и формулы, выражающие связи Оь Оэ э ьь тзе с углом О,' О»= л — О , О„= —, 2 ' 2 ' о+ =о — з(п —, о+=о — соз —. 0 О 3 2 ' 2 Очевидно, в этом случае угол разлета О,+Оя= — ". 2 Рка. 4.Е Рассмотрим теперь случай так называемого лобового удара, когда обе частицы после столкновения кипя<утек по одной цря.
мон; 6=к, р,+, р,~., или взаимно противоположны (если щ> >гпз), или направлены в одну сторону (сслп гп~>т,). Скорости частиц после столкновения получим прямо из (1А)) в виде (1 1.6) а,~ам т,+м, Из (!1.6) видно, что прн лобовом ударе первоначально поко. ившаяся частица приобретает после столкновения максимально возможную энергшо гп1а, а,ам +" 1 з 2 (ап+ ам)' где Ез = —. ""-" — энергия движущейся до столкновения частиц~ 2 ал. ВФФсктивнос попсРечнОе СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ Физическая задача о рассеянии заключается в определения характернстик пучка частиц массы пги имщощих до рассеянна однпакоиыс скорости ч;, на пучке частиц' массы пгм скорости которых до рассеяния также одинаковы и равны чз . Прн этом предполагается, что оба пучка однородны по своим сечениям н что каждый из пучков разрежен настолько, что взаимодействие между частицами внутри самого пучка можно ие учитывать.
Так как оба пучка являются разреженными, процесс рассеяния каждой частицы одного пучка на частице другого пучка можно считать однократным. Осиоаныс характеристики процесса рассеяния получим в Ч-системе для р-точки. Различные пары частиц, т. е. различные р-точки, обладают разными прицельными расстояниями и соответственно пм рассеиваются под разпымн углами (рис. 6.6). Рас. 5.6 Нетрудно понять, что центры масс всех р-точек покоятся относительно друг друга, поэтому угол 0 для каждой данной пары взаимодействующих частнц будет одним н тем же отпа- 80 сительно системы отсчета с началом в центре масс любой пары. Можно выбрать одну из таких систем отсчета, назвав ее условно и-системой, Именно отиосительпо таков системы отсчета рассматривается процесс рассеяния.
Точка, имеющая прицельное расстояние р, отклоняется на угол 0 в ц-системс, а точка (имеются в виду р-точкп) с прицельным расстоянием р+ф рассеивается на угол О+И (см. рис. 6.6). Соответственно п-точки, прицельные расстояния которых лежат внутри интервала р, р+др, рассеившотся иа углы от 0 до 8+1)0. Обозначим через г1У число частиц, рассеиваемых в единицу времеви па углы, лежащие между О и О+д0. Это число будет зависеть от плотности падающего пучка частиц и, и поэтому оно неудобно для характеристики процесса рассеяния. Введем На = пУ/л, (12.6) де л — число частиц, проходящих в единицу времени через .динпцу площади попере шаго сечения пучка, т, с. плотность. потока частиц, Тогда па будет иметь размерность площади.
Это отношение называют эффективным (дифференциальным) сечением рассеяния. Как видно, оио определяется искл1очительно видом рассеива1ощего поля (т, е. видом взаимодействия) и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния. Рис, 6,6 Если связь между 8 и р взаимно однозначна (что будет в случае, если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния), то в заданный интервал углов между 8 и О+ЫО будут рассеиваться лишь те частицы, которые пролетают внутри кольца между окружностями радиусов р(0) и р(8)+бр(8).
Тогда г(У=л2лр(0)пр, а эффективное сечеивс рассеяния (13.6) г(а = 2лр (8) г(р (0). 81 Зависимость эф(1>активного сечеаия рассеяния от угла рассеянна дается этой же формулой, которую нужно переписать в виде по:= 2пр (0) ~ — ! г(0. кр ай (14.6) В (14.6) входит модуль пронаводной — так как опа чаще кр аО всего бывает отрицательной (почему?). Если р(9) — многозначпая функция угла О, то, как это видно, следует взять сумму по всем ветвям этой функции. Эффективное сечение г!о могкно отнести к элементу телесного угла г)ьх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
