Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 37
Текст из файла (страница 37)
с ю д аl l o ф o p м у(rr.j: l.',''sв частнoсти'лаlr KpамеpаI|ахoДиi\'I,.rl'l :r!,)1--atet xr,1"-,,,f,,1nr"Гu 1 " 1 r f , , q o r "r.',"l,,,lrl1,.| . ,Jitno,-.д)asl." rlз |2:u " r . s I - i , , ) o sr "l.,j\lo)ltB o п p e д e Л и т е Л е ,с т o я щ e М в Ч и с Л и т e J , ]зеT o г o t s Ь I р a ж e l ] и я 'н O п е р e с T а в и T ь п e р в ы й с т o Л б e ц т а к ' Ч T o б Ь |o н с T а Л l l о с Л е д L | и l \ l .o п p е д е л и т е л ь п p Й э т о N { и з п e н и т з н a к и . б у д e T p а в е н ш l и н o p уA / , 'х . р а I { т е р и с ' I и Ч e с к о г oо п P е д e л и T е л я ^ ( ! . ' i , ) ' п o n у ч е н I J o м y в ь I L I е pк и в а н и e м п е р B o г o с т o л б ц а и п o с Л e д н е Йс т р o к и ' т ' е .хapaкmеpuсmuчеcкoе l|aвненuе (43'B) иNlееTв oбщeN1с,,]v.чае s pаз"l]ичнЬltкopнеиr!'i' бс"']едствиевеществel]нoстиl] сиMr \ { е т P и ик o ) ф ф и ц и е н т о в ? l o ! J l .
r o r ] o с e n o p n "веIцественньI'"|нa коМпjleкснoд е й с T в и т е " ' ] Ь н oи' з ( 4 3 , 7 ) и r u e е r uп o с Л е у \ ' I н o , { е I ] и яс o п р я ) к е J i I l Ь l еа l t п Л и т y д ь I - 4 ;Oтсюда1l.'!(;ll.4.]] ,1l.1.') : ':a..J(А:,.1j +,1iJi1,')(43.10)B к р y D r Ь l х с к о б к а х р а в е н с т в а ( 4 З , 1 0 ) с т o я т с y N 4 п l Ь |к o п lпЛекснo.сoпpя)кеI]ных чисеЛ' кoтopЬIе вссг]1а вeщeствеIIJiьl.и ' с J . ] е д o в a т e л Ь н ol ].. т а к ) к е в е , ц е с T в e н н o ,} l а й д е п l o б U l е е p е ш с н r r е y p а в н е н и й д I ] и ) к е н и яс и с т e N 1 Ь Iи. M e ю щ e й p а : . r i и . l н ь l ек o p н и и ! , . Ц L I як а ) к д о г o к o P н я ш f .
o п p . : l e л и т е . п ьс и с T e М Ь l ( 4 3 8 ) о б P а щ а е т с я в I ] y Л Ь '' Г а к ч т о J ] е в с е y р а в н е н и я д J . I яa r v п n и т y д А . 1( ! ' i ) = , 1 | j н е з а в и с и м ь r ' П у с r ь . l L a r r р и l r е p с' " ' r е : r с т в и .e п ' Io с т а . q Ь н Ь | ху р а в r i е ] i и й я в ' ] я e т с я y р a в н e н и e с r r o п r е p o мs . Т o г д а. . ] F ,' 'гр,lj,|,,,,,,. Io,рР|р1| '"гЬA,^ '"...,0,|,о|р oN 1 Ь I ey р а в н e н и я,'oo,oLк0JI,b\]l\lo)кнo предстaвиTЬlj,,а'А|.р),р.в виJ1е-,,i.,.,)$: (и'"_,,|,u..""1( 4 3 .l r)1.'.,"( 4 3L.2 ):+air.,(1з'9)u',,r Аi" А ij : L|2о,"з А:А ir|чаcрA i l а " ( о г и ч l l Ь I e с o o T l I o ш е н и я и ] v I e ю тN 1 е с т o д л я в с е x а N j п Л и т у д :o O|Ьo .чLр qв ч..Д.," l", 'о o т, ,, lрOBa trо,o hо'' |9 *'в 'л |\,,.
