Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пoвтopяя pассy)кдeния' испoльзoваtlныe дi'rя oпpeдeления aмпли.Tyд кoлeбаний кoнсepвативных систeм, приходим к заключeнию,чтo Koмплeксныe ампЛитyдь| пpoпopциoliаЛьtlыминopаM A"(k,/')и A.,(r,,li) хаpaктepистичeскoгo oпpeдеЛиTeЛя: C+1,,1A.,(o!).(a7,13),a+"(ш!)"(u,.)=( .,.1l"(o,)'0 6 ш е еp е ш e н иуоp а в н e н идйв и ж е н иДяи с с и п а т и в сниoсйI е .АNtы(47.3)явЛяeTсявещeственнoйчастью сyпepпoзициичастньlx(47'|2\:с ампЛитyдамuPerшений- +.^ / . Д o ( Ф д ) e х p ( _ l . ,. дCl ')д A " ( .
" , , 1 ) е * p t ; " , i l ) l ,6 - L{с\47.r4)iut).€.=A"eхpIПoдстанoвка(4Z6) свoдит ypавirения(47.5)r<систeмeaЛгe6раи.ЧeскихypавнениЙдля кoмпЛeксньlхаMплитyд:( a2a,'p _ iuсt.6 + u"3) АB : Q.(47.8)(_ L,-l2a.p it.'.ll1,,'pI u,$)(А:hпoскoЛькyдиссипаTивнаяи oтpицатeЛьнa'фyнкциянeoтpица.IeJьна'а Kинeтичeскаяэнеpгияпoлo,.ки|eJЬнooпpeдeЛенна.Пo.(47'1o)a : v _ i1' нaхoцуtм.1aгаяв фopпayЛe_iо*iu'=_2l,(47.\2\l>0.кoпlllJlексIlыхД = d е t| _ ш 2 a . , д i Ф d ' .
B + u " p | = o .247d'"в(АLАp+ А"Аi)/ a-(АiА" + АpА:) (47,|1)виднot чтo кoиз 06щег0 peшeния (47.13)нeпoсpeдствel]нoЛeбаниям сooтвeтстByютлишь кoмплекснo-сoпpяжeнньIекoрypавнeния.|1|||,p: ур _ i1r, |';: uр+ i1p хаpактepистиЧескoгoAмплитуДы такиx ioлeбаний зкспoнeнциаЛьtlo yбывают сo вpемeнeм с дeкpемeнтамИ зaTухaния 1р' пoявлeниe кoтopьlх вызванoдействиeм диссипативных сил' /vlнимым сJд сooтвeтстsуeт апepиoдическoезатyханиeмаЛыx aoзмущeнийсистeмЬ|s 48. BьlнyriцeнньIeкoлебariиядиссипaтивllьlхспсте!tBынy>кдeнныeKoлeбаниясистeпIчaсTиц пpи нaличии дисси.пативных сиr1 нe свoдя|ся к вынyждeiны\l к0Ле6аниямна6opанeзависимых oсци,'rЛятopoв'B пpиближeнии линeйньiх кoЛeбаний фyнкция Лаграюка системы взаимoдeйствующиx частиц вoвнe[Iнeм пoтeнциаЛьнoм пoЛe oпрeдeлeна вьIшe и сoвпадaeт пoфopме с аl]алoгиЧным вьlpа)кeниeм (46.2) lля кoнсepвативнoйсистeMы:ь : !'"вс.tl,_ i?l."pс"€+eo"(tX^.248Глaва l l, ]vIальtе1|oле6анu'сuсmеЛ..,.[иссипaтивнаяфyнкция в тoM жe лpибли)кeнииoпpeдeленаPавенстваMи(47'2\' (47.4)'А pagнaIсI, t>0)'(a,p: l,...,s).(4s.l)06щее рeшениeэToй систeмыypaвнeнийпредстaвЛяетсoбoйсyпеpпoзициюoбщeгo peЦIeния(47,l3) сooтвeтствyющeйoдtloсистемыи qастнoгopешeния,рoдt]oинайдем частнoepeш]eниeypaвнeвий(48.l) для систeмьrва.стиц вo внешнeмпeриoдическoМпoле,Функции 8"(,) в этoмслyчаe бyдyт пepиoдичeскиMифункциямивpeмeнии МoгyTбыTьпpeдсTавЛенЬIв видe рядoвФуpЬe:^,-.\-^--rnnrЧ " \ т] = 2 ' Ч a n e9tn=0rчастIloepeшeI]иeявляеTсявещeствeннoЙчaстьюслeдoвaтeЛьнo,кoМпЛeксныx'\'ol t'l.
