Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дu|.aлuKa mвеpd|iх |1еJ|Здeсь Л * радиус oснoвания'h _ высoтакoнyса.l!{асса oднo.poднoгoкoнyсaI.JCлeдoватeльнo,z(.) = h/4. oсь(pис.29) явЛяется главнoй oсЬю ивep."ции. дЛя вычислeнияглавныxцeнтpаЛь.tlых м0мент0винеpциислeдyeтсчитатЬ'чтo две дpyгиe ocу|x |1 g пepесекаIoтoсЬ 2 в тoчl{е(0'0,,(-l)' в 'тoй систeмекoopдинатдЛя кoнyсa имеeмhD=--..----1rз'-|i||_2],\,/d'z:h;dт.t7эЛeмeнтoбъеn4акoнyса в виде дискас pадиyсoмr и бeскoнeчнoмалoй тo'rr.Щцнoi|.lz ecть i|v : тr2 d'z; мacca этoro-Т-...---.дискаeстьpтTz сlz, a мollеll7looтhdz : .1,т'dr.е фopмgлы$ 39,BыluслunельныИнтeгpиpуяэтo выpа}кениe,цахoдимглавныемoмeliтыинеp.кoнyсаoтнoситeльнooсей0,ции3l'' _,l=_ пpnь|(tl'r-игr-pавен.9тj: "jtt)+у2lpdv=_Чi: ffв"Jr,,fl-n,.tзэ'зunэЛeмeнтаpныймoментинеDцииoтнoситeльнooси' паpаллeльнoй 0с и пpoхoдящefiчepeзцЪнтDI\4ассвыдeлeннoгoслoя' в сo.oтветствиис (87) paвенI,po,,1,1,2= E!oo.',trl'"пPибавляя к этoмy выра,{eниtrзпpoизвeдeние массыpтr.
dz на квадpат pасстoяния мexдy oсямиz2, мыуo:пoлyчим, сoглaснo пPавиЛаl'4пpеoбpазoвaниятeн3opаинеpциипри паPаJlЛелЬнoмпeренoсe!{ooрдинатныxoсeй, элeмeнтаoныймoмент инepцииoтнoсителЬнooси 0J:_{},'а,-ff,,ь(1_;),*3h29h2)o _Й,"*"tвFJo,:- pтh ( oz -h2\20 \'4 /'t4л4,t,:ь=}*(n,*!).(3e.32)' Эlutunсoud,шap. Hачалoкoopдивaтвыбepeмв центpeсим.мeтpииэллипсoида.l{oopдинатныеплoск0стисoвместиMс пЛoс.кoстями симMетрии9ллипсoида.Toгда ypаввениюэЛлипсoидамoxвo пpидатьканoничeскийвид:lltlеpЦl-ll-lпo9тoмy главный мoMент инepции кoljyса oтнoсительнooси zi2\Jt\4'F'),Pис,29.
ГЛавныеoси oтнoситeЛьI{ooси z eсть' (39'28),'1|1еpЦ|1L1a, у1 z Kpуro-209n2,,2'2а2lР'с2_.,гдe 4' 6, с _ пoЛуoсиэллипсoида'и кoopдинатныeocn с' g| zбудyт гЛaвнымицeнтралыlымиoсями иl]еpции.ПpеoбpaзoвaниеlикoopДивaтx: аr|' a =bу,, z: cz'Уpaьне.ниe эJrлипсаlpивoдится к ypавнeниюшара eдиничнoгoрадиy.сa (t'\z + (!)2 + (zl)2 _ l' мoмeнт инepцииoтнoсительIlooси zбyдeтимeть вид: r"ьl1o,{",),av,,ц : 162+у21pav+ь2{Ф"\нo всЛедствиeсиMмeтpиишapalr"'fou': ltnt,ou,=lv,fou'=:dv':tr'l'*Q')2}i J{t"'l'*lгlт2n.г|4= : |(r')z dr' | вJ.n9d'0 | d,p: )т,JJIOJJ000пoэт0l,ty210Глaвa 9' Дu\NамuKamвеpdыхmeл^{oMeнтыинeрц,lи 1l! ..2 oтнoситeлЬнo oсеfi ,, 9 пoлyчаютсяoтсюда цикЛическoй пеpeстаlloвкoй симвoлoв obс|I|=+}), 12: +тpаьc(c2+a2).+"p"ьc(b,Масса oднopoднoгoэЛЛипсoидa равнагдaва loпPAктичЕскиЕ3AдAчитвЕPДьIxтЕJI,циIIAII{ики4m = piтa,bcПoэтoмy главныeцентpальныeМoМентыинеpцииoднopoднoгoэ4.Iuncouda МofУ.|6ЫтЬпpeдстaвлel]ыЧеpезeгo Mассyпo фopмyлaмl^rlI| +/).
