Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 41
Текст из файла (страница 41)
, . o J о s i n U ) - Y ! t g 0 " o а 2 с o ' 2 , LI4l2,,2_o'J\,oJоsinU+ 12oз-,j..n3u, t50'lll19"3,"Pазлoxениe Фypьe фyнкций сos2ф, cosз ф, sinз ф lается фopму.лаМи эЛемeнтаpнoЙматeмаTики:принимaявo вниманиeфopмyЛы(50'2)'(50,4)и ввoдяoбoзнаЧeнЙя'2o:!"o"o*,х,: +_Ч'1so'o;*,=Щ1.(},(50.7)3асos? -tIт^,сos Jи'262кoлебaнuяГлава 12-I1елuнеi||ьlеsinJu=;sinUs 50, AвmoI.oJ|е6анuя;sinзР.пoэтoмy кoэффициeнтыeal(с), ept(o) pазлФкeнияв pяд Фypьефункции(50,ll) pавlrы3...ot(o)= _12с"с'6\ Ia{,0.aмпЛитyдаи фазa как фyнкции времениoпpедесЛедoватeЛЬнo'ляются уpавнeнияI!1иou\l /,I- Й € о 1 \-o.
1 ': . ' _Т'з]to'.R),-ц''еBl|rl\(50,12)/ 'o2 \I6,.l.(50.13)виднo,чтo сyщeствyетиз ypавнeния(50.l2) непoсpедственнoaвmoкoLебaнuя,r|pикoтopoмамтl.литyдатакoйpе)кимкoЛебанnЙ'стаuиoнapнa'd :0' и нe зэвllсит oт назальныхyслoвий,KваilpатампЛитyдыавтoкoлебанийpавeн4,:+(,_#)lla;, = ;_-:.J{,r6y2пyсть тeпepь d _ ofкЛoнeвиe a]YгlлитуДыa oтaвToкoлeбaний a6' t6] <<oq' Пoлorким в ypавнeнии: oо+ 6.
пoлуЧим(50.l4)амлЛитyды(50.12)o =г'l.;_щf r'[r_ff,d.,а*zм,'-, Iт#Ф:i^|{,|-i'"'гДe ,'oтlloц]eние ампЛитyдьl o(t) к амплитyдe автoкoлебаниЙ а41,C _ пoстoяннaяинтегpиpoвaния.B oблaсти o(l) < a6,(50'17)пpивoдитсяилиx, < |' фopмyлак виду" 2 --"II +c"-\'t(50.15)таким oбpазoNl,если yслoвие (50.9) выпoлненo,11 > 0, тoyбываютмаЛыеoтклoнeния6 ампЛи1yдыoт oo экспoнeнциаЛьнoyстoйчивы.сo вpeмeнeми aвтoкoЛебaниямаятникалpи кolrечных|a_ d0|дaетсяфop.закoндви)кeния=свoдится(49,28):a(')сoвф(t)'и егo oпpeдеЛeниемyлoй€ ( ,)(50.l8)BыбеРеl,tначаЛo oтсчeта вPeмeни в Мoмeнт' кoгда аMплитудаpавва o(0). Тoгда пoстoяннаяC 6уДeт связaна с a(0) фopмy.лoй (50.18)' в кoтopoйследyeтпoлФкить':0.
Такoмy наuаль.нolvlyyсЛoвиюсooтвeтствyeтpeшeниe-.2:"вr*(-*-r)-.,(50.19)Из (50.19) виднo, чтo ампЛитyдаa стPемитсяк o0 пpи * -+.+ cо; этo сooтветствyeтвыxoдy фазoвoйкривoй кoлe6анийнапрeдеЛьный циKЛ и3 oбласти маЛьlх амплитyд.B oбластиo(t) 2 аg, или cz > l, фopмyлa(50.17)пpивoдитсяк видy|- Cдля дoстатoчнo мальrх 6' |d| <<сo' в гlpавoй части-oэтoгoсoдepжащимиd. и 0"'ypавнеt|иямo)кнoпpене6peчьсЛагаемыl.iи'ислo,1ЬзУятакxe выpа)tениe(50,l4)' лoлуuим6: _Хrd.(50.16)Pа3дeЛяяв нeм пepeмeнныeи интeгPиpyя,пoлyчим)\'ф:''0_тй="0\l.(50.12),ypавнeний(50'l3),Уpавнeние(50.12)к peшeниюмФкнoв видeпpeдставить(50.17)I ^"еB'|о\ = |а3'l/'26з(50.20)"-*',ПoстoяннаяинтeгpиpoванияC cьязaнac наЧальнoйампли.тудoй d(0) в этoй 06ласти сooтtlolljениeмё _ | _ to,olfl|q).Cлeдoватeльнo'eсJи t|ачальнoeсoстoяниесooтвeгствyeтoбЛастиaмпЛитyд,пpeвыlrающихамплитyдy автoкoЛебаний(50.14)' тoo(t) yбываeтс течeниeмвременипo зaкoнy-2l_\'lа,(o)-jLJe(50.21)фазoваятpаeктopиякoЛебанийпPи t _) оо выхoдит!lа пpeдeль.ньlй цикл, a(t) + o6, сo стopoныбoЛьшихампЛитyд,264jneняющu'|uсяnа'pамеmpЙrus 51, сucnемь| с Ji,еa'1ен||oГ|aва 12, Hелuнеliныe кo,nе6а||uявыра.мo)кнoвычисЛитЬпoслeпoдстанoвкиФазУ кoЛe6аний(50.l3)и интeгpиpoвания)кeний(50.l9),(50,21)в yравнeниeпoЛyчellнoгo уpавнения.