, _ ЁпoэтoмуyPавнeниясистeMывo внеш.движениядиссипативнoйнeм пoле в линeйнoмпpибЛи,<eнииимеют видa . p i p + а " B i . + u . p ( p= Q " ( l )0ЗдecьQ:2т /T, T _ пepиoдфyнкций8o(')' пoстoявнaясoстaв.ляющая Qan п'o)l<етбьIть искЛюченапyтeM cдвига (B, Пoэтoмyoгpаничитьсясyммиpoваниeмoт n: l.дoстaтoчнoБудем искaтЬчастнoepeцIeниесистeмы(48.l) в видe вeЩe.ствeI]I.!ыx ЧaстeЙ кoMплексныхAзJJIJo-'n,.Z-1 A(лa) .Ёz-A"( лa)A'(.,a)^\na)^.|na|eнтаiДи:(^: _i'о).A()) : det l)2a@p+ )d"p + щpпoэтoMyoн Мoxет быть пpeдставленв видeA()) : 966111 -\r)()-)2)"'()-l"),1'1л|1|1p|1^:_xLn..A ( Ф ) = с 9 д g 1 1_, ' ' ; ( a _ u 2 ) ' ' ' ( a - a 2 " ) 'г д е . ' l , .
. . , ( r J 2 6_слeдoватeЛьнo,сoбствeнныe кoмплeксньIe чaстoTьl систеMы.Д(no) :66115; f{ (no)(48.3)(48.2)'(48.3)в ypавнeнияпoдстaвЛяядвиxения,пoлyчаeмси.стeмy a,lгeбраичeских yPавнeний дЛя кoмпЛeксных ,4an:oтсюдагдe A(no)(-n2Q2a-p - in0d.B + t.p)Ap. = Q...А""= ^"(na)/^(nл)'_(48.4)(48.5)oпpeделитeлЬ oдllopoднoй систе[4ьl ypавIle.ний (48,4)'A"(na) . oпpeдeлиTeль'пoЛученныйиз A(no) заменoйстoЛбцас нoмepoмo на сloЛбeцQ"" opaвoЙ.raсти(48-4).(48.7)ulr,).p:IЭтo выpа)l<eниeи кoмплексI{o-сoпpflкeннoeемy oпpeдеЛяютзависиMoсть знаменателeй в (48.6) oт частoт. дЛя каждoй пaрыкoмплекснo-сoпpя}l(eнныхчастoт up : уp _ i1p' a; = vp + i1pв фopмyле(48'7)_ с,;i): Фa_vp)2(na_ r,,'")(nn+1tr.ПoэтoМy,. т-т .t^lт):e-lлal- {486)oдIlopoд}loйсистемы(48.4)xаpактepистичeскийoпpедеЛитeЛькoэффици'явЛяеTсямнoгoчленoмстeпeни2s с дeйствитeльными(48.2)Q .
. = ;! J 1 8 " { i ) c " " ' d t t Q i , .= Q . . _ " t .д . - e ' , . . . - { @= l . , , , . s ) .2491.oле6aнuяduсcunаmuвнь|хcucne''в 48' Bb|нu'Фdеннь|е^''712A ( a ! 2 ) A . ( л l ? ) :l с o n s]t ( с o n сJ t l l | { л l l _ l , , д | - ! 1 ; l 'у=|,(48-6),нaхoдимчастнoe peшениеПoдставляяэтo выpажениeв(48'l)ypавненийчасти pяда,всe чЛeныв видe вeщeствeннoйзиаменатeли:кoтopoгoимeют вeщeствeнныea"(no)a'(no)с.(') : R" 'п=l (сonst)(сonst)*П | @ a _ v " ) 2 + ф u ] 2(48.8)pe1oна'нcaЕlаибoЛьuJyюaмплитyдy кoЛeбанийв Услoвnяхn-2onopяdкаимеетгаpмoника.для кoтopoйpeше&uns 49- Ilaсnpoенueасu.1'|n|nomuцес1.uхк Линeйнoй' в кoтoрoй мoгyт вoз6y)KдатЬсяoДI]oмеpныeKoЛeба'ния! Moxeт бЬ]ть представлeнo B видeГлaвa 12IIвлиtlЕЙньIЕс +"frg:.qi€ ' 41.KoлЕБAниягдe 6 -с пoстoянI]oйампЛитyдoйтoчнo сЛабьIми,С poстoм наuальньrxвoзrv'yщенийpeшeния ли.yPавнeнийдвижeния бУдУт всe мeньшe сooTвeт.нeapизoванньIxствoваTьдействитeЛьнoсти,Пoявляeтсянeoбхoдимoстьyчeта бoЛее Bысoкиx степеней paзлo)кeнияфyI]кции Лагpаllжа, вIJeIIII]ихoбoбJе| нЬ|х си1 r pеLl]еЬ.]ЯнёЛинe;'Ь|r уpаB,]РPииДвrlкенияс заданнoй тoчнoстью,Линeйныe кoлебанияд'l]ятаких систeмMo)кнopассматривать в качeствe oснoвнoгo динамичeскoгo сoстo.яIJия'кoтoрoeвoзмyщaeтсяnнeЛинейньIмисилаMи),так' напpи.п{ep,фyнкцию Лагpанжа МaTeMатичeскoгoмаятника с !!1ассoиmИ !.л|1|1of1|'|(49,|)пpи нe сЛишкoм ooлЬrЦиxугЛaх oтклotlеIlияя oт пoлoженияpaвIJoвeсияФ: U мo)кнoзaМeнитьDазлo)кениeп|r = f,mPФ2|-зц, +!-g;en'(49.2)чтo экBиваЛeнтнo yчeту <нeлинeйнoйсиЛьI' - рз иЛи <.кyбичe.с(oй неЛинейi]oсти)в ypавнениидвижеI]иямаятника:Ф+Фв9:t.в,f@|,:glD,(49.5)( : o сos ф'l.
