Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 28
Текст из файла (страница 28)
oдяoрoдEoсть пPoстpаrrства Й сoхравeяиe импyльса.фrrrчр.киe пpoLPссЬ в н"']o-oрoй oб,,]астиoJнopoДнoгoпpoстpaнстваI]e lloгyт зависстьoт выбopатакoй oбЛасти.действиei\Iеханическoйсистeмы N взаиlloдeйствyюulихчастиц в oднo.кoординат,сдвиг в напpaв!tениикoopдиПyстЬ o есTЬ пPoстранствcнньIй(3l,l) будуT иМстЬвидl|атьIlU.Toгда пpеoбразoванияt:t,'l oll:t,( 3 1. l 4 )ТеopeNаIJётepдoказаIlа'2.' oлнopoлнoстьвpeменrrи сoхPанениeэнepгии.
Эвorюция Фиl']||е(h'rх яв.,le'lия нр ]\lo/кет Jави(eтЬ oг вL|бopа |lаЧJ;|аoтсчeта вре1!lени. eс],lи врепlя oдfloрoднo' ФyнкЦиoна"1дeйствия, ! J=, ,| | i 'x,':цa"'z,i=;,(':l',,,,x)(i'rедoвательнo,в (3l.l4) l)'f/аo = 0.; r Lo i 'oчa,9: ' *Ц=oкак дJIя действительl]ьIх двил{eний'^пpeoбpазoванийгpуппьI(3!.l)' .\S : 0. С.пeдовательнo.сoхpаня..,', . \;I!гц'' l.Ul]|l |lo о |Jq : , , \ {=) ц , ' ( t ' ) .R и Л l , |.Nч т o в с o o т в e T с T в и ис т е o p е I ' 1 o йН ё T e р с л е д с т B и е м o д н o p o д н о с т и в p e м e н и я в л я е т с я з а к o l j с o х р а н е L l и я o б o б L ц е н н o йэ н e p г и иеTся диIlаNlиЧсская фyнкцияI\+o'pодtiоM пpостpансTBе не дoЛ)кнo изi!1eнятЬся при сдBигах наЧаJ'Iа'/'-\/l' / l/ l d/=l#[(, #0,)^,.u,.tз','оffon.]| l,,вид{:t'I.ак('lI |IГi]l'в JтoNl с.lIучае иMeюTЕ ( ' q ' ' ' ' ' , 1 'q' ' , , , ' i " , t ) : q .p' .
" L ( ц ' ' ' ' ' ц r i t . ' ' . ,4 , .l ) : с o l r s t ,"'l-rir'lr+| |(r*-t^.)l,lл:'i,': l.(а.*4.u-',,)r 1 1 .( 3 1 l 2 )dtJ\/..}|сIаничeскoйсисте[tьIтак)ке дoлжeн бЬ|тЬинваpиантныltoтtlo.(31,l)сllтe.lьносдвигoвначаnаoтсчeтаврetteни,Пpeoбpазoвания(/)ПeрeйлеN]в (Зl l0) к интегpиpoваниюпо l, B сooтветствии', фoOУу,яr,r бFскU,|с'|нo\lа |Ь|I']peorlраroв.Uии ( 3 1 . 2 )r/i,:ll+t7753I 30кohb' го\paнPнuяu |ьonЙва .u,n'!еnpuu'"oo+ /' ' -. -, -L ' , / ' ,.,n",'\ сl-т,i]l.,:lil.оL оf"a4" оo..\/-; I 1',1 1 ц - ' r r ; ' / \r|]|1,]"т'k )D I ' , -' О f .
; - оiJа;|а#:Ё,.,.=."""178Г]t]ваE' Bapuацuo||нь|еnpuнц11nьL'|еханuкuЕс"!и пpостpансTвoоднoроднoнe тoЛькoB нaправлeнииoси l,|lо так)кe и в I|аправ!'lениях9 и z' To бyду'ГсoxpанятЬсяl]се TpиГлaвa 9.циttAмикAк о ] \ 1 | l o н e H т Ь гI ] 0 Л J i o г o и ] v I п v J . l Ь с ас и с T е N l ь I ,4.