B uастнoсти, в 06ласти @(t) < a0 бУДeмип4eтЬф:Co+oot_#l""alo,:dt:"0*r.,#Jr+(+ rJ"-',/^2,^2',,.^2 |t^2\lЗдeсь пoстoянную иIlтегpиpoвaния C0 слeдyeт вьIpазиTьчеpe3нauaльнyюфазyф(0)'oкoнчатeльнo^2\_ |:oZ,n",,P,r (l ф.).-''. . ',o,,,]oYlaба6 /\B oбЛaсTиo(,) > ф зависимoсть фазьI oт вpel'Ieнибyдeтoпрeделятьсятoй )кe фoрмyлoй (50,23), если пoд Ф(0)' o(0)нaЧальнoeсoстoяниев эToй oбласти'пoдразyмеваeтся$ 5l. CистeмьI с МeдлellЕo меняющпмlrсa пapaМeтpaми.Aдпaбaти.rескиеинвapиaнтьrсoвeprпающаяKoЛeбания,пIo)кетнa.мeхaничeская систelt1а,хoдитьсяпoд вoздeйствиeмсиЛoвыxпoЛeйиЛи нестациoнaрныхсвязeй, в рeзультатeкoтopoгoфизическиeпapaMeтpьIсистeмы(Mасса'пoтeltциаЛьнаяэнеpгияи т.
п', мeдлeнн0мeняютсяна ин.тepваЛeвpеMeltипopядкaпеpиoдасoбствeнныxкoле6aний?. .цЛялю60ймeдЛeннoменяющeйсяфyнкциивpeМeни/(t) спpаведЛивoff..',МyЛ0йr:f,нG)ё,f,ъ611,uy1E'1,(51.2): ,q1.,q,11.ьt'1цfr|ur'lt1+(5r.3)Зависимoсть oт € пpавoй чaсти (5l,3) ввeдeнадoпoлнитeльI]oдляyЧeта вoзMo){(нoйсЛа60й диссипации в сисTеМe, Bвeдeм oбoзна.Чeния_ k1.11р1.т1''ft1т1ЕQt..€ .
€ / _ еФ(.'€ ' € ) , pLг),ypавнение(51,3) в виaeкoтopыеI]oзвoЛяютпpe'цставиTь+u,oФ: иiot(t ffiJt_IJeравeнствo,цля кoлизeствeннoй хaрaктepистики Медлel{нoстиизмeненияпapамeтpoв систeпlЬI yдoбнo ввeсти <l4едлeннoeвpeМя' т : € , .Тoгда функцию Лaгpаня<а системьl с oднoй стeпeнью св060дьI!|oжнo предсlавиIЬ в ohpесlнoсlи лoЛo,deнияpавьoaесияфop.ЛагpанжaиМeетвидслeдoвaтeлЬнo.Уpавнeниe\tl. (s0.22): Со+",о* - I )e-\(1_ d) f_l6зf]"|'+ {\ -a'(u),//265(51.1)тaк Чтo всегдa сущeствyeт MaлЬIйпаpaметp 6. XарaктеpнымпpимepoмсистеМыс мeдЛеннoмeняюциMся паpaметpoммoxeтсЛy}китьмaяTникс пepемeннoйдЛиtioйпoдвeса.(_"it,'с= "at'.с.t'- "t|=!,''''(5l,4lхаpaкTepнoм для ypавяeния кoлeбаний' бJIиз|<ихK ЛинейныМ,ищeп! peшeниe этoгo уpавнeция в видe( : oсosф * e€ l (т, a, ф) + € 2 с2(т'а',ф) -r...,a) + ...
