Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Г с . Г в и ис o п p е Д е л е н и е Мт o t l е ч t l о й I l а с т и ц ь ] ( N l а т e р и а л ь н o йт o ч к и ) к а к l i a с T и | L Ь Iс р a с п p e ,,е'F, JF1l !а\,,,Ь|,/, ''\гrId(г+1],:Ij ' r 't г , / li,]\(r t)\_^z-lq '|а.и\lеevl l. г l/) -\rг),г ' ( i) ) l / , ' € : ]( .",-. ,,1. ',,,'у ./г),|Г Ф\\f'тl:^1 1 . ; l ri ) :l\'(г ll2r-lрДtrlt,|Ьon(65.4)- r i ( / ) ) ,' iq , ( 6 5 . 5 )=i I r'"'аt*с,\ r,l^ fr-lj , , ' ( г .
t )= i||lii,,,=- | !с,а(т+€r '\ (r'r)) _ , , , , ' ' 1 1=1i(65.7)=1Ё',,",t,rт;r",t.',1-,=lr , ( r ) ) 1 3 { .( 6 5 . 6 )| !"'.";(t)а(г+€ r,(t))rЁ€'i=llг-\вooбщe дЛя Любoй аддитивrloйДиllaNlи.|ескoйфyнкuии 1;(l)мo)кет быть указаI]a сooтветствylal]Jaя no'|lеnая duнамuцеcкiяl.lIL] .t}opмул(65'2)'(65,3):,,,";],,)I,(/))где €P а r : l и у с . в e к т o р с н а ч а " . i o i ! Jв п P o с т P а в с т в с н н o Й т o , { .гиllтегpирoвaIlие pаспPoстpаl{яется Ilа всIo тpехlllеpнуюкеиA(r), П о : J т o м y с п p а в е д Л и в Ь Jс Л е д y | o l ц и e п p е д с т а в л е н и яoбЛастЬ.\'(r.r)f ",, ;,.,1.,r1=+t.,",(/). (6s2)(65.3)\'1r)'oпpелe'rеrrия(65,2)'(65'3) иNlеloтясIioефизиЧeскoeсoдеp)ка.N(../)п r . ' j 1 , , .
1 ( r ' t1) '=Lние, oj1llакo в l(аtleстве веРхнегo пpедеЛа суllll\tирoвания в этиoпpеделellиЯ 11хoдит пеpеl\!е,lнoе чис.no частиll .\.(г.1), этo пpeпятствует их испo.]]ьзoванию сoвltIестнo с Уpавlleния]llи дви)ке-киliетиЧeскaЯэнeргия.c)(т',)' :,,]екTpи'Iсскийзаpяд p.",1г,t;'эi1eктричсскиЙ тoк ./(.)(г.t)' прихoдя|циеся на единицy o6ъеNlаo б Л а с т и A ( г ) ' 6 y д у т p а в нЬ i315| L.'",tttli.,ri"1;-tl €г,ll))l'€,(65.8)I316Ihaва 15, кaнnuнуальные меnodьl duнамuкu,,.$ 65, IIarcвые duнaмu'|есfiueфgнкцuu3t7мo)кнo!пpeдставивЛeвoгopавeнствaв спpаведЛивoсTиУбeдитЬсяинтeгралаФуpьe:ввидeя(т,t)N(r.r),.N(659).
с _ r i ( t ) ) d 3(€ ,6 5 ' l 0 )D r ' ( t )= i- | ! х ; о (+'=l^iо'=,Kа)<даяиз пoлевЬIхфункций (65,5)-(65'l0)пpeдставляeтсoбoй пpoинтегpирoваннyюпo oбЛaстиЬ(r\ мuкpocкanuw(^yю плoIнoс]ЬaАДv'|иBнoЙ(истe.фиJи.ескoйхаpактрpис|ики]\jЬ|'oпpeдеЛeI]нyювo всемпр0странствeB видejlг.IJ:)\,0|т-г'l.l|,(65.П)B частнoсти. пr1oтнoстьчисла uастиu (кoвueнтpаuия)?l(г',) : N(г.l)/A пoлучаeтсяпyтем интeгpирoваI]ияпo A(г)и дeЛeниЯна oбъeNlA pаспpeдeЛениячастиц'6(r, ( .
