Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 32
Текст из файла (страница 32)
l25' 325'652'Hаuалoкoopлинатта>кeсистeмы.жeсткoсвязаннoйс мoЛекyлoй,цеЛeсooбpазнoвыбpатьв цeнтpе массlсoвпадающемс цeнтpoмсиммeTpии,a направЛeниякoopдинат.201этy фopт'lyЛyмo)кнo вЬ|pазитьчеpез дЛиlly peбра пиpаItlидьll0' Из рис.26 виднo,и "*аnЪ"i'o'л"yгoл лpи веpшинeлиpaмиДы,!-', l юo , - 2 l" i o 9 "- .С _ft,Р _ r z o- : . 1 2-}lЬlхoсeЙ сoвместитЬс |]апpавЛeI]ияillиoсeй сипlмeтpии.Bсe атo.пlы Jeжат в oднoй плoскoсти' напpимeр, r0]/ и имeют сЛедУющиeкoopдинаты:(Н)l .(H)э.(н).r'( н ) ь.(с): .(!+ь.""}'а"-{)(!+ь-"],ь"ь{)'/Qrn\_Oсosз.oslnТ/ 'ьы''}),( !_о-"{,\'(Ё'ф't.ъ.(_i'.)Пoэтoмyглаввыeмo]цeнтыинeрцииpавны:6IlI26_\---2= 4-нa2Pис.
26' Пиpaмида,ьнаяiloдеЛьlloЛекyлы(39.7)"i,,2Ё,: n,,n(i *u"*I)'*i^r",.6I3\-. .- ' \,-"?+!t?):t'+t,.1, "'(3e.8)(39.9)3. пиpамидaльяыeмoлeкУльr' пиpамидальная мoлeкyЛапpедсTавJяeTсoбoй сиМмeтpичI]yюстpyктypy, сoдepжацyю тpиoдинакoвьIхат0ма с МассаMиm в качeствeвеpшин равнoсTopoн.IJегoтpeyгoЛьникaв 0сн0ваниипиpап{идьIи атoм mо _ в ка.чeстBe вepшиtlЬlлиpамидьt'Hавалo кoopдиI]атсистeмьIt)кесткoсвязаннoйс лиpaМидoй,сoвМeстимс ee ценTpoммасс' oсЬ z _с oсью сип{мeтpии пиpаMидьl, oсь l opиeнтирyеIltпаpаллeлЬнoмeдианe сrrr,Тoгда пo oпPедeлeниюцeнтpа масс дЛя кoopдинатьlzимеeм 0: rnozg_ 3mzс, и мoмeнт иI]epцииoтнoситeЛьнooси а;!'o)кIlo пpeдставить в видe,I t _ n о z А _ ' ' , z' ? r 2- n ' [ 2 ' "гдe o-2,\\"'./дЛинастopoньlpаввoстopoннeгoтpeyгoЛьника'испoЛьзyяэти сooтнol!eвия,п0Лучим3,"T ('-i"',,1)lt, _t, r12.,in,9.,,'zl)znto lJл)\tIз : Зm('Cm)2 = 4ml2 sn12Ь'(39.r0)(39.11)Кoьфlгуpаuия voЛекул фoсфoра P4 и vLlшЬЯ']2 A\J ]VoжP]бьIть пpeдставЛeна пpавилЬIlЬlм тeтpaэдPoм с нeзаI]ятЬIM цeнт D o I ' { .Ч т o б Ь I н a й T и м o м e н т ь I и н е p ц и и э T и х M o Л e к y л , д о с T а т o ч н od = т/3' с: l, mо: m.