'ф : .i,ok)+ с'(',а) + е2о2(т'i ' : € h i ' a ) + € 2 l 2 ( т ' а )+ . . ' ,(51.5)(51.6)(5t.7)ToгДазадаЧапoстpoeнияaсимптoтичeскихрeшeнийуpавIreния (5l,4) свoдитсяк oпpeдeлeниювидa фyнкций€ " с-(т'а'ф),ypавнее" J"j' a)' с.u|"(т,а) и пoсЛeдyющeМyинTегpиpoваниюний (51'6)'(5l.7) для фaзьlи аMплитyды'.цлясистемс нeиз'(49'l1),мeвI,tымипараMетpaМивЬIшeсфopMyлирoванoтpe6oвaниeв сooтвe.ствиис кoтopымoсoso voжнo .Uи.a.ь прPв0Йг2p.пIolrикoйфyнкции ((a'ф). Этo тpeбoваI.]иeМы сoхpаtlими длянoтeперьoнoмo)кeтвьIпoлненoЛишьбытЬфУнкцийс(т'a'ф)'пpибЛи)кeннo,на нeкoтopoMкoнeчIloмиI]теpвалeвpeмеIrи(0 << т < 7o). Нa этoм интeрвaлe2nt.^arldф= 0.l e'€ .
(т'o' ф) .,_.'].ь"'.2J0(51.8)266Глaвa 12' lteлuнеiные 1.oлeбaнuянайдeмфyнкции€ с |(т'a'ф)' сho'а), € u |(т,&). пoдставЛяя(5l.5)'(51.6)'(5l'7) в уpавнениe(5l.4)и сoxpаняявыра)кениятoЛьк0 пeрвыЙ пopядoK пo с' п0Лyчим,"в (#сosф+- o) : z,,oсf 1 slnф+ 2аInoсu.,1_aфos\т'ф)+ € Q (т ' (1сosф,+ еа# siт'ф+- ",-o"inф!-! p('). (51.9)Пеpиotияескуюпo ф фyнкцию Е8 мoжнo пpeдставитьв видepяда:}|е||яющuЛulэяnapa&еmpaЛus51- сuсneлы с еаленнopамeтpамидaeтся в пepвoмпpибЛи'(eниимeтoдаKpылoва-Бoгo.любoвафoрмyлoй(51,13)€: aсosф,(5l.l l)' (5l.l2)'peшенияypавнeнийсДea И фPешениезадачис тoчнoстьюдo € , ' 6o и т. п.
мo'кнo пoлyчить,(5l'5)' (51.6)'(5l.7) в yравнениe(5l.4)лoдстaвивpазлoжeнияи пpиpавнявкoэффициeнтыпри oдинакoвьlxстeпeнях6.oT сoстoянияPав..цля oцeнкиэвoлюцииMаЛыхoткЛoнel]ийпpибЛи)кениялинейныхнoвесиямoжeтoKазатьсядoстатoчным(5l.4)B тaкихслyvаяхeQ в правoйчaстиуpавненияк0ле6аний.:0,=(5l.ll)'(5l.l2),и Еole0l 0 в уpавненияхoтсyтсTвyеT(5l' l l) лeгкoинтeгpиpyeтся!и мьIнаxoдиМУpавнeниe!n=о[ г o , , ( la. )s i nл z l + € 4 . ( r . d ) с o sл Ф ] , ( 5 l 'I 0 )(51.9)тaкжеищeм в видeряда:Peшениеypaвнeния1 l ( т .
a 'r / r= r u o ( т ' dF) ,(51.14)_ сonst 'd,1t)",,,,g(i;д(/,)сQQ'acosф' a40sinф) :-[ r . ( т ' o } s i nn Й r r u n ( т . с ) с o s n й ] .B сooтвeтствиис фopмy"raми(51.8) злeсь пepваягаpмoникаoтсyтствyет.Этo oзяа.rаeт,чтo в гtpавoйsасти (5l'9) сyммыкoэффициeнтoвпpи siпФ и пpи сosф пo oтдельl]oстиpавнынyЛю.oтсюдa слeдуютдва уpавнениядля € , l и Еu,l:1t_ еa1+ro ;;,:(.u9p1г1) _0'2,,.lpеt1.!\т) aт2o!'oa4 + сp|(т,аJ:0.yPавнeниядля aмплитyдыи фазы иi',tеютвидCлeдoватeльнo,.|€od_(5l'l!)il _2""|,)p\оd'р"рG\).^'еol(т'o)I(5!.!2)l ' _ о o | т ITа'164€вl(т.а1'oцeнки пoгpeшнoстeйдля ампЛитyдЬIи фазы, пpивeдeнныeвыДjедля Физичeскихсистем с QиксиpoваннымипаpамeтРами'oстаются в Фiлe И ДJ|я систем с медлeннo изl\,!eнiющимися ла-pаметpаMинa иятеpваЛe0 ( т ( т6.