ИзoтpoпияпpoсTpаrrства и сoxpaнениe Мoмeнта имп y л ь с a . B и з o T р o п н o N 1I I p o с T p а L | с т в ве с е н а п p а в " r l e н и яф и з и Ч e с к иэ к в и в а , п e I | . Г i i ЬиI ' q ] у н к Ц и о н а л д е й с т в и я с и с т e N l Ь |N I r 3 а и i u o д e й .ствyющих части|LJlе ЛoЛжен зависетЬ oT oриrнTации коoр]'lиt]атньlх oсей,Б е с к o r r е ч н o ] \ l a Л o M уп o в o p о т y н а у г о ' r J 9 o т J i o с и т e Л Ь н oo с и zс o о т в с т с T в у e т I I p е o б р а : l O вJаi и е к o o р д и н а т'.,.::2,B э т o Nсl л у Ч а вс ( 3 1 ' 1 4o) : j f .
a | | a o : 0 '.1t. 1|dl".J:-u.и тeoрrNlaнётepприв(Цитк закoнусoхpанeнияпpoeкцииM{Jп{eнт а и r V I п y l l Ь с ас и с . Г е ] \ l ы . :I]а осЬ;]ar.ahlll: .l lаzL\ ril,,0Q.,ao\!,:1 \)'l,ll'Ul|.l,выбoP oси; пpоизвo.qен'Пo.!ля изoтpoпнoгoпpoсТpaIlстваэ т o l l y с o х р а н я e т с Я в e к т o р l \ { o п l е н т аи м п v J , ] Ь с а с и с ' Г e N 1 Ь Il,:)LгxDЗ а д а ч a o д в и ; к e н и и с и с т е N Ь l N в з а и п { o д e й с т в у ю щ и хч а с т и Ц, .
| o в 'р] , и t с ' ] о ь Ь \ п o | с , , o o Д l .г . . в h | а . . , Ч P . | o , | n 'пOк р е u l е н и ю с и с т е п r ь r3 N д и ф ф e р e н ц и a л ь н ь i х y p a в н е н и Й в т о р о .rо пopядка' ес,ли взаиNloдействия.IастиЦ извсстньI' Кporvе To.Г O , в н е к o т о p Ь I й ф и к с и р о в a I r н ь I й п l о \ { e н ' гв P е N l e н и , в Ь I б р а н н Ы йв i ( а ч е с т в e н а Ч а Л ь I I o г o 'д o л ж н o б Ь l т Ь з а д а н o с o с T o я н и е с и с т e N l Ь l, .oр''с,' ; U., | ,I1 | o Д ]o в 1 ' \ l р l | о , o , ' , c р о . y q . o o Г . | . IB т а к o й ф o р N l } , л и р o в кдe и н а l ! 1 и ч е с к а яз а д а ч а п P а | ( ' I и ч е с к и| i e р а з .сис1.сNlь]Nр е i I l и N l ап p и б o Л Ь l x и ) i . е с Л и .
н а п p и п J е P ' в к a Ч e с т в е( o н Д е н с и P o в а н н o N tс о с т o Я ввeщесTваoбрaзеЦрассllатPиваeтся]:LLЛ|Ьlа в качесTвечастицoтдeJlЬньlеатoNlЬI,Упpoщеrrиe цинaNlичeскoй задачи Nlo)кеT бЬIть дoсTигн-vтoв v с Л o в и я х , к o г д а в з а и п { o д с й с T в и я] V I e ) к дчyа с . Г и ц а \ 1 из н а L I и . Г e Л Ь н ol l р е в Ь I ш а ю Tв i r а и п 1 o д е й с T в ичяa с T и ц с в н e ш r н и М ип o . п я N 1 и ' , Г ачкт оN]\t$ 32. ФopмyлирoвKa динa rиqeсKoй 3адaчиДдя твepДoгo тeлallии.;ti,, )=L|рt:тBЕPДЬIX TЕЛilTеLIениевсегoвреN1rнидви)кеl|ияl]астицЬloс1.аютсявсвЯ.з а J i t | Ь | хс o с т о я н и я х , ( С y ш е с т в o в а н и с с T а б и ' 1 Ь н Ь I Iс в я з е и M e ) к д y, - о , а | а .
ч o t . \ п o | |а r ' ' e O ]J с \ , ' | Ь U , о . , | ' ' й.. иLаУ'] | рр]l|ергии тeх )ке частиц. tдаленIlЬ|х дpyг oт дрyгa на бескoнe.].н ь r e р а с с т o я н и я ' ) д в и х r e н и е с и с т e м ь l в т а к и х с J ' I у L I а я хн e б y д е тс o п p o в o ) к д а т Ь с я з а п j е T н ь | ] \и{з i l с н e н и e N J с р e д н и х o т J ] o с и l . е " r l Ь н ь l хL I а с . Г и цв к а ' < д o N JM а I { .рэссToяний пlе)кДy частицaNlи, и числoР O с к o п и ч с с к o N 4з J ] e ] \ 1 e н тoеб ъ e N l а с и с T е I { Ь Iн e б y д e т з а в и с e т Ь о тв p с п l e н и , Ф o p l r а I l o в е p x L l o с т и .o г p а н и ч и в а ю Ц е й с и с т е N l y ' т а к ) к е. таких yслoвия:с динапtикад o Л ж н а o с т а в a т ь с я | r e и з N l с I t н o r iBс и с т е l l l Ь l Ч а с т и ц б у д e т o п p е д е Л я Т Ь с Ят o " r l ь I { oи х o т н o с и т e п Ь н Ь I п 'p а с п o J l o ) { { с I t и eиN 1в I ] e ш н и м и с и л а м и , K o н к р e т н ь I й в и д I l о .