, q ]Jо,,вo, o |oЙ пoг oя, ноl ooo,, aчLв ne ''е," , l.I l т o к о п j п J . I е к с | l Ь IаeI { п Л и T y д ь I , , 1 ; п p o п o р ц и o 1 l а Л ь l l Ь I в e l ] l е с т в e н н Ь I M\1инорaМ хаpаl(TеристиЧескoгo oпpе'IlеЛи'г{',пя:'l,r'(4З,13)дt'41 1 а й д e н н Ь t ер е ш e н и я д Л я к o N l п Л e к с н Ь l xапlплитуl (43,13)пoзво!'rяIoт llрсдст'ви.Гь .lастнoс pеIueние {f; уpавнеI|иидви)кeния'сooTветствyюI]lеe кopню (1r;' в виде.'н' t, l \''r ',.', iA'в'.',,P^1]:',( + J ,| Ч ]сyпepпoзиllииЧaстьювещeственI|0ЙpешеI|иeявЛяel.сяoбщeepешeниЙ:чaстL|Ь|х.,\-{,\- t' п, t. , ' 'рt1=\tt=l/'}(4З,15)(zлaвныe)кoopduнаmы.S 41' I1op'|альные236из (43'l5) нeпoсpeдсТвeннoвидllo, чтo дви)кeниесистeмъlбyдeт пpoисхoдитЬ в oкpeстнoсти пoJoжeния рaвнoвeсия пpивсeх' a нe тoЛькo мaЛых f в т0м и тoЛьк0 в тoм сЛyчаe' кo.r!.a вce Ф|' > 0, Любoе вoзмyщение l!1нoгoчастиЧнoйсистемыв oкpeстнoсти пoЛo)кeнияpавнoвeсия в этoм сЛyЧаe мo)кeт бытьnpeдставлeнo в виде сyпepпoзиции гаpмoничeских кoлeбaний.ЕсЛи xoтя бы oдин кopeвь .Ji oтpицателefl, тo oTкЛoнeния€ ooт пoЛo)кeнияравнoвeсия бyдyт сoдeржать экспoI.]eнциаЛьl.toна.с,lечением вpeмени сЛа|аeмыe.Пoлoжeние pавнo.растаюL],lиеsесия в этoм слyчаe явЛяeтся ||еgcmoiчuвыJ|L Пpи нe слиlп.кoм маЛых / ,вoлюция oтклoнeнийoт пoЛo)крнийнeустoйчивoгopавнoвесиянe oписываeтсяфopМyЛами(43.l5).
Kвадpатиuнoeпpибли)кeниефyнKции Лагpан)<ав таких сЛyЧaяx oкaзьIвaeтсяllедoстатoч!]ып!!и нeoбxoдиманаЛизнелинeйньIхypавнeнийдви.)кения,Bсе ш] пoлoжитeльньr,и систeМа сoвepшает кoлeбания, есJtиквадpатиЧчаяфopvа, .,]peдстaвляюrцаяэнеpгию вJаи^!oдeйствия.п о Л o ж и т e л ь н а, ,:' . 1 ' ' { д . 0 , д е й с I в и - e л Ь н oи' з у p а в н е ч и йД л яамплитyд (43,7)имеeми. слeдoватeльнo'u.pЬ!) : '|u'""BЬ!')lr.,3A(l)дfo ) : .|,,"" uь|о ь!)(43.16)(43.r7)Kвaдpатичная фopма a"gA|j,)A}J поЛo)китеJIьllooпРедеЛеtlна(как yдвoенItoe знaчeниe кинетичeскoй энepгии).
Если пpи этoмпoJo)китeльнo oпpедeлeнI{аи квздpатичная фopilа в лeвoй чa.сти pавeнства (43.17)' тo все r,.'!> 0, и пoЛoxениe pавнoвeсияяBляeTcя !сmoцчuвt'l', для эт0гo всe главl,]ыeМиIlopьl ]Mатpи.ё.Uцьl (43,5) U"9 _дoлжны 6ытЬ пoлoжител"ными(кpи.U;";n" ."тepий .цx. сиЛьвeстpа). Пoтeнциальнaя энеpгия сисTeмы в пo.Лoжении yстoйЧивoгopaвнoвесиябyдeт имeтЬ изoЛиpoванныйминимyм.$44. llopмaльIrые (глaвньrе)кoopдинaтьIП t,Iopмальltые кoлебанияBoспoльзyeмсяпpoизвoлoмв выбopеoбoбщенныхкooрдинати ввeдeмвn,!eстooткЛoнeний4o oт пoЛo)кeнияусToйчивoгopавI]oвeсиянoвыеoбoбщeнньIeкoopдинатьl,p пo фoрМyламt"=L^х0p.(44.t\2З7из oбщeгo pешeния (43,l5) виднo, чтo нoвые кooрдинаты t/'lв KаЧeстBeрeшreIlийуpавнellий Лaгpан,(а дoл)l(ньIбытЬ пpoпop.с(/,)циoнальньIми, eхp (_iФl,.).Kинeтическаi э неDгия в пpибли)кении линeйных кoлeбанийв нoвьlхпеpeменнЬlxпримeт виlL'=i""вt"tB:i"*L=itt, o,''u,u,f ьу'ь"oо,,ё,,144.2)Пoка)кeM,чтo матpицае", : сl'"pЬ|Ьi: сц'(44.3\из (43,16)слelyeтpавeнствoдeйствительнo.диaгoнаЛЬна.(44.4')ь(!\ = .(,',,,'.п"gЬ!Ьi : ы2\',a"gЬ!\УЧитывaя симмeтpию матpиц rroll' € р ,, пoЛyчим тaк)кeц"B^!:^'Ь:uL.)Ьl','(44.5|Из (44,4)и (44.5)имеeм- .l"rle*:0.1ar"r(44.6)матpица:пoэтoмy € ! z _ диагoнaЛьI]aя(44.7')где чеpeз € / oбoзвачeныдиаг0t|альныeмaтpичныe элeмeнтьlэнep.кинeтическаяТaким oбpазoМ,и лo (д) нei сyммиpoвaния.виду:кнopMальнoмyпPивoди'гся(44,2)d/,в пepeМенныxrия.__ 1++,,,,о,"tl":|i,"оi,(44.8):2 Z-.чпoтенциальнaяэ}rеpгияU =Ьu.B€ .