12(з9.33)/з:5m|ь,;m|ё+o,J';и(а2+6,).Пpи a= b: с: R этв фopмyЛьtoпpeдeЛяютглавньlемoмeнтыИнepЦп|1u1аp@:It:Iэ=]з-.ьnR2'нeпoдвижrioй$40' Cпмметpиuньrйвoлчoкс o.цrroйтoчкoй в oдtropoднoltt гpaвитациoннoltlпoлесимметpич!|ыхтвepдь|хтeJ с oднoйнепoдвижнoй,цвижeниeтoчкoйсoпpoвo'(дaeтсяпpeцeссиeйи нутациeй'Закoнoмepнoстидви)кeниятаких тeЛ ЛФкaт в oсвoвe тeopии гиpoскoпиrreскихнaвигaциoнньlхпpи6opoв.ЕсЛи твepдoeтеЛoимeeт непoдви)кнyюToчI(y,вol(pугкoтoрoйoнo мoжeт свoбoдlloвpацaтЬся'тo нaЧа.и )кeсткo свя3аннoйла oбeиx систeм (oopдинат(инepциaЛьнoйyдoбнoтвepдымтeлoм)coвместитьснeпoдвижнoйтoЧкoй,oсь zсoсь z, _ вдoльвь|бpатьпo нopмаЛик плoскoстисoпpиKoснoвения.oси симмeтpиивoJlчка.oсь симмeтpиии любыe двe oся' пeр.пeндикyЛяpныeeй, яBляютсяглав!|ымиoсями инeрции.ГЛавныe^loмeнтыинерции Il: Iz, Iз. ЦeнTp масс zim) симмeтpиЧнoговoЛчканахoдитсянa ocи zl (Лarpaн'>к-Пyaссoн),так чтo пoTeн.циaЛьIlаязнepгиявoлчкaв 0днopoдн0мп0летягoтeнияравнаIJ|0| _ .
mвr'.-) : ms.'\.).os 0'd _ yгoл мerклy ocямIаz |4 zl' Пoлoxим в oбщeм выpаxениифункцииЛагрaн}кaтвeрдoгoтeЛаl.l_ д..," mvoLФ\ll ' riфJ IL = Бmv6loloвInau?LUi\to+\.|).-=g- 6' 7.,u'тo - 0."6"*"_]NI 1 1_ 1 2=2 I1' \.1=\'Iu':u1о1.i:lа так}кеyглoвyю скopoсть Фo в пpoeкцияxна oси пoдви)кнoйсистемьlкoopдинат'выpа)кeнныхнepeзyглы Эйлеpа:: ф вin0 sinф + 9 сosф,r..,1|,,'2:ф s\n0cosф- 0 siaф,u,1: рcosl + lj'l.212Г,tаaа 10. Пpaкmuчес\сцe1а'daчu 0uна7tu1сu||1веpdыхmе'|B peзyльтaтe пoЛучaeм фунKцию лагpанx(а вoЛl]ка в видel.--lL _;I' | i 1 , - ф ' s i o 20 ) +;tJ\ir ф с o s 0 | 2- m g z | , - , в э s l .Углoвыекoopдинатыциклич""-,"".n"!13;'}9 ифявляютсясoхpаl]яются в0 вpеMени oбoбщенныe импyльсы p9' pфt пpeдстав.ляющиe сoбoй прoeкции Moмel]тa импульса твeрдoг6 тeла L наmoчкo|i... 2|3c oаt|ol,неnodвuэ]снotIs40' cu. еmpuцныlвoлчo1<кoтopoeУдoбвo прeoбpазoватьв ypавнeниедля € = сosd.
oчe.виднo(p' _ p,рсos0)2Ч"i,.20:02^in20+a2!З!*"o"in,ollи' следoватeльнo'i , z_ t lp o _ - o - '_ l 1 ф s i о 20 | - / r ( u t р с < ъ 8 ) с o s p - . . : . - с o n : l . ( 4 0 ' 2 )o'pр, = = - IJ(U+i.os0) _.,, - .onsl'oц)(40.4'B этoмвыpФкенииПoэтoмyв =в*о"*q,:l13.,l32:g6ng1.(40.5),-''.'-\-|.\IЦ\ 1rЦt\h')|ь.З=|lt(02+ ,1,2sio20) + mgzi-) сos, : сonst.po -- l lsin"0| pvсoвg'с(t')| _ pp.