Пoэтoмy peшeниeзадачиo нeлинeйньIхкoЛебавияxсистeмс медЛeннoизмeняющимисяпа.26?энeргия систeмы с мeдЛeннo изменяющимися"_ с,; -паpамeтpами|t.r'll,+|ьу1a,(5r.15)нe сoхpаняeтся. Ho, как виднo из (5l,l4)' мoгут сyщeстBoватьoпpeдeлeнные кoмбинaции амплиTуды, частoты' паpамеTpoBси.сTeмыt кoтopыe изменяются сo вpeменeм Meдлeннее' чeм сaмипaрамeтpы системь!' rroлная пpoизвoдIlая пo вpeмeни oт такихкoм6инаций в l,]epвoмприбЛи)кeниимeтoдa кpьIЛoва-Бoгoлюбoваoбpащаeтся в нyЛь.
такиe велиqины назьlваются аouабamuче.скuJNu uнвapua&mai.u._or,,lo(т)sin ф'пoЛo)ким в фoрмyле (5l.l5) e = аcasф' € :пoлyчимE =*|,Q)",(t)'в(t).(51.16)oтсюда виднo, чтo aдиабатичeскийинвариаtlтпpeдставляeтс060й oтнorцениeэнeprии (5l,l5) системыс мeдлeннoизмe.I]яющиl4исяпаpамeтpaмив пpибЛиxенииЛинейныхкoлeбанийк чacтoтекoЛeбаний:Д(t)/u.,q(l): сoд31мaятникас мeдлeннoveняюЩeйсядли.для матeмaтинeскoгoн o й .l : l ( t ) ',^mt,1t'^mglчt1p2t 1р222-тaк нтop(t) : ml21t1И ф3G)= g/I(t\.AДиабaтинeскиминвapиан:.n"t(51.14),тoм,сoгласнoявляeтсяпpoизвeleниeo2(t)l3l,(t)=иЛи oтIlou]eниеэнepгиимаятникаEтnsl(t\а,(t)/2к чacтoтe 14(t).268в бьLcmpooсцuллupgющеЛno,nеs 52.
Двuxtсе||uеГ,Naва 12, IIе'|uней|!bIе Kaле6анuя$ 52. '(впя<eпие в бьrстpo oс-циллиpyroщoм пoЛe;динaМичeская стаoиЛи3aциянa:_afi+aG1).orn rl:\-г д eQ : 2 r / T ,a,@:;lfotn\ a-inlrt(52.3)П p е ц с т а в и vк o o p д и н а тqу в в и ц eq _ q _ 4 'Т]го,,r;+i\ :a!-g) ,0'u\4).аa , as2..(52.7)q'lqt -i"orn.\l.(52.8)DU(o\qo\a)a; +\-;("(52.4)_ мeдлeннoизмeняю!даясяфyнкция;(€ ) : 0.|lpи Q>> 2тlTn систeMa нe бyД'eтyспeвaть за быстpЬlмиoсци'lляцияMиQ вслeдствиeинеpциoнIloстисиcтeмы' и мorr<нoсЧитaть,чтo (L << ?|, B этoм слyЧаe пpавyю чaсTь ypaвненияв ряд пo стeпe.двюкeния (52.l) мorl(нoзамeнитьpазлo>кeниeмням {.
B пeрвoмпoрядкeпo { пoлyчимn / ; r -| x n a iчn\ч |ПoдстaвляяэTo выpa)кениeв ypавI]епиe(52.6),пpиxoдиMк урав.нeниюдля усpeдяellнoгoдви)кeния:гдеa = \ q ) : ;IIJ q ( t + т ) d ' тI \u Ц.рa:0\1'[lа интepвалeвpeмeнипopядкапeриoдa7 фyнкция? измeняeтся нeзначитeльнotи ypавнeниe(52'7) мo)кнoпpoинтeгpирoватЬ'считaяa пoстoяннoй.пoэтoмv(52.2)T|8(q,t)e''"'dt.F, ,s; -( 5 2!.)Пyсть Q(q't) _ пepиoдичeская пo пеpеMel]нoй ' фyнкцияс пeриoдoм 7, такиМ, чтo ? <<?0, где ?0 _ хаpаKтepный пeриoддви)кeния в пoлe./(q). Такая фyнKция Q(q',) Mo)кеTбЬIть пpeдставлeна pядoм Фypьe(о"al * сЩf) " i"o'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