ТoгдаnЬ,o,*n." noлyle""ыхфopмулах"поЛvЧим11=12=\:n112'сoбoй шаpoвЬ.йвoлчoк,|, e, N.oлeкyлапрeдставЛяет4. Кoнтинyальная lroДель твepдoгo тrла. кoopдинаты цeн.тpа l!1асси кoмлoнeнTы тензopа инepции oлpедeЛeны фopмyЛа'ьlи (39-t), (39.2) дЛя дискpeтнoгoнабopа частиц. Ка>кдoйpe.аЛьнoй частицe пoстaвЛен в сooтвeтствиe еe тoчечный oбраз,Если пoд частицами пoнимать oтдeльяыe атoмы. тo ка)кдая изсyпjii сoдеp)кит массьl и кoopдиllаты N атo loв' B oднoм Kyби]ескoм сантиметDPжеЛе.]апDи нoDмаЛЬньlxусл0вияхсoдеpжит._ 6'02 l0,, атoмoв, Пpися 8.50 ' |02l a,Ъ'o"' а"nй'ини"Главo 9, Дuналuкв mвеpdblх nе]|$ 3 eBьlчuс|u|nелbныe фopЛglьL(39,l)' (39,2) пpактическибeспoЛeз.такиJ(60льших Iy' фopNly"lынЬI. t,вeдeм пoэToмy Ilpедставлениeo твepдoм тeлe как o гЛaдкoм4МaтepиальнoM'пoЛe в тpexмeрн0м ФизиЧескoмпpoстpанстве.Будenj пoнимать пoд r pадиyс.вeктop тoчки тpexMepнoгo физи.чeскoгo llpoсTpанстваla пoд ri _ кoopдинатЬ|чaсTицЬIс нoмe.poм i (': l.2'3'...N)' Bсe N стpyктypньlxэлeмeнтoвтвeрдoгoтeла paспoлoжeныв oгpаниЧeннoй06ласти пpoстранства.этипpeдставЛeнияи фopMуЛы(39,l)' (39.2) слpаведЛивына oпpе.дeЛeнныx масштабах (lluкpoмаculmaбьt), Bвeдeм тахжe лoкpo.мacшmабbL'на кoтopЬlхиМeю'ГсмьlсЛгладкиепoлeвьIeфyнкции'хаpаKтeриlуюLциeсвoйства!исKpeтных набopoвЧасгиц 1вердыхтeЛ.
д.Ля этoгo свя)кeм с каждoй тoчкoй лpoстpaнства r oкpестнoстЬ ^(r) с oдиIlакoвьIми oбъeMoм A и фoрмoй пoвеpхнoстидЛя всех r, oбъем A дoлжeн быть дoсTаToчнобoЛьшим,чToбыдЛя Л(г) частиц. кoTopьIeoxазaЛисьв oблaсти A(r)' вьIIroлня.Л0сь нepавенствotlf(r+ 6г)_ N(г)l<<N(г)'(39.r2)гдеN(r+dг) _ чисЛoчастиЦв A(г+.'г), с дpyгoйстopoны,oбъeм A дoЛ)кeн бьIтЬ Mнoгo меньцJe xаpактеpньIx I{oЛлeкTив.в pаспPeдeJeниичасгиц.ных npoс|pаястврнныYнeoднopoднoстeЙ(Пoдoбньleoгpаниueнияна масштабывoзникаютпpи сканиpoва.нии пoврPхнoстeйобpа]цoви.]Л)чеPиeч г длинoй вo |ны, пoeвo|.шающeй срeдI]иеpасстoяниямеждy частицами,)элeYентаpный oбьем A' выбpaнный исхoдя иJ yказаннЬ|хoгpаниЧeний.
