Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 45
Текст из файла (страница 45)
et \AFip.e,t)^-ч'н,p.Q.!\ _ Н'p'Q.!,(61.21)Aналoгичным пyтeм мoжет бьIтЬввeдellа пpoизвoдящая фyнкцияoт нoвЬ|x и стаpыx ип,lпyЛЬсoBд'4(p,P' t):Fa|p'P,t):q"dp"+ Q.dP" + (н - E).lt,{61.22)с пoмoщью?.1(p'P,t) канoниueскиепpeoбpазoваниямoгyт 6ЬIтьзaданы пo фoрMyлaМn"=o,,*:,'''o":o,'У{'')'н(p'P' t) : H (r)'P,t)- 94#!)i(61.23)2971, l еopе v а l,l |. в L,,1,1я' ! po вч o| D o Лац ва!1!1as 6цЛpиyслoвииd*жiЁ!(6r.24)(6l,2) кaнoниЧескoгoпpеoбpазoвaнияПoлньrйoпpeдeлитeлЬoтЛичeнoт нyЛя, ПoэToMуякoбианьr(61.l2), (6l'l8)' (6l'20)'(6l,24) нe paвнынyЛюoднoвpеMеннo'пpo.и всeгдасущeствyeткaнoничeскoгoпрeoбpазoBания,извoдяulаяфуHкцияпpеo6pазoваниймo'(нo пoЛyчитЬС пoмoщью(анoниЧeскихи бoЛeeпpoстыебoЛeenpoстoe вьIpа)кeниедЛя гамиЛьтoIJианаypавненияпpимeрaпpeoбразoванHайдeмв качeствeдви'кения,гармoниЧeскoгooсциЛлятopаньIйгами,'lьтoниaнн(Q,P.t) и зa'кoll дви)кeнияoсциЛЛятoPав пеpеМенныxQ, P, eсли исхoдныйв видегамиЛьтoниани пpoизвoдящаяфyнкЦиявыбрaньIН\ч'p,ll- p't2m2F ( q .Q \^n,*'"r2'l",,,,"d "eQ.(6l.1l)канo.Из фopмyлпoЛyчаeмфopмулыпpeoбpазoванияниЧeскихпepeмeнньIхaF,P: + : mtlqct'gQ'oq|ijlt^, I'"'''in'!Q2dQн\О.Рl--ap'-л.
г | Г , Q , l ):-L.|I|1\о'Рl_.'II-o' ^'n:,o,2m'22|^ r n : ! q Zt I l " ' у , , ]l - Г ^ ,УpавнeнЙя ГамилЬтolta в нoвЬIx пеpеNIеIlIlЬlx:Q : a н / о P: a ' P : _ a н l a Q : o 'ЛeгкoинтeгриpyюTся'и мьI IlахoдимР:где.ЕЕ/,i'Q:Qt+"''эLIepгияoсциллятopа,1' _ начaЛьнаяфаза'$ 62. Tеopема Лиувилля; ypaвЕeпиe Лиyвиллясoстoяrtиe систeМьI с s степeнями свoбoды гeoмeTpичeскиизoбpа)каeтсятo.rкoй в 2s.мepнoм пpoстрaнствe пеpeмен!{ЬIхq' p'сoвoкyпнoсть бoльшoгo чисЛа N (N + cо) нeBзaимoдeйствyю.щих физически To)кдeствeннЬlхсистeM с o,цнoйи Toй xe фyнкци.JIuцвuлля.!luцвuлля;apaвнeнuеs 62' Tеopема298 Главa l1, Ilpoщвoaящuе фцнкцuu!сaнaнuчеclсuхnpеoбpa1oвaнuieй ГамиЛЬтoнаH|ц,p'|) 6уДe.rИЗo6pа)катьсяв мoмeliтt набoрoмтoЧeк, oбРазyюrцих нeкoтopую oбласть в фазoвoм гlpoстpанствe.Tакая сoвoкупI]oсть на3ыBаеTсяа||са 116леI| Г u6бca, Koн цeпц|aяaнсаNlбЛeйпo3вoляетввeсти статистичeскиeидeи в динаI{икyмног0частичньIхсисTеNJ,oбoзt*а.lимЧеpе3 Г0 oбъем' залoЛнeпL|ыйизобраx(ающимитoЧками ансам6Ля в I]ачаЛьIJьIймoмel]т вpeMеIlи.Пpи oтoбpа.),(eнииa = q\qo'И't)' p: I|цo'po't)'(62.1)сoвпадаюLцeм с заl{0lloм дви)кeния систeмы' этoтoбъем преoбpа-зyетсяв oбъeмГ, так чтoГгI dqdР = | J(q'plqa'qл) tLqgtцlo,JJГГo(62.3):(62 1),якoбианпpeoбpазoванияBьlниcлиьlсl,Ifсl|.дЛя этoгo вeдемoбo3начeнияJ:2.