Г с н ц иа л Ь н Ь l х э I t е P г и й в з а и м о д е й с т в и ЛЧ а с т и ц в с в я з а н н ь l х с o с ' L o я I J и Я хстанOвится HeсущeсTве|lнЬ|\lи' N l o ж е т б Ь l T ь н е и з в e с T н ь I N rP, а д ио п Р е д е Л е н н o с т и N j o ж | l oс ч и т а т Ь . ч т o э н e p г и я в з а и п { o д с Й с T в и яз a B и с и T т o " l ] Ь K oo т p а с с т . J я l t и ЙM е ж д y Ч а с T и ц а N 1 и 't,l:I/(г1г2 '].r.з1'.... 12rз.''''т,\ lт\.180Глt\вa9,ДuнамuKа mвеpdыхmелopuенml7цuяnвеpаoеom0|аs 33,[Ipoсmpансmвеннaяи пpeнeбрeЧьизменениeI\4pасстoяний гi(t) - гj(,) с тeчениемвpeMeни,системy взаип{oдeйствyющихчастиц в таких усЛoвияхMo)кнoсчитать mвеpdыл mелo'|.Aтoмы и мoлeкyльl в кpисталлах сoвeрruаюTкoлeбавия oкoЛo пoлo)кeниЙравнoвeсияили yзЛoв Kpисталличeскoйpeшeтки,в кoтoрыхэнepгия взаимoдeйствиЯиМеeтминимум.
Пpи дви>кении KpистаЛЛавo внe.UнемпoЛe вlаиvoДeЙс]виeveжду а|oма.ми, как правилo'зIlачитeлЬ!oпpeвышаетвзаим0дeЙствиеатoМас вI]eшнимипoлями;амллитудьlкoлeoанииатoмoв значитeЛьнoМ e н ь ш еD а с с т o я н имйe ж д y а т o v а [ ! tиI . 5 4 l 0 8 с м ц л яа Г o l o в у г .Леpoдав аЛMазe)'и мo)кнoIle УчитьIвaтьвЛияниякoлeбатeЛьнoгoдви)кенияна xаpактepпр0стpанствeнI,]ыхпepeMeщевийpешeтKи.к0,1е6анияа.ovoв в oipес,lнoсти пo]oжеFrй pав;oвр.ия мo)t\нoвЬIдeлитьв oтдеЛьнyюзадачy'Кpисталлиueскаярешетка с нeпo.движньlми атoМаМив yзЛаx лpедстaвлfleтсoбoй твepдo'ГeЛьнyюм0деr1ькpистаЛЛа.динамику 0тдеЛьньIх мoлeкyЛ' дo тех пoр' пoка pассToяIlиямe)кдyатoпlаN{и Nlo)кнo считатьнeизменIlьlми,динаltlикyзвезд.ных систeм Ilа вpемeнах' пoка pасстoяtlия мe)(дy звeздапIиoста.ются нeизп!енными'I{o)кнopассматpивать кaк динаItlику твеpдьlхтeЛ. шиpoкий класс задач динамики твeрдЬlх тел вoзникает лDикoI]струиpoваIJии'|1ЗучеI1L1|'1|1экспЛyатации pазЛичньIхсoopу)ке.ний' llашин'мeхаiJизltloв,Tак как прoстpанствeнвoepaспpедeЛeниeстpyктУpньlxэлe.Мeнтoв пpи мoдe",IЬlloI{тBepдoтeilЬн0М пpeдставлении oсTaeтсятe]v )ке' Чтo и в начаЛЬньlи ]\40I{eнTвpемени' oнo дoл)кнo бытЬзаданo IJa oснoваllии (иЛи вмeст0) свeдеIlиЙo наЧаЛЬt]ьIхпo.Лoжeниях частиц, Пpи этoм числo стeпенeй свoбoдьIсистeМыиз N чaсTиц' нeзависиItlooT N' станoвитсяoавным шeсти (тoикoopдиPа]o|начаЛа сисГрмb,5,.
