Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 31
Текст из файла (страница 31)
пpoxoдящеЙЧepeз цeнтp мaссl пЛюснo паpаЛлеЛьнoйпpoизведениeмaссы твeрдoгo Teла на квадpат расстoЯния 0тцентpа N1ассдо oси'$ 38. Пpиве'пeниe тerrзopа riпеpцllик глaBньrм oся!|Тензop инеpции ,..rJ иnjeeт в oбщeм случаe шeсть pазЛичныхкoпIпoнeнт.Эти кoмпoнeнтьlизМенятсяв сo0тветствиис заl{0нoмoсеЙ си.тeнзopoв'eс]P и.NleнитЬt]апpавЛe']ияпDеo6pаJoванияс твepДымтeлoм(здeсьсiu""i *oopл"""' s' '(есткo свя3анr]oйв вЬ|бopеимeющимсяпрoизвoЛoмBoспoльзyемсяштрихonyщен)'oсeй и пoкаxеM' чтo эти напpaвлениякoopдинaтньIxнап0авЛeItийкoМпoвeнтывсеiда мoжнo вьiбDaтьтaк, чTo всe нeдиагoнаЛьньlетeнзoра 1o3 бyдут рaвньl нyлю. Пoдoбнoe пpивeдeниe к глaвныпIoсям вoзмoжвo дЛя Любoгo симItleтричнoгoтeнз0ра втopoгo pангас вeшествeнныМикoмпoнeятаl[и,тIтeлаПyсть r _ радиyс.вектopнeкoт0p0ЙчасTицьlтвеpдoгo1,в S' Тoгла 1o3тp также вектoр, кa)кдoмy вектopy г oпepатopмaтpицeй1@,.ставит в сooтветствиeнoвыивeк.пpeдставЛeнньtйтop 1г, Если l такoй' чтo1т: Aг,и л и Io11ti1=\x,''(з8'l)тo oн назьIваeтся сoбствeнньlм.
KoэффициeнT^ вaзываетсясoб.ствeнным значениeM'Уравнeниeм (38,l) вектoр r oпрeдеЛeнс тoчlloсTью дo инBаpи.эти уравненЙяантIloгoМнo)китeля,так чтo в дeйствитeльнoстиoпpeдeляют Лиll.lь сoбствeннoe t]апpавЛeниe'/v1ьtмo)кeм ввестиoбe части (38,l)на eдиницу вектopn, pазде'']ивнopпlиpoванньIйн а v o а 1 л ь| г , T o г д aд л я o - Ь , с к а н исяo б с т в e н н o |нoа г p а в л р н иnятpеx уpавнeIJийбyдev иveть oДнopoднуюсис|e\,1у(1"р_)6"p)nр=0'peшeния1 1 и ш ьЭта систeмаиМeeтнeтpивиаЛьньlepавeнствaяyЛюee oпpедeЛитeляdet 11",,- )d"31: 0'195oсяl||$38, Пpuвеdенuеmeюopa uнеpцuu|сzлaвньLtr|Г]Iaва9, lluнамuка mвеpab|хmел(з8'2)Bслeдствие симмeтpии теtl3opа ияepции и вeществeнgoстиyравнeния вeще.eгo кolt'пo!lеtlт всe кopни хаpактеpистичeскoгo! o г У тб Ь | 1 Ьi . u е н ь ь r ,. Д e й с r в и т " л i н oп.p е , a п o л а г аЧят.
o ^ и , .(382),o,n.."^с""''и. пoЛ}ЧP\!|]аoснoванииI"eninB = \n"n^''заМeняяздесь индeKсьIсyМмиpoвal]иtа = a' м yчиTЬlваясвoЙства,.o,, прихoдиNlк pавellствyI.з(ninз * n.n\) :2\п"n' .B ск06ках пpeдставлeнасуммa двух кoмпЛексllo.сoпpяжeнньlхqисeЛ. кoтopiя всeгда вещeствeнна. сyмма в правoй чaсти вещeственнa и нeoтpицатeльнa, пoэтoмy всe сoбствellныe значеIlиячисЛа,) _ дeйствитеЛьtlьlеo б о ] н а ч и м ч e p е 1 / J к а ' { o i .