Q2:J[-'^'n r '12"\.,1\Z-'det a^,зl,(62.4)(62.5)PазЛo)кeниe oпpeдeЛитeЛя ./ пo Kакoltly-"1ибoстoлбцУ иЛистpoкe имеeт вид(62.6)гдe ./.'o_ aлгебраиЧeскиeдoпoлнeния,AЛгeбpаичесKoедoпo"1нe.нИe 'Jрo элеМe||Iaailo Llе ЗависиT oт il'l,d' Пoэ1o|rу dJ ldai" : Jв"'диффeрeнциpyяpавeпсTвo(62,5) лo вpeмени' пpинипlаявoвнипlанЙepaзложeниe(62,6) и ypавненияГамильтoна,нахoдим2sl , а ' , , , =Г ; . ' ' ; " ' - \ -l -r,.' 9 1' ' ' J r o to=|.Iпа1',|i'att ),"3 ) :0. \62.7)1\Оq.)t"(62.2)J : |, сЛeдo.т,е.
J : сorБt,Ho в Лeвoйчастиравeнстваватeльнo.гlpи всeх .unou'o'(62.8)lonoo:IгoгЛиувилляo сo.тeopемьrсoдep)каниeсoстaвЛяеTЭтo Dавeнствooбъeмaансам6ляГиббса,хpанiниифaзoвoгoэtзеpгииJ f 0, действитeЛЬнo'Для сисTеNс диссипациейс диссидЛя систeNlЬIв (62'7)ypавнениягallиЛьтoнaиспoЛьзyяJНUч., ч^' L' ' t l||,\:i|HiJр ',пpихoдим к ypaвIleниЮi _ , ,/ \ 1- (*."('rOtl L'i: Г\a,k#''u'u#,:'Ё*:il,и.p'' _ToгДа.l: а"t|{з|:| оa'- a,.\п а т и в I l ы i l и с и Л a NиI :1,3' p2 = ll.4 и т. д,' а так)кeUt"r\-(62.2)гдeai-,:2991:):',Г 0Qу) .(62.9)Уpавнениe (62,9) Jreгкo инTегpиpуeTся'если си!'lЬl тpенпрoпopциo!]aЛьньlскoрoстям взаиl'loдействуюпlих ч а с т и ц : F l: -tt.lvi (i = l'...
' Л)' Пoлyuиltr:I-, / 1 ] - -' / l i 0 1 c ч г { 3 ' / - / o I L l l ' , i л ' lti-=r)и'l=( 6 2l 0 )Фopмульl (62,9)' (62,l0) oпpeдеЛяютизмel]еl]иесo вpeпIеfleNlфазoвoгoo6ъeма ансaмбЛягиббсa систeMЬIчастиЦ за счeт дис.сипaции энepгии,ТeopeпrеЛиувилля tleтpyДнoЛpидaтьфopму ypавнeнияЛи.lttехаяи.ypавнениястатисTичeскoЙУвиЛЛя_ фyндамeнтальIloгo_вэлементeаtlсамблятoчеки3oбpа)кaющихчислoки. Пyсть d,\r- пЛoтнoсть изoбpaжаюulихфазoioгo o6ъeма dГ, Тoгла r (dГтoгo' ЧтoeсTь веpoятt]0стьтoчeк,a d^7Ndг =/] пo oпpeдeЛeнию30o ГLaва I4, [lpoш1odящuе фgнкцuu ]ссlнo|Iuческuхnpеo6p.13oванuiNjeханиЧeскaясистeМа иМeeткoopдинатЬ|и иМлуЛьсьIв dГ' TаKKaK Кa'lвДaя изoбpа'кaюЩая тoчкa дви)кeтся пo свoeйфaзoвoйтpаeкт0рии.кoтopаяне пepeсeкаeтсяс oсталЬ!lьlмитpаeкTopия.ми, чис'1oизoбражающихтoчeк.lN в мoмеIlтвpeмeниto тo же.Чтo и в ]\joMeнтl0 + At.