I]азываeтся фl1ЗuцесKu бес1<oнеч|!o мaIы'!.Плoтнoсть массы твepдoгo теЛa тeпеpь oпpeдeЛяeтся кaкoтнесеннaяK еДиIlицеoбъеМa масса всeх Частиц. oказавшихсяв A-oкpестнoститoчки г TPexМеpнoгoевкЛид0вапpoсTpансTва:iЕ-'(39.13)этoй фopмyлoйp(г) oпpeleляeтсячepeзN(r). Бoлee пpoдyктив.нoe пpеДставЛeниеЛoкаЛЬtloгoсpeднегoмo)кнoпoлyчитьtперe.xoдяв (39.l3)к интeгpиpoвalrиюлo A(r):p(.):;|ас!-,а1.*a ..,,(39.14)пoлнoечислo частиц oбpазца'€ _ pадиус.векTopс l{ачалoM в т0Чкe r' B сooтветствиис эToй фopмyЛoйp(r)пpeдставЛяeт сoбoй лoкаЛьнoeсpеднeeпo oбласти^\r) лuкpo3дeсь N20ЗN- mlo(r - r,), ИнтeгриpуяiЬonuческoЙ мacсoBoЙn/|onнoсmu Lпor']yчим(39,l4)пo всемУпpoстpанству'oбeЧaстиpавeнствa(39.l5),'=Г.':IiJ(г).jи-Jмoх(eт бытЬ вЬlчисЛеrjатаким oбра3oм' массa твepДofo тeЛяdстиц' 1и6o, I]PибoЛь.o|дeльныхМассиясvммиooваt"'."'интегpиp0ванrят1oсЛPдуюдeгoи,,iшi v' nу'e' oпpeдeлeнияp(r).скаЛяpнoйфyt]кцииг('ф цeнтpaмассимeeмдЛя pадиyса.вeктopа^'Iг-...' _ |,,,',rдrп.;_, N.l*I,,,..._;^I'ё 1--'г- |pRrгr.lи.jL|аq!.л,г.6rг_1(39,l6)r,t l39,l7).Dадиvс вeктopценrpа vасс частиц oбласти^{г).
дЛя твеpдь|Iел. oбЬo,oваннorх601Ь!JиM .lисЛoNlЧас.иu' пpoстpанствеt,1loеA(r) бЛизкo к oдя0p0днol"1yр".np"дЪ,"""" частиц в oбластиг тoчки тpехМePнoгoo.,nu,"'ся oт pаilиуса.вeктoраn R (.)",,oв oкpeстнoстикo1oрoйoпpeдеЛeна/lr] ,l1лятакихпDoстDансгва'г и дЛя,*.pлi'' '", в фoovуле (39,l6) мo)кнoзамeниIЬttlгl наисI1oЛьзoвaтьтелanu'u"","",o кooрдинат центра пIасс TвepдoгoфopмyЛьl.,-=*i-,.,=!ыiаvаyJ"pGi .(39.18)BыuислeниeтензopаинepциитвepдoгoTeла (39.2)с бoлЬшoй,loKальнoйпЛoтнoсГьючисJlа Частиц N(г)/A также мo)кнoсвe..,|и к ичтeгpиpoваниюпo o6Ластипpoс,lpансгва'заня1oЙчa.ти.цами сpедьr,сЬoтветствуюueйтензopнoйплoтнoсти:' N('Jr;"'1(г):|- !mr{(rJ,{.B,.','p}(39.19)i=l(39,19)Пoлoxимв вьrpаxeяиит;":\*Qa'(39.20)204фоpмц]ь|s 39,BьLчuслumе,rьньLеГлaва 9, Дuнa,мuка пвеpdblх mел|Д" Y,l' |riloсти, ] oгДа' t.
.-, a o p о у ч oы . e P ] p а Ч . , ,а с , l . ] ]A o к р о с - ., N(r)r/R..'l'Л L,,,^. Y }r N(')r*\-.,,.r,2,2r'r.^-( t, N(rlA-,,.R(J'-^с,-^с^.)или сoг"laснo(39'l4)i.'](r): p(г)t(R)zd"r х.'х',}+1I2 _ n L 1 \ \ t 10 o rтакжe для paспpедeФopпrулы(39,l8), (З9.23)примснимьIленЙй п{асс тBepдьIx тeЛ пo пoвеpхнoстяNl и кpивыt!l, B таких, , . а я \ l o Д p .