'/ ): ir"Nгi(')):| !а1"+6_";р;1а3€:N(т'O/A, (65,l2)A(г)t=1Плoтнoстькинeтичeскoйэнepгии(65.9)eсть pезyльтатинтeгpи.poванияпo A(r) и дeЛeнияна ^ Микpoскoпическoйплoтнoсти'(",l..,:(t)/2)d(.,,.,r'(.)) и T,л, Фyнкции (65,5)_(65.I0)oблада.t=lюT вa)кныI!1физичeским свойствoМ;интeграЛь1oт них пo всe.Му пpoстраtlствудают глoбаЛьвьleфизичесKиеxарактеpистикисистeмы _ чисЛo частиц, массy' зapяд, ипlпyЛьс,пoлнЬIйэЛeк.тpичeский Toк' кинеTиЧескyюэнергию сисTеМЬlи т. п', котopьIeoпpeдeЛяюткoJ'Iичeствeннoсистемy Частиц в кЛассическoйдина.микe, дeйствитеJ,]Ьнo,имeeт п|eстoфopмyла(65.l3)где ,(г.t) oпpeделeнав (65,ll).
Пpавoe paвeнствoв (65,I3)непoсpeдственl]oсЛeдyeтиз (65'll) и oпpeдeлeнияri.фyнкции.lГ 'L"o;I'rr'.k./'dJ,(Тoгда:tt",,)#ФI o з' J.[ , 7 з д - . 1 ц , . 1 " . :к L . * € rJ_:гдеIfId. " r' .r , ( k ) " , k " . ( k . / r .1 6 5 . t 4 )(2т1з,1^1' и 1- . j |AJ ",к(,1.1(65,15'alrlФурьe.oбpаз пoЛeвoйдиtlаМичeскoйфyнкции 1(k.l) равен'как этo виднo из (65.14).фypьe.oбpазyсooтвeтствyющeгoIlик.на ^(k)ipасгIpeдeЛeния9'(k',)' yМнo)кеннoNiyрoскoличeсKoгo(65,16)r(k.
t) : я(k.t) д (k).oбе чaсти(65.14)пo всeмyпрoстpанству.пpoинтeгpируeмПoлуuимtr0\pro'l]| \tr./]dи|dlkI lk'l|k./,'J,('_JJ^г-' ''' Jтo'10] _ l,и д o к а l ы в а е lp а в е нHoJ(0,,] ,]1.lr-!),!у,ства (65,l3). ГлoбаЛЬныeфизичeскиeхаpактepистикисистeмьI'пpи пoмoци гloЛевыхди!]аntичeскихвьlчисЛeнньIeфункций пopeзультатапlивы(65,l2)'с(65.5)_(65,l0)'сoвпадаютфoрМyлам, n с л e н и йл p и . l o v o щ им и K p o с к o п и Ч е с криахс l l p е а е л е r r и й ,Значeния функций (65.5)-(65,l0)' (65.12) зaвисят oт вь160pа A, B !аЛ.чe;LreNlмы будev пoЛа.ать,чтo дJlя!аЬнoЙ систеNlЬt{астици задаI]ньIхинтepваЛoвизI{ененияфизичeскихyсЛoвииoкpeстнoсть A(г) мo>кeт быть выбрана такoй, чтo в нeй с0yсЛoвияхдeD)китсядoсTaтoчнoмнoгo частиц.
Пpи tloрмаЛьнЬIx9 см3 бYдeт нахoдиться- l0l0 мoлeкyл газа,A10в ЬбъeмeТoгlапpиpашeния!n(г+ с.t) _ n(r't)|пpи!с|> 0 будyт.MалыМипo сpавнеt]июс тr(г,i), и пЛoтнoстьчисЛа частиц n(г,t) мoжн0считатЬгладкoйфункциeй'Этo yсЛoвиeввoдитoгpaничениена Aснизy. 1vlы бyдeM считатЬ тaк)кe.