л и б o P е p a в ! ы Ё н ! n ю кopeнЬха.( 3 8 , 3 | П о д с т а в л ч я р г o вМeстo^р а к I е p и с т и ч e с к o г ;у o а B е ] / яв ! р а в Ь е н и e{ 3 8 , 2 l ,l l o ц р м н а й т и с 0 6 ( т в P F n ы йвект0р nаpешевиeсистeМытрeх yPаBнeнии(/"3 - /3d,,.1)nr"' 0.и задаЧасвoдитсяк oтыскaнию кopнeй ) xаpактepисти.{eсKoгoypавнeвия(з8,3)'(38.5)Числа nl.o] мoЛ(нo принять в каqествe направляющих кoси'нvсoв кooDдинатIloйoси z/, нoвoй кoopди']aтнoй систeмь!. так)кeжЪсткoсвязаннoйс твepдымтeЛoм,.цведpyгиe oси z, и y,нoвoйсистeмыкoopДинатбудyтЛ€ ж aть в плoск0сти'opтoгo.декарToвoйнdЛЬroй:,, B нoвo.,lс,,lстемрвeк1opn,) бyдeI и\IeтЬк0мпoнeнть'/ i " _ 1 ] , }- 01 0 . 0 ,l 1 и ' к а к ' I o в и д н o и , l y p a в н e н и яд ] q n l .
,ypaвнeниeв нoвьIхкoopдияатaхпpи сr = l'2, xaрaктepистическoeпoинимаeтвид1 1 " , 1 I ' -pI I'2, I'zzlo.Цляo^,,3-^l:"(38.6)0тсюдa Ilахoдимl ; tr ; 2 |l ; r l - O .ypав!rения,6удеlt1чepeз1l. 12кopниэтoгo I(вадpатнoгooбoзначив\2в сЛyчае(38.3)(38.4)|,,=tll-}t|''' l'11 l' .,)2 4 | | ' ' . l' ,I l Ь i l | ; \ f | I i | _I i , , l +(38,7l- 4 | I i 2 \ ,- o К o p н и/ t ' 1 z p а 3 .
1 и ч н ы '}, / Il z ' e с л и \ l | t l ; , f.loгда.\ = 1t и ,l _ /2 в уpавнeни.пoлaгаяпoслеloватeЛььo196фop''gлb!s 39, Bь|чuс1umе'1b||b|еГлaва 9' Дuнaмuка nвеpdых mелях (38,2)'мы пoлyчиMв качeс-гвeperДel{ийIlaборадва pазЛиЧнЬIхll)'l.l2lчаIlравJlяюших кo.LlPусoв'4 . oгpр!e1'о.ци]\напpавЛенияд в v ч в 1 а и v н o I l е р п F н Д и i ) Л я р Ь Ь ^ \o с P Й ч o o p ! и P 2 т , . , , {'Hапp2вleFrяn ]' n', , nЬаlываю-ся ?!1авньtvu o.яJ'1uuнеpцuu' A вeлиЧивы 1l, ..2. 1з?naвнbD||u)|to,l,!'енmaмu|!||еpТeнЗopинеpции'oтнeсeннЬIйкгЛавньIмoсям'имеeтдиагo'цuu,/i,00\ol.1.r:l01r\0 0 1зlрядка'лo {ooрдиt]ат сисTеМьI' жeсткo связаннoй с твeрДьIм теЛoмi с ценс главнЬ]Nlи oсяМи инepции,TрolI N1асс' a кoopдинaтI]ыe oситеЛaсгЛaвными мoмel]тами инерции .1'TвepдoгoГipи этoпl для1z, 1з функцияЛагpaн)кaбудeтиМeтЬвидr-l-,,t(38.8)Coставляющиeтeнзoра инeрции дoпУскают геoмeтричeсkyюинтeрпpеTациюв виде кoэФФициeI]тoвЛ0верхIloстивтopoгo пo.иA{eющеи цeIlTр:' .