р 0 \ e | п U | - ' { [ , . , Ьп o в e D ^ , I o (||} ю r J l I L ч F ' l |) ' юэЛе]vleнпт л o щ a д и I l o в е p х н o с Т ии л и д л и н ь I ,п Л o т н o с т Ь ,а п o д d yинepциoltньIxхapaкTеpистикBЬlчислeний5. пpип'epьIтeл.твеpдьIxсплoшIlьIх- o.JнopadньLi npямoц еo,|b||bli ||с|pаллелеnunеd) npяr|to! ?o|ь, , - , , ! a ч " u i . r r Р + ' " N a - t 1 a - .
| o " o o D Д и U . ( o в I \ ] e си \ , . . o к o йr l е р e с е ч е н и я д и а г о н a Л е й п а p а л , ' l e л e п и п е д а .K o o p : 1 и н а т н ь r еo с ин а п p а в и ] \ , 1п e р п e I ] д и к y Л я Р l l o e г о г р а I ] я I \ 4 ;з т и o с и я B л я ю T с яг Л a в н ь I М и o с я М и и н е p ц и и ' ^ 4 a с с y п а р а Л Л е Л е п и п e д аo б o з н а ч и l l' l e p е з m , а д л и н ь I p е б е p .
п а р а л л e Л ь н ь l хк o 0 р д и н а т н Ь I Not с я м j г . 1 'ч с P е з a a с o o т в е т с т в e I ] н o( р и с , 2 7 ) ,, l \- -, ,c-A205(,,( rj +Nt)\--iopzrz-Ф|zI1\'о,-1. ' . ,^...],l!92l)в них вЬJPа)кeний..!1 Фогму, (39,l7) пoсЛe пoдсTанoвки(39.20)пoлyяаепrравенствoN(.)\-,. ;(39.22)Пoэтoмy пoслeдняясумпrав (39,2l) pавнанyлю, Bтoрoйсyм.v o l . p F Д . | а q л e |, o h а | Ь Р " , ( o б с ' в o , ] / Ь , i|-e н , o Or I e p u / и ч а . .тиЦ A(r).oкрeстнoсти oTнoсительнoиx центра масс, Такиe.ензopЬJзaвисятoT прoизвeдeнийкoopдинат,пlаЛь1хвтoрoгoпopяДкапo лиllейнЬIrvlpазN1eрaNlфиtи.Iески бескoнeчнoмалoй областиyсреднeния ^, и дЛя нeдефop,|"IиpyеrvыхтеЛ Nlогyт бытЬ oпyщeньI,кp0ме Toгo.
в фoрмyЛе(39,2l)' как и в (39,16),для,oкaльнooднopoдI{ьIхтвердьlх теЛ l"to)кнопoлo)кить R(r) = г.ТакиМ oбpазoN4,тeI]зopинeрЦии1aJ макpoскoпичeскoгoтвep.дoгo тeЛа Njoxнo BЬIчислиTьпyтeм инTегриpoванияпo oбласти пpoстpа|]ства'занятoй часTицаI{итoлькo пeрвoгoслaгаеN1oгoфoрМyльI(39,2l):rIr " 1 = | t o r ! )d v = I p i r 1 { 1 г 1 , d " т"z.l. 3 }'I(39.23)PИ.'27' Г J , в н ь | е o с иToГдагЛавныйM o м e н тинерllии lrаралЛeлепипедаинеpцииoтl{oситeJlьно oси iгlбудeт+j".a,!.t"=prl1(\tLt:, + p | ,lol.,,:а.з :+,з)l,аl,l|,,3I'",: !-а1а'2аз|о'i+ аi) :.i',4D{ n : + t l ;) , l J ч , z + l206Главньrемoмeнтьrинepции 1', l3 oTtloситeльнooсей,2' азпoЛyЧаюTсяoтсюда циKлическoй пepeстанoвKoйиндeксoв l' 2, 3:ь:}aЗ+"il'ь:ftai+"Зl'.Iz: Iз: -Pа?l2-'.ГIa'Lb|Iiцuлu11dp,сnлoш||oli цuлuнdp, moн|.ui duск, кo'xb40.