Cистeмьl, 6ли3кtre к линейIiьIм. двиxeние систeМЬI частиц в oкpeстнoсти l]oлo)кeния yст0Йчивoгo pавнoвeсия п{o)кетбЬIтЬ пpедстаBленo в видe ЛинейньIх кo"!eбаний' есЛи IlачалЬнЬIeв o з м y щ e н и я с и с т е M ь I м а л Ь I , a в н e ш J I { и ес и Л ы я в ' ' ] я ю т с я д o с т а .tl!]lсo. D'силoй>шfr€ 'с <вoзвpащающeйпo сpaвнеt{ию2. lvlетoд кpьIлoвa-БoгoлIodoва. УравIteI]иедBи)reния0сцилля(49,4)пpи € : 0 свoдитсяк ypавt]ениюгаpмoниЧескoг0будутгаPМoническиI'lи:тopa'ПoэтoMyпpи e:0 кoлeбанияs49.
пoстpoениe aсиМптoтичeскпх peцIенийдля слaбorreЛинeйпьIх систeпlметoдoм KpьIлoвa_Бoгoлro6oваoII,l b.(49.4)паPаMеTр' ввeдeнньIй дЛя yчe'Га п{алoсти <нeЛинейнorjсиЛы'€ 8 (€ , € )l _251(4s.3)Pазлoxeниe (49'2) имeет сМЬIсЛ!есЛи l]осЛед!{ееслагaемoeв (49 2) мЬогo ]VрPЬшeпpеДo,дуL]lрo или не"гичрilаЯ сиЛа.в пpавoйчасTи (49,3)3начиTeлЬнo'eno'"r,-'fiр,Э т o o б ц е е . в o и . - в o с / с ' е v . 6 з и r < ; х к i y н р y ч ь t v 'и л и с л а .бoнеЛинейнЬIxсисTeм, Уpавнeниe Дви>кeниясистeмы' близкoй(49.6)ri:0и paвнoмepнo вращaющeйся фазoй(49.7)ф:'o.(e f 0) привolитк пoяв.вoзп{yщeнияHалиЧиeнeлинeйнoгoЛению кpатньIx гармol{ик' зависиМoсти ЧaсToтЬI0т амплиTУдьlи п'o)кeт вызватЬ систeмаTическoe vвеЛичениe или yмeньjllениеампЛитудьl кoЛeбaний в зависимoсTи 0т yвеЛичeния или рaссеЯ.|.1я э10p-ц|1 .а сче,l д'ри(.вия вoзvvшаюLLихсr1бyдeмискатЬpeшeниеУpавнeния(49,4)в видeУЧиIЬ|вая э,o.) ...