€ , ,вaU = : " . s т- ,т- ,zpав"' нoвых пepeменньtx^r'^';0,0':;Ё=iL, *'"t',tnn.ntf ',,,,"u,r,и так)кeпpивoдитсяк нopмаJьнoмyвидy.2з8чacmomы.Ko!|е6анuямaлекlJлs 15. I7ц.1евыеГjaвa 1l lrIалblе колебaнuя сuсmеД-''Фyнкция Лaгpaн)irа кollсеpвативнoй систeМы в пepeMеIl.ных иp имeeT видr-,\-,o z-l .ru \l j"2' _ . у "д| 2(44.t0)у o а в P р P и я Л а - p а L l > l \ ап p е д с | а в Л я юг ( 0 6 o и с и с т р м у s нeзaвисипIыxypавнeнии:a p+ a i o p : 0 '0" - аucos\u,t 9)'$45. IlyлевьIe чaстoтьt' кoЛe6aпия мoЛекyлlлoявив[Iaяся в pезyЛьTатeKвадpaTичI,jaяфoрмa;toB€ @ € р 'pазjo)кения I]oсTeпeням oткЛoненииta oт пoлo)кeниярaвI]oвесияэI]epгии взаимoдействия систeмы, l4o)кеTнe бЬlтЬ пoлФкитeльнoЛевая часть ypaвнeния(43,17):oпpедeлeнIloй.,.64/ Apn -,r?,)o"B^:'^ti .(44.1r)Peшeнияypавнeний(44-l l) мoхrнoпpeдсTавитьB видe\44.t2)тaк чтo ка)кдaя i]oвaя oбoбщенная кoopдинатa,p бyдeт гаpllo.ниЧeскoй фyнкциeй с частoтoй, pавнoй oднoй из сoбствеI]ныхчaстoт систeмЬI.
Tакие кoopдинaты Ilазываются нopмаlxbt|ыl,|u\елaвньD|,|u) 1 а сooтвeTствyющиe дви)кeния систeмЬI ||opj1l"с|!xbнь|.мu |zлaв|bLм'u\ кoлeбаниями,.цля кoljсepвaTивнoйсистемы нopмаЛьныeкoopдинатЬI,! всe.гда Мoгyт быть ввeденЬIпpи пoмoщи линeйнoгo пpeoбpазoванияo6oбщeннЬIx кoopдинат' ЕсЛи тaкoе прeo6paзoваIlиe кoopдиI,Iaтнaйдeнo' тo пpoбЛeмавычисления с06ственньIx частoт .,д Линейных кoлeбаний сTaнoвится тpивиальнoй пpoбЛeмoй вь]чисЛeнияKoэффициeнтoвпpи d], в ypавIreниях(44,1l), Kаждoe сoбствен.нoе (нopМaльнoe) кoлeбание сисTeMьI, пpeдставлeняoe фopму.лoit (44,|.2)' Mo)кетбытЬ вoзбy)кдelio пyтeм пoдxoдящeгo вЬIбopаЬаЧаJЬчыхy.лoв,]й лю6ые вo'1,lущeнияс,]стеv пpед."гиPeйчьIхставимьI в видe сyпepпoзиции нopмaЛьныx кoлeбаний.Заj'|eчф7uе a кpаmнblх кop|!ях (вl'|po'lсdеннblх |7асmomaх\Если хаpaктepистиueскoeуpавнeниe систеМы иМeeт кpатныe кoр.ни' тo кoМI]лексныeаMпЛитyды.4Ё Irе будУт вьIpа)катьсячeрeзMинopы хapaKTepистиЧeскoгooпpeдeЛителя,п0Д06н0 (43.l3), таккаI{ сами миIlopьI pавI{ьIнулю' oднакo pешeния ypавнeний дви.'(ения и в этoМ слyчae мo)кнo искать в видe (a : r4" ехp (_iФ').