Цeнтр масс цилиIlдpа ЛФкиT на eгo oси сиМмeтрии на pас'с1сЯн|1|1hf2 o,Г oснoвания, paвнoм пoлoвине высoтьI циЛиндpа,Uсь сиМмeтpии; и любые Двe пepпeндикуляpньIeeй oси, tr, }.пPoхoдящиe чepeз цeнтр масс. яBЛяются гЛaвньIми oсями инеpции (pис'28)' I{oмeнт инерцииoTнoситеЛьнooси z pавellIJ_г"J(!.Rг^g", \ p d v_ e I l2лhrd.l,o,ь,Raв видe(39.25)Главные мoмeнтьl инеpции тot]кoй прямoyгoЛьнoй пЛастиньIсo стopoнаМи a1' a2 М0){(нoпoЛyчить' пoлo)Kивв фopмyЛахдля 1l,12' Iз Дли)\уa3:oL| сЧитaяm массoй пЛастинЬI,Tакип!oбpaзoм,Для npямo ц eo!|t)нounлacmuнblmot.I,Ij-\tI.Doi.,roi.Эти фopмуЛьIв свoю oчeрeдЬ пoзвo,1яютнайти гjавныe мo.\lerты инеpUии |0н|aoгoстepжья ДЛинoЙot' ес.,l,,lв чPч лoЛo.'(итЬ a2 :0 и считaтЬ m п!ассoйстep}кня,Для ma|lкozo сmеp'1.11яIl : О'2079 39, Bblчucлunельныrфop,|g,1ь|ГLавa 9, Дu||а uкa mвеpа|'Lхnе,,t_ ; pt lл 1 ' |R ",i\-,,тp(R,пoлolo цилиt]дpасвязаr]апЛoтнoсть массЬIp oДI]opoд}loгop: mf тh(Rz _ rfr)' Пoэтoмy глав.с eгo массoйm сooтнolJ]еHИe|rnaлo,o цuлuнdpa paBАь|нь]eМoменTьlwrcpЦЙ|1,l-\,,- r,-n4'("'-.3 io') .
r^-i'n'z-,!t. {3s26,ГлавньIeмoмeнты инepЦиll cnлoшнaеo odнopaОнozo цuлuнОpaс пlaссoйm oTсюда мo)кнo lloлyчить! если пoлorкить r0:0' Toгдa(39.27)AналoгичнoyстанавливаюTся гЛавньIe i1oМellтьI инepцииducка (ro:0, h:0):maнкoеoaОнopodнoеor'_з ;R,,кoльцa(h : o):moнкazaodнopodнoеaI | , r , !_ ; R , -r| ,Л{oмeнтьrинepции 11,12 oтI.loситеЛьнooсeй z' 3l pавlrы мФкДy сo.бoй пpи Любoй opиeнIa|\|,1|1э7|'1хoсей и мoгvT бьIть пpeдставЛены,6lь,'I| _ I',' тm| 1 1^- ' ) rб,,l\_mo 2 , -I 2o ,,|2||1(h:0, ra: R)|oкpцэlснoсnuaoнopaaнatl_tt,_.'^в2' t,_.R2,(39.28)(39.29)(J9,J0)2Kpg2oвoй Koнgс' KoopдинaTы цeнтpа масс кoнyса в декаp.тoвoй систeМе кooрдинат с riачалoN{цeнтра 0сн0вания ,и '0сью zвдoЛЬoси симMеTрииMo'<нoпpeдстaBитьв виle (0,0,;(-)), гдelr| |л|,zn,|:I zpdv::Izтт,(z\Llz:mjmJ0: a |.'л, (ta":i).\$;"я2h2nlmlPис, 28' главнЬIeoси инeрциилoлoгoцилиндрa0208Глaвa 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