.1 е { l ( o , ф+) u 2 t э h ' ф+4 : a с o s r++'ф : 'o + € Q 1(")+ € 2 ,')2(a)....tl': € l ]Q') + € . f2h) +(49.8)(49.10)oснoвнaя гаpмoникa неЛивeйных кoлeбанийЗдесь aсosф(фyнкции € ( o'ф))' a _ пoлная aМпЛиTyдаoснoвнoЙгарМoникипo ф фyнкции,сoдepx(ациeпeриoдичeскиeкoлебания;(а(a,ф)высшиe гаpмollики.так Чтo кoэффициeнтыФypьe этих фyнкцийпpи smu и сosp paвньI:lГ.. сoЬфI t-" t o , r t l, dф : 0srn +,n I0(49,ll)пpавая часTьypaвнeния(49'l0) для aмпЛитyдьIa нe зaвиситдля кoнсеpвативньlхoT фазьI ф, 3ависимoсть l" oт l|l -.'0,сисTeм oзначаЛa бЬI зaвисиMoстъ аiипЛитyдьI oT вpeМeни' Чтoпрoтивopeчит o6щeй Teoрии oднoмеpljoгo финиTнoгo двихeния'сoглaснo кoтopoй a : сonst, B o6щeм слyuae амплитyда a некoll252Глава |2, l1е/1ut|еiнь|екo'1е6aнuяs 49, Iloсmpoенuеасuмnmonuческ'uхpеIuеI|uiсeрвативIloЙсистeмьIи3l{eняeтсясo вpемeнемMедЛеннoпoд дeй.ствиeМMаJoйнeлинeйнoйсилЬlгQ({'{), Твк как ((a,ф) _ пеpи.oдическаязна"""u" мoш"oс,, .(q1ц.4;фyнкцияir'' мгнoвeннoрэTих сил будет так)кe пepиoдичeскoйфyнкuией 1l или 6ьrсipooсциллиpyющeЙфyнкциeйвpeмeни'3a вpeМят' в тeчeниeкoтopoгoаМпЛитyдaпoЛyчиткoнечнoeпpиpaщeние,вкладв сDед.неe значeниeмoщнoсГиoт ee быстpooсциJlлиpуюшихгаpмoниквидaФ(a)сo6nф, Ф(a)sinnфj1 [.,.][':""') ,, = Ф(o).J\ s r ni ] р /'li.]J'i'#.Мoднoс.итать']аhиvoбPаJov,"J"l;""";ния.(49.!0)явЛяeтсяампJlитyдь|o,фyнкциейгoJькo6удeт малЬ|[t вслeдсlвие малoсти llI]o)HайдeMф'yнкции€ , (a'ф,l.."(a)' l^pl' пкне' чтo ypaвнeниядвижeния(49'4)6удутvдoвлетвopятьсяв зада|JнoмпoPядкeпo.,ДиффеpeнIrиpуяi49.8) .]o вpevе,]ии сoхpаняятo1Ькoпepвы;пoрядoкп0 € .
пoЛyчим€ - а с o s u _ о + i s i n u .(u, 3 ' ' , , ' '' Ъ , '(49,12)'\ od)Пoдставляяcюм d' ф из (49,9)' (49,10)'нахoдиМс тoй )кeтoЧIl0стью.i _ _n..j6sint' _ oе".,,1sill U +./l сosLr_ ('o.3!Aналoгиянoпoлyваeм..,.on,,,'i _ .с.,,{.osu _ 2.16с11sint' 2oэ9с..,,1сo'" '.,o,?jсj *..сЛедoвaтеЛЬнo.лeваячaсTьуpавнeния(49,4)paвнаr12r,€ + a 6 € : ы 6 Е" l # + € l l _\ vq-.(49.l4)\'/_ 2ua€ l | siлф- 2o'')oЕ('lсosФ+.'', (49.l5)Пpавyюuастьypавнения(49.4)так)кeнeoбхoдимoпpeдстаaитьв видеpядапo степeнямЕ' пoЛyчимеQG'1): еQ@cosф' oa;оsinф)*IIr+.'or'0sin ф)€ lfelto"o.0,,+ Q!(oсos ф' _or"1sinф) х25зх ( oo1sinr/+11сo",-*ffi)]+ . .
. . ( 4 91. 6 )Kа)кдый кoэффициeнтэтoгo pяда пo стеnеняit € oказыва.еTся пepиoдичeскoйкoэффициeнтЬlфyнкциeйф' ПpиpавниваяЛpиoдинакoвЬIхсTeIlенях€ в (a9'l5)' (a9,16)'пpиxoдиMк ypавнeвиям для с"(a'ф), Этa прoцeдypaпoлyчeнияypавt]евIdйнесoдepxит пpинципиальныхтpyднoстeй,нo сoпрoвo)кдаeтсябыст.pьlMyслo)кнeниеIttфopмyЛ.B пeрвoмпopяд(е пo Е мьl пpихoдиМк ypавнeниюдля {1(a,ф):- 0z l i f \\'Й. -\1-<l/:= 2|noJIsiт\1|)сosф + 8(oсosФ, _riu,osin ф), (49,l7)+ 2аL,JО|llnнeЛинейнаясиЛа' Q(€ ' € ) - заданнаяв (49,4) фyнкuия,Следoватeльнo,Q(aсrrsф, ar"'osinr/,')_ известнаяпеpиoдическаяв видeрядаФypЬeфyнкцияфазыФ и ee мoжнoпредставитьsnrф) : !Q(o сosф, _ar,,'pn=0[o''(a)siп лф + 6.(o)сos nu](49.18)с извeстIlымикoэффициентамиФypьe on(a), B"(a). Таким oбpазoм,yравнeниe(49.l7) явЛяетсяypаBнeниeмс пepиoдическoйпpав0ичастьюи eгo рeшeниемo)кнoискать в видe pяда€ 1 t а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