УчитьlваяTак)ке,чтo фазoвыйoбъeМ нeизме|]яетсяс тeчeниeмвpeмени,имeeм/dD\D L - I t | ' , o D h | r , d | , ', o ' s l = | o ' - ' , ' , ] |\аI^U,lсюдJ,tD-;|l'ы jаr'"J. U при любы\ /n,слeдoватe.]ььo' и в \lо!lен,llоD^ + D,H =0.(62.1l)Уpaвнeние(62.l1) ecTьцpавненuеЛugвuлля.Если функцияD('1,l].l\ t1,Bе..|P2.,o ]\Iакpo.\oпиЧe((r]ена6люцаevыe4 выvис.Ляются каK сpeдниe значeния сooтветствyющиxпlикрoскoпических фyнкuий .4(q,p):А:(62,|2\|А(q'p)D(Ir'p't)dqd],.наприМep.ЛpиA(s,p): н вeлининa,.l естьсpeдняяэнeoгиясисleмы,^Bеlининьt Т в свoю oнepeль oлредeЛяют аl.саNJ6ЛЬl и o o с а , U н с Г p o i ] , l ( я Г а < и I \ lo б р а з o м , Ч т o б ь I к а ж д а q и з с / с 1 e ма н с а м б Л я и м е Л а o д и I ] и т o т ж e н а б o p н а б Л ю д а e м Ь I xс p e д н и х ] ,движeниe системьlс s стeпeнямисвoбoдьIoirpедeляeтсяв ка.нoIlиЧeскихпеpeменных2s ypавI]rниямl2 " ( , ): p " ( q o r .
. . . , . / 0 " , , p 0pro, .".t,.),.(63.1)Пpи услoвии' Чтo эти ypавненияявЛяютсяoбpатимымиjиx trtoж.н0 pазpeшитЬ oтнoситeЛьнo l]ачальl.lьlхкoopдиl]ат и импyЛьсoви пpедставить в видeq o " : q o o \ q |... . , . ! , , p t ., . . , p " , t ) ,P o a - p o a \ q |.,. .
, q s , pr , . . . , p , , l ) .прoизвoдящаЯпpeoбpазoвания'дoлжнасущeствoваTьфyнкция'ме]oд oтЬ|сaаPия..(oй прoиJвoдяL]leйЕс. и буДетсфopмyЛиpоваr]функЦии и эта фyнкция бyдет найдeнa'Toгда заKoн дви)кения(63,l) пoЛучитсяпyтем лpoстoгoдиффеpeнциpoваt]ияпpoизвoдящейфvнкции,МЪтoд Гамильтoна як06и вкЛФ.rаeтв се6я фopNly'lиpoвкудвиже.уpавнeниядля прoизвoдящeйфyнкции,сooтветствyюlцeйI]ию систenlы'мeтoД peшeвия эToгo ypавнeнияи лpавилa пoлy.чения oбЩeгo peшeния Kанoничeскиxyравнeний ГамиЛьтoнaсnoNloщьюIJайденнoйпpoизвoдящeйфункции,1.
Уpавнеtlие гaмильтolrа_якoби. начальнь|е 3начeния qO'pо xанoниqeских пepeмeнньlхМoгyT п0являться лpи peшeнииypaвнeний движeния в pазЛичньlхкoМбинацияx:пoЛнoй эIlеp'- и J . к o N !o, l e ] . ч и н е т и ч e с к o Гмoo v F J | а с / с - е V ы и ' ' п У д o 6 н e р 'IloэтoМy,вМeстo(63,2)pассматриватьoбциe фopмyЛЬ|каI]oнических пDeoбDaзoваний:Q" = Q"k!.
.,q",pt, 'p"'t)'& , = P , , ( q , . . ., , ! " , p r , . ,. p. " .t ) .(63.3)и пoтPебoвать, чтoбьI rJ.'. P" быЛи пoстoянныrllи,eсли гаllиЛЬтoниан?l в вo.Этo тpeбoвавиебyдeт вьII]oлненo'вьIх пеpeмeнньIxQ' P буДе1лpoизвoЛьнoйфyнкциeй вpеМeни,дeйстBитeЛЬнo'в этoМ сЛyr]ae\ : _0Н/0Qр : 0:o'Qр : 01110Рри' следoвaтeльнo'$ 63. Мeтoд Гамильтoна-Якo6иq " ( t ) : q " ( q о | ' . . . ' q o " '1 l x | ,.
. . ' 1 l j " , t ) ,301s63 ^'lеnodГaaujьnoнo якo6u(6З'2)ФopмуЛьI (63,2) мo)кнo pассматpиватьв кaчeсTBeфopМУлка|Joническo..oпpPoбpа]oваPи"oт пeреMeннЬ|хi]. l' < лфeveн.ньlМ (0' I,jo,tlo ToгДадля них' как и для всякoгo канoничeскoгoQ":iЗ,''е,,=ou|t,''|Зp: ссlnst, p:l','',s)'(63,4)Так как пpибавлeниeK гамиЛЬтoниаI]Уфyнкции врeMенинe лpи.вoдит к изменeниюyравненийдви)кeния'п'o)кнoсчиTать вooбщe7l:0,ПуcIь E(q'p't) _ и3вестньIйгаlltильтoниансистe]\lьIи ]ilпpoизвoдящаяфyнкция,Тoгда пpeoбPазoванный|а : |'2'З'a)гамиЛЬ|oниан}1 6удeт связан с F/ фopNlyЛoйч: E +':,flpи ?l : 0 oтсюдаслeдyетyравнениеАllI]+:#:О'(63.5)в кoтopoМфyI]KциягамиЛьтoна1l дoлжна бьIть o т н е с е н а к T е мжe пepeмeнньlм,чтo и -дъ,БyДelr искать I|рoизвoдящyюфyнкцию в кЛассефyнкцийFz: Fzk, P'L), Taкие фyнкцииoпрeделяютк а | l 0 J .