чтo "lинeйньIe pазмepы oбЛа..'" i\(";.диaмeтp сфеpиЧeскoйoкpестнoсти'выбраньl"anp"'up318Г, nвoII 5 l|o\ fl u " ца Jt ьI,IDI?'1Р n ooьt du P а'| u <u,,,меньшиMи хapактepньIх Mасштабoв кoЛЛeктивнЬlх физичeскихявЛellий. таких как длиllа звукoвoй вoЛньlo6ърN A oб.1асти Alг), 'дoвЛe,]вopяr'ции укаl.нньlv двумyсЛoвияпj' назЬIвается фuЗuцес]|,u 6еc1<oнечнo .|||а!lblt|'B o.ГJ|Йч|1еo т б е с к o н e ч н o N l а л Ь I хo б ъ e м o в ' д Л я K o т o p Ь l х н e с y щ e с T в y е т o г p а н и ч е н и Й с I ] и з у и н а к o т o p ь l х п p e д п o Л а г а e т с яс п p а в е д Л и B o й N l е х а никa llатepиаЛЬньlх тoчек, ФизичeсKи бeскoнeчнo маль]й oбъемс Л y ) к и т y I { и в e p с а Л ь н Ь I l lиl н с т р y п 1 e н т o м в в е д e н и я п ' а к p o м а с ш T а .6 0 в в ф L J и ч е с к o v 1 р o с - р a ч с ' в е , H а ] ! . d к o o ч а с t l г а 6 а хг р o Я в Л я ю г .ся кoЛлeктивныe физиЧeские xаpактeристики часTиц, l1pичиннo.с Л e д с т в e н н ы e с в я з и ] ! l е ж д y I ] и | ! l ии и х в p e м e н I ] а яэ в o Л ю ц и я ,гlачальныe знаЧeния пoлeвых динамиqесllих функций oднo.з н a ч н o o п p е д e л я ю т с я я а ч а л ь н ь l м с o с T o я н и e ] \ 1с и с т е м Ь | Ч а с т и ц 'т ' e ' н а б o р o N lт 1 ( 0 ) ' v ; ( 0 ) , T а к ч т o н а ч а л ь н ь I е з н а ч e I J и ял л o т н o с т иl t l а с с ы .
и N l п у J ' l ь с ак, и н e T и ч e с к o Й э н e p г и и p а в н ь lp ( - ) ( r ' 0:)тj 1 - 1 ( г , 0 ): nмикpoскoпи.часTицне бyдeт вoвсe-Этoпtyслyvаю сooтвеTствyетчeскаяплoтн0стьltlассьl(65.18)ПpедставЛеtlиятoчечных Частиц как частиц с pаспрeдeлeния]!1ипlассЬ|,pавньrмиrlr;d(r_ r;(t))' вмeстe с прe'цставлeниeMдиффереIrциaлЬнЬlхYравнellийдвижeния в ви'цеoбЬIкнoвeннЬ|хyравнeний (65'1) пpивoдят,как Лeгкo видeтьt к фopNlyлиpoвкeкnассиЧeскoидинамики в частньIхпр0извoднь|x,$ 66. Уpaвнепиe вепpepьtвнoстидиффеpенциPyяпo вpeМeнипЛoтнoстЬlllассы(65,5):г'(0))d3{,l '"l'.'(г+сaf.)':'lfP ( .
, 1 ( r ' t l :Arг\319неnpеpывнaсmu$ 66' Уpaвненuе(66.r)Is(г)IloЛУчим- l " l ( 0 ) 6 ( . + € _ г i ( 0 ) )d 3 1 '| 'a(r)'-'t ) | Р ( m ) \ r ' т ) :ijI,";^..с t \ l | t d€ ,{66,2lтак как,1i(.,0):*Ja(")\-aio("lolАlr!l./nll,lJ._ с - г , l / ) ). . v , ( ' ] v d ( .r с _ г ; l / ) )_: _v(vi(t)6(r + €.i A-R- .I 7 )Числo aддитивньtх' иМeюrцих физичeскoe сoдepжаниe фyнкций для систe]\jьIиз N частиц знaЧитeЛьнoмeнЬше 6N- Пoэтoмy Микp0скoпичeск0еlJачаЛЬнoесoстoя}]иeнe п{oжет6ытЬвoссTанoвЛeн0пo начаЛЬl.lЬIпIзначеl]ия!tпoлевЬIхдиI]амиЧeскиxoпpeдеЛeннollyнабopyзначeнийтаких фунKций в мo.фyнкций.мeнт .