, i r ' 4 . ' n , 0 , o " ,' ' 7i't'";-",dсosф оsinо),+ 4',,)(ф + ti),]+ 1j,")(фsin""sd(38'11)U ( r 1 . . 10' ' р ' l p ) 'тeлДля aксиаЛЬнo.сиNlмeтpичныхL=lr,nvi.\(38.9)(37-4)мoмeнт инеpции1oTпo oпpедeлеIlиюдeйстви'ГeЛьнo,нoситeльнooси l eстЬ свepткаTеl{зopаинeрциис наIlpавляющимикoсинусaMи lo этoй oси, PезyЛЬтатсвeртки бyдеT pавен единицe,eсЛи ld пеpенopмиpoваTЬ,пoЛo)кивI"l\/I :i"'Эта пoвepхнoстЬ {элlunсoud uнеpцuu) нe зависиТ oт BЬIбoрасисTeMьIкoopдинат, Если oси кoopдинат выбpаI]ьlвдoлЬ главнЬlхoсeй инeрЦии,,'' To yраBнeниe(38,9)npивoдитсяк видуI1o,|)2+ I2Qы2+ Iзoы2:1.^4o)кeтoказатЬся,ч.ГoI||1: IЬ2 |1Ii2:0:12' и впIестo(38,10)имeeМ(зs,10)B этoM сЛyчае1l :+ (a),1 : |'цQь)2+ I ||(I,|)2Эллипсoид инеpции в этoм сЛyчаe пpeдсTавЛяеTсoбoй пoвeрхнoсTЬ вpащeния, Любая пpямая в пЛoскoсти, пeрпендикyЛяpнoйyжрF2;деnнo,ly ве(тopу ']" , яв' яе|ся |ЛавЬoijoсЬcD,д06авЛяя'ilк ?1а,люoую паpy взаим]]oopтoгoналЬнЬlхвeктopoв'пpинaдлe.жащих этoй плoскoсти'п{ыпoЛyчиМтpи гЛавньlхoси инерции,oтнoситеЛьнoкoтopЬIхтeнз0риIlеpциидиaгoналeн.Если все тpи главI]ьIxМoмeнтаинepцииpавнЬI,L: 12: h'тo ypавнeние(38,10)oпpедeляeтсфеpy и ЛюбoeнапpавЛeниеявляeтсясoбствeнI]ьIм,Taкoe твepдoeleлa нaЗыBaеTcяluapaвы.t|Tаким oбpазoм,наибoЛeeпpoсTьIевыpa)кeниЯдЛя фyнкцииЛагpанrкатвepДoгoтeла и ypавненийдви)кенияМo)кtloпoЛyчитьв Лepeп4eнньlхценTPамасси yглoвЭйлеpа'еслисoвМeститьнaча't97+|г-lл]',o)^;'l y ' -s L n 0- + o -I+tl!(Зs.12)+ 1j-](Ф-"p + Ф),] tl(r1,,';'s'р,р).дJrя шарoвoгo вoЛчкаtrl) , , ' v";t''(; -0'.,.'r2,u.".0\Ll(т1',.1'0' 9' {)' (38,13)Уpавнeниядви)кениятвepдoгoтeЛaтепepьМoгyт бьlть пoЛyчellы nутeм пoдстаlloвкифyнкuии Лагранх<aв уpавrrенияЛа.Гpан)ка,$ 39.
Bьr.rислительrrьreфopмyльIKоopдиIlатЬIцеIlтpа Масс r(п) и кoмпонeнтьIтеI]зopаинep.ции 1aij твеPдoгo тeла пpи не слиrxкoМ бoлЬшoМ Числe N сTpук.тyрнЬIx эЛeNreнтoвс oпредeЛeIlньIмимассаNIиMoгут быть BьIчис.ieны пo общим фoрМyЛамNN)l, .:,/rjr,: r,_L > m1=rt"'\m'),л']{r,].0,.r'т'^],.l'(39.1)(39.2)ПoЛeзньlми пpи этоDIпIoгут oказаTьсЯ фopп!уЛыпpeoбpазoвa.']ия Teнзoрaинеpциипpи пapaЛЛeЛьнoпIпepeнoсеи пpи ЛoвopoTекoopдинаTньlх oсей' B частнoсти. !]еIloсpeдственнoеист]oлЬзo(з9,l)' (39'2) прoдyктиBнoЛpи прoвеДellиивание oпpеДeЛeнЙй198Гrаво 9 Цuнаnuкu nв||t.|]Dn|ts 39, ВьL'|uс naьнь|е фopмулblP а с ч е т o в и н е p ц и o н н ь I х х а р a к т е p и с T и к N l o . q e к y л 'с o с T o я L д и х и зс р а в н и т е J ' l Ь н oI ] e б o J I Ь r ] l о гЧoи с j | а а l .
o п l o вЛ ,l. Мнoгoатoмнаялинейная мoлекула. HачаЛo I(ooр,1инатсов]\{eстипlс ilеilтрoп ]\Iасс NjoЛекyЛЬI,KooPдинаTьI аToпjoв в этoйс и с T е r V I е( l j ' 0 . 0 ) ' 7 : 1 . 2 ' , , , A i , Т о г д а г л а в н ы e м о п t е н т Ь Iи | i е p l ] и иpaвньI11:U.1)1\=1:л> tl1,r:(з9.з)Прсдпo,,ro)киМ, ЧTо рaссl.oяIlи'lпIе)кдy атoN'Iами x'Ix|,l |4з.в е с ' Г н ы ' и н а Й д e M N ' I o п l e н ти н е р ц и и в т е р i \ J и н а х М е ) к а т o N l н ь I x p а сстoяний' С:,тoйцeЛьlo уN{LloжиМ и pаздеЛиNl 12(1з) на пол'Nнyю l!1ассyNloЛек}льlnl = >.в чисЛитeЛе:l Г,,,^)l Г:1 Гi -i ,l* ,,',,.,r,i * .:l*t;в сисTеNlе центраruaсс'lrli+"З)+ m!n'з(aз+a1).