] и ч е с к и eл p eoбразoванияпo фopМy']аrvl",,аГ' q.P,l\,,,1.o!.,a P-topn(63.6)30Зs 63, I,IеnodГaмалbnoнoЯь0бuз02 Г]aва |1, Лpou]вodящuе ф!нlcцl1u канoнuчес|iuх npео1pЙaвaнuli(63.10)нe бyдeтвЬlIIoлненo,yслoвиеoбpатиNloстиПoлнаяпpоиз.вoднаяпo вpеI{e|Jиoт s : s(q(f).o''t) paвнаdsi)silsатoтoQo.t t'.i.L.г]rе. - функцияЛагpанжа'oтсюдaобратимьIN1 при yс!'loвииd2F2k!,P,t)0q"0Pp(63.7)Тaк кaк ypавпениe (63'5) спрaвeд,lивoпри пoстоянньIxQ.(63,4)'тo {lyлкuия -F) дoллtнасодep)каl.Ьсяв неM в видеР,Г2k1' ,,, ' I1".P1' --- ' P"' t)|.=,' == S ( q r ,. . .
. 4 , ,o r , . . . , o " . t ) = S ( q .a , j ) .5:(63.8)!" : A:i/Aa,,(63.9)(63.10)oстаeтся сделатьзап{el.lyпepемeнньIхв гаМиЛЬToнианe1J пo(63,6)ипoлo)t(итьP,,: o,, Тaкaя зa\lellа свoдитсяфopмyлапtк пoдстаIloвкeимпyльсoв (63,9) в извeстнyю фyнкцию Гамиль.'|aнa I|q'!.t)ТaкиNJобрaзoпl,искoп!аяпрoизвoдящаяфyнкцияS(q, a, f) дoлжнa удoвЛеTвopятЬypавнeниюoj * uAS(n,, ' , " ' Й 'p " : p " ( q r ,. .
. , q . ,r r r ,. . . , t r , ,i ) ,3 " - 3 " ( q r , . . . .( 1 .a, r . - . . , . 1 " , t ) .#t:.,(63.11)Мы лaлуэилuцpaвне1111еГа]tu,|ьnона-Якoбu.пo вpeМeлив (63.l1) oтнoситсялишЬДиффeperrциPoвaниек явнoйзависимoстиS oт вpeмeни,Фyнкция S' как и всякаяд и r l а N l и . r e с к а яф у н к ц и я . с o д е р ) к и т т а к ) к е з a в и с и ] \ 4 o с ToЬт в p e N { e н илoсредствoIoбобщеннЬIхкoopдинaт:s : s(q(i),o' t).из вЬlвoдаypaвнeния(63,1l) сЛедуeттaк)кe'чтo динаMи.чeскаяфyнкцияs = s(q(r),.r't) являетcяnol|нbtмuнmеzpa!|o||yравI]енияГаr\1иЛЬтoнаякoби, т.e, сoдеp)китв качeствеаpгy.NlеIJтoв s пoстoяннЬIх oд, Ilи одна из пoстoяI]ньIх .:|д в пoлIlo]llи н т е г p а л с н e Л o Л x н a б ы т ь а д д и т и в н o й ' п o с к o л ь к y в э т o N ' Iс Л y ч а e(63.r2)(6З,t3)(63,10)пjo)кнoиз втopoйгрyппЬIyравнений(63.13)всЛедствиeHaйтИ(12S(q'а't)A(1,0o.,\-(o(i),n,i),пoлныйинTeгpалs иМееTсl\1ЬiсЛи' сЛедoватeЛЬнo'дeйствия'есЛикак фyнкцию кooPдинaти вpeмeнинa вepхI]емегo PасспlатриваТьпpeдeлеинтегpиpoвания,Якoби найдeн,интeгралурaвненияГаI'1и,,lЬToI]авсли пo"'lI]ый(63,9)в сooTвеTствиис фoрrvуJIаNlитo eгo диффepeнциpoваниегlpиводитк pезyльTатyФopмyльl лpeoбpазoваI]ияканoI]ичeскиx IIереМеIlньIх( 6 3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