сooтвeтствyeт бескoнечIlo lttнoгoItIикpoскoпиЧeскихсoстo.яний г'(t)' vi(f)' ансап{бЛьГиббса.Пpи фиксирoваннoп{т и A+0в oбЛасти интeгDиDoва.ния A(r) мo>кетoкaзаTьсятoлькo oдllа тoчeчная Частица иЛиrl(t))). (66,3)тoл\|:pl-l(г.i)+vo|^ |АJa(rlj .
? l , u , ' , ' а l . n с . r , { / ) ) d { {. 0 , { 6 6 , 4 lс (65'7)Ho в сooтветствииI_г-]--_ г,Q))a3{ = j1,''1(т,l)l L m l v ' ( / ) а+( r€З2oГ]tавo l5, Koцnuнgo/|ьнь|е меnodd du|]а'!u\unu$ 66. Уpавненuенеnpеpb|внoceсTьпЛoтнoстЬ(иt.lтегралгloтoкаи]vпyлЬсаoт j(,L)(г,')пo всемynp0сTраIrсTBypавeIlI]oЛнo]!1yиMЛyЛьсyсис1eмь'.
и мьl пpихoдимк ypавнeниюI]епpepывн0сти0Ро'l(66,5)-divj'." /г,/)=0lГИз фopмyл(65.7)' (65.5)и oпpeделeнияскopoстицeвтpaмассv(r,t) частицoб'1астиA(r) иМeeмсooтнoшeниeoпpeдeляeтсямасс Частиц,гlpихoдяцихв этoт oбъeM'разt]oсTьюj1.1dS < о' и лoкидающих oбъeм И, j1,,.1dS> 0. Эта фopмyлаoбычнo испoльзуeтся в кaчeстве исхoднoй пpи фeнoмеtloЛoгичeск0п!п0стpoеIJииypавнeI]иянeпpеpывн0сти'Пoтoки часTиц вьlзьlваюTсясиЛoвьIмипoляМи' гpаДиeнтамидавЛения.гpадиeвтaмикoнцeнтpаций'B тeх сЛучаях,кoгда пЛoт.нoсть пoтoкa частиц 0прeдeлeнi]0гoсopта пpoпopциoналЬнагpадиeнтy Koнцентpации(закoнA, Фикa)'.
N{r.t)jr.r(,'i ):"j1"1(r,t):п , v , ( 1 ):)lr\v(r'i ) ).l л " - p t , , ' , ( r . i ) v ( г ' l ) '( 6 6 6 )+ l ; . ' 1 д , , , , ,t "111=. o '(66.7)УравнeниянeпpepьIвнoстиuисЛанастиЦrt(г,t)дЛяпЛoтнoстии o л o T н o с T и э r 1 е к т p и ч e с к o г oз а p я д а p { . ) ( г ' . ) п o r 1 y ч а ю т с я а I ] а Л o .гиuнo (66,5)диффeрeнЦиpoваниеМoпрiдeлений(65,l2)' (65.6)'Эти ypавненияиMеютвид0n(66.8)+ d i v j ( . ): 0 'аtоo|"\(66.9)-;+divi(.):0.3дeсЬj(.,) плoтнoстьэлeктpиЧeскoгoтoкa (65,8);Ij.,'lг.i) -._г.]j-I L".tilа(.ri'1 '=tг'll))dJ4|(-(66.10)IlЛoтнoсTЬ п0т0кa чис?']ачaстиц'Интeгpирyя ypавнeния нeпpеpывнoсTи(66.7) pади oпpедe.Лeннoсти пo лp0извoльн0мyнeлoдви)кн0MyмакpoскoпиЧeскoмyoб.ему y. oгpа|'иЧedЬovупoвPp^нoс,lью5. и ис.oЛьзуяфooМvлvUстрoгpадскoгo-lаyсса' п0ЛyчимaГ":UIJIp',,''аv.vv|r| . ] i v j l , ' , | .