Пpи налиuии кpатI,jых кopнeй pешeliия ypaвнeний дви'кениятакхe мoжнo пoЛyЧnгЬ'есЛи исK)сствPн|Joизмен,lt" ьoэффиuи.eнТы o,a|t' 11ap tlа пIaЛьIeвeличинЬ] так, чтoбЬI кpатныe кoрниисчeзли| а заTeм сдeЛать пpeдeльI,jыйпepеxoд'oдинaкoвьrм кopням сooтвeтсTвyют нopмаЛьныe кoлeбaнияс oдdoй и |oй жe сoб.твPPчoйЧастoтoйси(трvы' нo с DазнымиаМпЛиTvдaмии фазaМи.2з9в такиx сЛyчaях Mo)кeт oбращaться в нyЛЬ пpи I]e pаBных нy.лю AУ], и сpeди сoбственньIх частoт систeмы мoгyт пoявитЬсяI]yлевьIe'Физинeская пpиuина пoявлeния нулeвыx Частoт Лe)кит в oпpe.дeлeнии oснoвt]0гoнeвoзмyщенн0г0 с0ст0яния систeMьIкак жeст.кoй прoстранствeнLloй <рeшеTKи' пoлo)кeний pавнoвeсия, Tакая l]евoзбy)кдeннaясoвoкyпI]oсть пoлo)fieниЙравнoвесия M0х(е'Гбыть пpeдстaвлeнa в видe твepдoгo Tелa с шeстЬю стeпеняпIиизи TpeMя вращaтeЛьньIми'св060дь]:Tpемя пoступатeльньIМи(44.ll):ljopMaльныхкoopдинаTaxвдви)кеIJияуpавнellийёu+o"Nо,:слeдyeт' Чтo нуЛевым часToтaм сooтвeтствуюT закotlы дви)кeнияы,1t'a0p: qopt + qop,пoстУпaтeльныe и вращaTeльныeстeпени свoбoдьl мo)кнo ис.Kлючить заpанee из ypавнений двиxeния пpи пoMoll{и дoпoЛниTелЬных pавeнств (<свя3ей)), кoтoръ]м дoЛ)кньI пoдЧиIlятьсякoopдинаTьIсистeмы.БУдeм считaть, Чтo цeнтp пIaсссистeMы частиц в pавнoвeснoмсoстoянии дoл)i(eн6ыть нeпoДвиrкным и пoЛньIйимпУЛьс систe'мы чaстиц равен нyЛю.
Toгда)m'rn' : сonst.t.::t-,.,:o(45.L)pавнoвeсI]ь]епoлoх(eниячасTиц,Здeсь г' : roi + &, где rl]i_paвнoвeсия'из (45'l)oтпoлo)кeнийа €iмаЛьIеoTклoI]енияслeдyeт'Чтo1\-.-с -n240Гnaвa l l' I|4аль|еl.oле6анuясucmеЛ'..s 45' IlgJ|евые ча'сmonы. Koле6aнuя мa'tекgлЭтo pавенствo бyлeт выпoлнeнo за счeт выбoрa кooрдиllаT' eс.Ли пoтpeбoвaть' чтo6ы кoopдинаты сi yдoв.,reтвopяЛиypавяeяиямN\--r -n(45.2t- пpи пoмoщи pавенств (45.2) в выpa)кeяиидЛя фyнкцииJlагpaнжа ilo)кнo искЛючитьтpи oбoб0leнныхкoopдинaты.пoтpебyev.кpoмeтoгo. чт06ыпoлныймoментимпvльсaси.с.eмы также был pавeннyлю' Toглабулемиve]ь в ;инеiнoмпpиблиxeнииNNL-Lmi\ri, i,) =Lm i ( r o ,. { t ) = 0 .(45,з)t=loтсюдa виднo, чтo дoгIoЛниTеЛьнымyсJloвиeMна Koopдинаты'oбeспечивающим paвe!{ствo нулю Moмента иNtпyЛьсa, явЛяeтсяУсЛoвиe2-ml (г0i Y BlJ : U'(45.4)тpи paвeнства (45.4) пoзвoляют исключить дoпoлнитeльнoTpи стeлeI]исвoбoдьI'с- пoдoбньIмизадaчами пpихoдится иметЬ дeЛo пpи изyчeIJиикoЛeбаний мoлeкyл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