жeсткo связаннoй с твepдjrмт e л o м 'и , ] р ип а p а v e Г p аo. п p е l e л я ю щ и oх p / е н г а U и юс и с t е м ы S ,oтнoситeЛьнoинepциальнoйиЛи нeинеpциаilьнoйсистeмы .9).задачадЛя систеltlьlиз N часTицв лpeдсTавЛeнии,[lинамическаясистeмы твepдьll!'теЛoм пoлучаeт бoлee пpoстyю фopмyлиpoвкy:найти сoстoяниe твepдoгoTerlа (шeсть o6oбщeнных коopдинати их пpoизвoднь|хпo вpемени)в мovент вpе[lёниt' eсли изЪесrнoпpoстpaнствeннoеpаспpeдeлениeчастиц тверд0гoтеЛа и eгo сo.стoяIlие дви)кeния в мol"1ентto < l' а так)кe ypавllения Дви)кeниятвeDдoгoтeла,УpавнeниЯ дви7кениятвepдoгo тeЛа мoгyт быть пoлyЧeнЬIкакуpавнeнияJraгpаlj)кaдля систeMы частиц при наЛичии связeЙ'мeждy частиuами, ,Il.гя -ес|и oбoб.фикс.rр)юших Oа.с|oчн,.]ященныx кoopдинaТ свoбoднoгo Tвеpдoгo тела мы 6yдeм иметьl8lypавнений втopoгo пopядKа,дрyгaяшeсть диффepeнциалЬньIхypавнeниями эв0Люции пoлн0г0возм0жI]0стЬпрeдoставЛяeтсяr\,lпульсаи пoлнoгo Мovечта имп}ЛЬсасисlемЬ| чaстиц, Пoс.грпepeхoдав эTих шести диФФepенциaЛьвыхypавl{енияxK пpe.дe.l]ьнolltyтвepдoтeЛьнoNlyпpeдставлeнию' ollи такжe мoгyт слyтвep!oгoтеЛа' Числo стeпeнeйсвo.дви)t(ения,(ить ypавнeния]\lи6oды твepдoгo leЛа и ЧисЛo независимы^УpавнeниЙдвиженияб!',neтменьшe шeсти.
eсЛи eгo двиxeниe oгpаt]ичeнo макpoскo.пичeсKимисвязями.$s 33' пpoстpаЕствeнEaяopиeнтациятвepдoгoтеЛa.Угльr ЭйлеpаoпpедeляющихшeстЬ не3ависимыхoбoбщeнныхкoopдинат'тела'пo вpеМенисoст0яниeтвepдoгoвNleстeс иx пp0изв0дньIМиФoрNtаypавненийлагpан)кaпpoизвoльIlo,Nloгyт6ыть вьI6pаньlкoopдиIlpи3аменеoбoбщенньlхЕс.нат oстанeтсянeизмeннoй,Ли с Tвeрдым тeлoNl жесткo свя-зана систeмакoopдинат's/, тoмo.o6o6щeнньlмикoopдиl]атамигут слy)китьтри кoopдинaтынa.oпpечаЛа ,9/,а паpаметpами,дer']яющиMиopиeнтацию твердo.гo тела 0тн0ситeлЬнo I]eпoдви){(.нoй систeмьIs, _ yгЛЬIэйлeра,Углы Эйлеpa мoгyт бьIть ввeдeны как угЛьI Tpeх п0следoва.TеЛьных пoвopoтoв твеPдoгo тe.ла, пpи п0м0щи кoтopьlхдoсти.гаeTся Любая I,]aпеpeдзаданнаяoриel]таЦия .9/ oтнoсиTe'lЬнo s.Рис' 22' Углы эйЛeра:yгoЛ 'Угльl Эйлepа oбычtlo ввoдятсякaк yгЛьl тpеx пoвoPoтoв.
пpи п0мoщи кoтopьlх сoв]Чeщаютсякoopдинатныeoси систeM's и ,s,,oсей си.Пyсть nl _ направляющиeвектopьlкoopдиIlатньIхeе opиeнтaциюпoслe пpoизвoЛьнoгoстeмы ,9,, oпpeдeляющиeпoвoрoтатвepдoгoтела, Чтoбы пoлyЧитьэтy oриeвтациIoиз наS и S,сoвлaдaли,пoвepнeмчальнoгoпoЛo)кeния,кoгдасистeмьIс zt пo пpавилус!{ачаЛасистeмуS, вoкpугoси z,' сoвпадающeйпpавoгoвинтаIlа yгoЛlP, 0 ( (p( 2т' так, Чтoбынoвoeнапpaв.лeнЙe0a| (,xuнuя!3лoв) oс|1jD, oкaзaЛoсьпep!]eндикyЛяpнЬlMni oси z, систeмыS, (pис'22),ПoслeзадaннoN,yI,Iапpавле!]ию182т а к o г o п o в o p o т а н а п р а в л я | o | I l и eв е к т o p ь l n | ' ж е с T к o с в я з а t ; н ы eс т в e P д Ь | ] lт1е " 1 o м .б y д y т и п 1 e т Ь| ] o в ь l ен а п p а в л e l l и я l .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