i-y_ ф j . , , ' d s .J(66.12)}:oа''1o1..'1v,1"'.11(66.13)и являeтсяypавнeниeмдиффyзии,этo ypавнeниепoлнoсTьюoпpедеЛяeтэвoлюцию плoтнoстЙчисла частиц, если извeстнЬlкoтoPoeЛoзвoЛяeт(66.5)в видепpeдставиTьypавнeниe}D(r.r)Vn(r,t),гдeD(г'') - кoэффициентypавнeниeнeпpepьIвнoстидиффy3ии,пpинимаeтвидN(r.r).321(66.1l)Jгде dS : ndS, n _ eдиничныйвeктoDвнeшвeйK 's нoDмаЛи./Vlывидим.чтo изМенениeмассьlв oбъeмey с тeueниемвpeмeниt ] а ч а л ь н Ь I eи г p а I l и ч н ы е y с л o в и я .Уравнениe (66'7) пIo)кIlo пpeДставитЬ в видe(! +r)v) l1-1 : _p(m)сtivv(г',),"1r.(66.14)oпepaтop в Лeвoй .{асTи(66.14) пpедставЛяетсoбoй сyммyЛoкальнoйпрoизвoднoйQ / at)p\".) и кoнвeктиввoй,v(г,.)vp(',.).и нoсит Ilазвание сgбcЙaнцuoнaльнoЙ uлu аmеpuа.|bнoй npou1вadнod,Э,|a пoлнaяapoизвoднaяпo вpемeнивдoльЛиIlиитoка.Jluнuя noкo oлpeделяегсяKaK ли|1ия.для кoIopoP векlopнoепoЛe v(r'i ) являeтся кaсатeльныilв каждoй тoчкe, и, сЛeдoватeЛьнo'yдoвЛетвopяющaяypавненияМdlо,(r' t)dу,"(.'.)dzt';(г,.)(66.1s)B oпрeдeленньlхфизичeских yслoвияx двиx(ениечастиц несoпpoвo)кдаeтсязаМeтныNlиизмeнeниямиплoтн0сти массьl иЛикoнцeнтpации частиц.
B таких yсJoвияx систeмy Частиц мo)l(нocчцTaTьнесэ!сu]чaемoliэlсudкoсmbю'дЛя кoтopoй($ *"t"'о"),..,: o'(66.16)(66.l4)'(ля нeсrкимaeмoй)кидкoсти ypaвнeниенeпpepьIвнoстисв0дитсяK ypавнeниюd i v v ( г ' . ): 0 .(66.r7)ГЗ22ЕслиГлав|1 15- KонmuнgahнuеприэToMдвижениеnепlldbL du\1алuкu.,,яBляeTcябеЗвuхpевьl-l|'.|oи rotv(т'i) : 0' Ho ro1Vр : 0 всeгда.Пoэтoпtусyutествyет пoтeнциаЛф(г,t) вeктoрвoгoпoля v(r'.)' тaхoй. чтov(r,1) = vu(r'l)дЛя такoгo noпенцuальнozodвuэteнuя(66,l7)пpиl]имaетypэвireниеBидdir'gтаrlt'(г.t) : At'(r't) :0'zаpn|oнullес].aя фgнкцuя.
ЗaДaниe {i'(г' l) Irа Макрoскoпическoй гpаllичнoй пoвepхнoсти''' oгpaничивающeй oб'ЬeNl l./. пoЛtloстью oпPедeЛяeт гаplttoническyю фyнкцию внут.pи s' а 3адaниeнopмальнoйпрoи3вoднoйal''/aD на.s oпpeдеЛяeт !j(r'1) внутриs с тoчlIoсTЬюПoэ].oпlyпoлeдo пoстoяннoй'( k o p o .| Р Ё t r г , / ) 6 n . в . I р e в oo д в и / ч е ч и ян е с / t ( и I \ 1 а е)Iч\ 1и o0 ;к o .(66,l8)сти пoлнoсTьюoпpeдeЛяeтсянeпpepывнoстиуpавнeниellt] гpаниIlныN1ив oбщеNlсЛyчаe этo нe так' oднoгoусЛoвияN1и.недoсTат0чнoдЛя наxoждeниячетьIpeхуpавнениянепpepьIвнoстинeизвестньlxфункций p(т' i)' j(I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