pрсo50Y,--:---t -.]l srп.0d€ПoдставЛяяэтo значециeф в (40'6)'пpихoдиI\,tк уpaвнeниюдЛя,:.,-L;-. ё2_ \pe pу|Чa r + .:у:З!rrr i s r n -01l"^''(40.9)(40.1l)интeгpал в (40,1l) свoдитсяк эллипTичeскиNtфytiкциям.Уг.(Pи Ф мoгyт 6ыть найдeныиз уpавнeний(40.8)лoвыепepеменныeи (40.5)' eсли извeстria фyнкция d(t), Пoэтoмy |p |1 ф TaK)ке вьIpа>кaютсячеpeз спeциалЬныефyнкции. Фoрмyлoй(40.l l)oпpeдeлeнaфункция': t(€ ) . ,Д,лятoгo чтo6ы цайти oбpaтнуюейфyнкцию,зaмeтим,чтo X(€ ) _ мнoгoчлeнтрeтьeйстепениoтнoситеЛЬнo€ : сos,' пpинем1({) > 0' 1(*l) < 0 (€ l 0). этoт мtlo.гoЧЛeнимеeттpи дeйствитeлЬныхкopня.oдин и3 ниx, Eз > 1, нeyглаv. два других.с|. € 2 . сoo1вет.сooтвeтствуeтвеlцесfвенныvствyют(тoчкaм пoвopoтаlпo углy d (_l < (1 < { < {2 < 1), мex.лу кoтopьrмиd сoвepшаeткoлeбaния.Peшeниеyравнeния(40.1l)м0жнo пpeдстaвитьв видelol,(40.12)3дeсь sпr,(J; to) _ эЛлиптичeскaяфyнкIrияЯкo6и'- -(40.8)=1({).
(40.10),l '',4Фt(0)(40.6){40.7).2KвадpaтypoйPeшettиeэтoгo yравнeнияoпpедеЛяется{(i): сos,(f). {l _ ((z _ €t)sл2ytlИз (40-2) vt (40,3) лeгкo искЛючaeтся ф. Пoлyuимилисzll Z!!vltl/(40.3)3начeния этих пoстoянныx oпpeдeляются начальным сoстoяниeмвoлчка.из paвeнствa (40,3) виднo, чтo пpoeкция.,3 углoвoЙ скo.poсти IIа oсь 2' oc7aеTcя нeизМeннoй в тeчениe всeгo вpеrrteниДви)l(€ н ия' 0,,з: сonst.
.цaлеe, фуt,!кция Лагpаюка нe сoдepxитявнoй зависиМoсти oT вpeмeни' и диссипативныМи силами мыпpeвебpeгаeм. в Tаких yсЛoвияx сoxpаняeтся пoлная энеpгиятвepдoIo тела:.^lIЕ Бio,0)_ilз\u_рсoso1, + ngz',.,сo'0 _ 1'6у15у';I||А2_i,2Ьц(i,tlV_ a)1mgz,Й1(aot-Пoдставляя в ypaвнeниe (40,8) выpа>кeние(40.12) вмeстoсos,, пoлУчаeМуpавнeниeдЛя yгЛoвoйпepeменнoй(P'. L. - L', aв9(t)9:-Цl_*"щt))'(40.r3)KoтopoефopмаЛьIroЛeгкo интeгpиpyeTся.Эти peзультатыпoзypaвнeниe(40.5) для пepeМeнвoЛяюттак'ке пpoинTeгpирoваTЬнoй ф и свeсти задaчyo движeниивoлчкак квaдpатуpаM.211Ка.lественньte пРедставJ.lе!lиЯ o двиЛ{ении вo.l]чка lrlo)кнo сo.ставить на оснoвe а|lа.пизатpа('ктoPииконца единичноговeктo.pа /r.
oси.'н2с(lrepeс цснTpo1!]ts нс,к)дIrижнoйтoЧкe. I{oIlеЦвеliтopа,(J. Иj1|1 tl|lекс'пPи этo]\! бу]leтoписьIватьсфeричeскYю| i P и в \ ' ю с т o ч к а ] \ l и п o в o p o T а | l а | ] а p Z . . . r е J я х0 : 0 l и e(],:,l l . r я н а ч а . a ь н ь r хс o с т o я I ] и й в o .