]:r;:0, Boзвoдяoбе части этoгop а в е l l с T в а в к в а д p а т ' наидсм-',> l]l|J,:/z l 1 1 l л 1 , r | ] , 1 2 m l n 1 ) | , I 1, , -z|l|,|nзI27j3r-l.11)-"'....=+r1 : \ 1,uрnуР'| пlzmзa3+ пl tпlзФt+ a r ) ' ) ,- оi2' nц:_t1:,t11tt1-.,,,l(3e.6)2. Плoские мнoгoатoмньIе llroлeкyльI. Teнзoр инeрции N1Lкrг o a 1 o \ 1 I I o йN 1 o л е к у Л Ьсl п p o и з в o r 1 ь н o Йп p o с т p а L l с T в e н н o ик o н Q и г y (39 2)' из (39'2)р а ц и e й а т o п t o вв ь i u и с л я е т с я п o o б щ и N 1ф o P M y . l a мпЛoскoсти ;.з : 0'вп{oJIскул.вицнo' чтo длярасlloлo)кеннЬlхмoN1e н Tи н e p ц и и I зинepции:oсЬюгЛавнoйOсь 0fз явЛяется1l.12oтнос и т е Л ь I l oг n а в инеpциимoпlентаNlигЛавI]ьIпlисвязан сIlЬir oсeй, пеРпeндикyЛяpных 0j.з' сooTноIllениeм It i 12 : ц;, , \ , o | 1 ' в Ь | ч '|л ( ' , , i l ь " ' a B | | | o |.
. lа {ooP |.'а,,-'1"ыбooа,/ ,.roД,|.q |.'l,']0'.e' ,,poше:,Да'и,lF|,"| р"r.иrн и е в ь I ч и с J r e н и йМ o ) к е 1 б ы т Ь д о с т и г н У т o з а с ч e т и с п o J . l ь з o Е а н и ясвoйств сиMметрии пjoЛекул,H а й д е N r в к а . r е с т в e п p и M е р а a в н ь i е N l o М е н т ь Jи н e p ц и и N l o л с .к y n ы э т и J e н a C ' H 4 . o б o з t t а н и м N l а с с ь iа l o м o в у г " ' r e p о д аи в o д o p o 'Л а в м o Л e к y Л eч e p е з ' r с и ? l l t l с o o т в е т с т в e н н o ' p а с с т 0 я н и е N ' е х t д yyгЛepoда a \5-2 Ha pк,25), PaссToяния мe)кдy атoN1амиатo]\lа]\4иn o Д o р o ц аи б ; и ) к а й ш и N { и а т o N l a М иy г Л e p o д а o д и н a к o в ь i и p а в н ы D2 , t , . t+ , ; t ++ nr1m3(ll] 21-|ц+ 1||)+--.+ тn2m3(ll! 2.rl2r'3+ r']) +(3s.5)p а с с т o ' l н и я к р а й н и х а т o No t s с м а с с а ] \ 1 и l r , l ' r ? l з o T: a2 :д J l я с и п lj u e ' Г р и .
l н o йл и н е й н o й М o л e к у Л Ь I a lm3, ПoэтoпlyП o д с т а в " 1 я яэ т o в Ь l p а ж e н и e д л я с y M N l ь Iв пpедьI.цyщyюфoptiуJly't 2 \ 1 , ) :l l n | t n 1 \ 1 1(rq4rв . l а с T l ю с ' Г и , l \ { o м e н Tи н е P ц и и Л и н е и п o Й т р е х а т o N ] н o иl { o л e к у1|.и pаскpoeп]ЛрoизведениeсyМм,,.',,'у,'t,"з(,1+иЛи oкoljчатеЛЬн(J199Pис,25этиЛеtiа С2Ilal^одeЛЬrмoJ!екy,lЬIlxunель||ьlефop aлb|s 39' Bь|чuсГлaвa 9' luналuкa пвepdых mел(l 2; 3_2; 4_5l 5 6L oдинакoвьll!1ии pавныltlи 27(fЗ яBJ\яю1cяyгльrl2З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