1 . | к а 'т а | i и х . ч т o | . L . l L . , 1 ; , ( 1 6 1 1 ,( б o J ь r ] ] сн а и б о . r Ь | l I е г oз I r а Ч L . н и (' it ) s r i / )п. p o и з в o д н a я б y , t e т и м е т ь;o д и н и 1 . o т ) к e з i l а к п р и 0 = 0 | | 1 1 1 | , |01: 0 : ,Тpаeктоpия апексад . Ц яэ т o г o с л \ ' ' ч а яи з o б р а л { e I l аl l a р и с . i ] 0 .
a ; o с Ь с и N 1 п l е т p и ив o " 1 ч к al I p c ц е с с и p v е т в o l i р y г в с p T и к а " ц ь 1 | ooис и и с o B e p ш а е т к o Л е б а н и Я@ у n а ц u ю ) N { е ж д y1 . ) Lи , ] .уpавпепuн nм|j1!Г'nва 1a Пpак|nuче.кu( 3аduчu l]ulla'|uкu пвеpаьd nе/|иNtпvльсP = 'Ilo.]lнЬlйvьr r,:!пr,(г.u'|11Lц.1ьс|1u '|oЛенna u11|!]bс|)2r5/ l l , v , и I 1 o J I н ы й] \ j o N J е | иJ т\ J п у . л ь с ас и с , Г с .х v ; ) и : } ] t ! с l l Я е T ссяo в р е \ J e I i e \ lв с o o т I ] е т с т | ] и ис \ pавнeния\!иP-F.( 4r .r )L_NI.с v i \ l N l ав н о ш н и I с и л .lде Fт' - r t \1 ,*- ' гF-l] \ { o N 1 е нвтн е u l ] l и х с и Л , Э ' Г o й с и с т е ] V I еч а с т и ц с т а в и T с я в с o o т .в e т с т в и e м o д е J l ь в в и , l l с T B l ] р д o г от е Л а , т 2 к а я ' ч l 0 I i - г 0 ] r .
l .к о ( ) p д и н a т ыи к o N 1 п o н е н т Ьс|к o P o .v ' : v O + ( o J х г ] ) , г , r от 6 . v 0с т и н а ч а Л а к o o р j l и н а T с и с т L , ] \ 1 ь5 i. . ) к e с т к o с в я з а н н o г o с т n е р Л Ы r ' ]к o o p д и н а , г Ь |q j и I i с и p о в z н н ь l х в s / с т p y к т y p | l ь I х э ' 1 с телolr.
гjl \ I е l | т o вт е . l ] а .( 1 ) _ у г . l o в 3 я с х o p o с 1 . Ьт в е p д o г o т е Л а . J I ( ) n с т а | ] Л я яэ т и в ь l р а ) к с н и я д . l ] я| i o o l ) j l и l l а ,ггJ и с к o p o с т e й v i ч а с т и ц в q ю P п I у. t Ь l , 1 " . l яи l п у . | l ь с а и [ l о ] \ ! с l l т а и l \ l п } т ь с а .P и с , 3 0 , к p и B ь r ea l l c к ( а с и \ | ! с т р и ч ] | o г oвоlчка Е о-ltloрo]lfloугPавит2|l]rol]lIor ]roI ' ' I еPД л я н а н a л ь r r ь I хс o с т o я н и й в o . l | Ч l i а ]. ' i Л я к o т o p Ь I х с п P а I l е д " 1 и в oсos() 1 < | I-.
l I,,.'1< l os 02'с к o р o с T Ь f б y , . l е т и [ l L ' 1 . Ьp а з ] l ь t з | i 2 к и н а г p а | l и ч l ] ь i х o к р y ) к н ( ) .с-|ях 01 Й e,. Этo сooтвr.гствуст npеilессии и нутаIlии вoJrчка.а п е к с к o т o p о г o o п и с ь I в а o ] .I ( p и в у ] ( )и. з o б p а ж е н н у ю н а p и с , 3 0 . 6 ,L l а p и с , 3 0 , , r п o к а з а н а T p а с к 1 t 4 ) и яа I ] е к с a . с o o т в е т с т в v ю щ а ЛI | а I l а i ь н ь I I tу с л о в и я п t ( / - . , / / , .
' J - ( ' ( ) s / , J 'к o т o p ь l с п l o г v т б ь I т ьро3 " ! и з o в а н ь I д " ' l я в o ' ! ч l i а . o с Ь с и l \ l N ! с т p и ик o т o p o г o в ] i а . l а ' , l Ь l ] ь ] i iп ю N t e н тв p е l l e н и с o с т а в . т я . l l аY г o . l 1 ] ' , с в е p - т и к а . l ] Ь l оB о J ' I o к Л p j rэ т o ] \ !и I t e .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
