Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 44
Текст из файла (страница 44)
p^l o _ l . , , , D l ' L o o . в e | с т в и eм P > ' \ ДIrt q ( l \ ' p ( ! \ ) и / ( g . p ) п p e дпoЛагаe|сяPeпpеpь|вньм,Пor-oNly oбщeё oeценPe (60,|) voжe0ыГь наPдedoв виje pяда пo стeпеняv /Преoбрaзyеi'(60.l) в ивтегpальнoeуpавнeljиe.Пoлуним приyсЛoвии сoхpaнeния пoЛнoЙ энepгии систeмьI Частиц@'p)'(60'9)oпepaтop0(t),пepевoI,яЩИйlk'pi) B lh('),p(t)),нaзываeтся(60,9)(60,7)'oешениедаютфopмал"нoeФopмvлыгlpoпагатopoм,L e н т p а л ь P o й ' а д аи' г а м и л D I o н o в oлй.
и н a м ц к иФ, у н ' t ц и я { t i u ' g }начаЛьныхyдoвлeтвopяеT.Уpaвнeнию(60.1) при прoизвoЛЬнЬtxяв.кoтoрЬlxкoмбинациейпepeменньlх,знаЧениях каt]oническихляeтся /(q,p),Пpеoбpaзoвaниe [,г(t),пo oтнoшeнию к l : qa I-1l : pa' МФК'как лpeoбpазoваниeнo так)кeрассМатpиватьфазoв0г0пpoсTран.сTва, кoтopoe кaждoй Toчкe q, p ^с.ГaBЙ7в сooTвeтствие дpyгyютouку q(t), p(t).
Из oпpeдeленияU(,) виднo,чтo' I t '1 .p | ! ,t | ] ' $ o - 2 || а { | 1t , ] t ' 1 'p |( ] 1 .1 1 q0Пpeдстaвим pешeниe ypавнeния (60,2) в видe итepaциoннoгopяДaI(60.3),(t1),(t,):,(tt + ф),: r,o1o;счиТаяинTeгpальньIйчЛeнв (60.2)мальlм.B нyлeвoмпopядкelo: lk,p).| l ] , j | ' 1 | ! чp | t 1 l q , p i ' 1 1 \ q , p lJМы видим, чтo рeшeние приниMaеT вид экспoненциалЬtloгo Pяда:дипaмиKиf ( q ( t ) ' p ( t=) )f o + h + f э + . '1 .н1ч'p12s 60' ФopцaльнoеperrreниецентpaльпoйзaдavиI Iq | tt- p |! | | - 1 tq ' p , '(60,5).цля f2 имeемTеopeМа Гlyaссoна является следствиeм этoгo pавeнства, Co.гЛaснo тeopемe пyассoна каx{дьIпlдвyм интeгpалaп{дви,(eния/И g (l :0' g : 0) скoбка Пуассoна ставит B сoотвeтствиедина.мичeскую фy.нкцию Р, кoToрая так)кe являeTся инTeгpаЛoмдви.жeн,rЯ 1l _ 0), }iaйдePныйлутev o6pа]oвaниясьo6oк Пyассoнаинтe.paл дв,jхePиP plq.p'I1 _ сonч мoжеl не свoд,.]тЬ.як )жeизвeстIJьIминтегpалaМ.
B этoм сЛyЧае мы бyдeм имeть нoвыйиtlTеграл дви)кeния'I : V,fl1.нaхoдиM, oстaBЛяя в иIlтегpалЬнoм чЛel]e лишьяyЛeвoЙ пopядoк',]: |{*+t/.яl )'s|+р: ;t/'g]ц(L\ur/]гaMиЛьтoltoвoй2890 - 1 1 t:10 1 - t 1 ,(60.4)II(60.10)(60.11)(60.12)290Г,1ава13,Kанaн цескuеgpaвненuяs60, Фapмалblroepешeнuецeнmpahнoi ?adачuт, е, пIнo'кествoпpeoбрaзoваний ./(') oбpaзyeт oднoпаpамeтpичe.скyю нeпpepывI{yю rpуллУ (?pgnng 1,), BьIдeЛeнный элeМeцтaлГe6pы E|q'p) явЛяeтся прoи3вoдящиl4эЛeмeнтoм гpyппы илигeнеpаTopoм,Пpeodpазoвaниe t/(t) oбладaeт так)кe слeдующиMи свoйствами.l. Пpoизвeдeниe двух динамичeских фyнкций пpеo6pазУeтсяв пpoизве!eниeпpeoбраJoванных функUPй,,цля ДoкaзатeЛьствадoстатoчIlo испoЛьзoвать6eскoнeЧнo Мa.ЛьIe иЛи инфиниTeзимаЛьньIепpеoбpазoвaния' пoскoЛьку гpуппанenpepывна..цля таких пpeoбразoBанийимeем вмeстo (60,7): lG,e) + 6t|lk,e)'II(q'd1'f(q(6t)'eФt\)иЛи кратк0l аt)- ! | 6tI!.H.- I(60.l3)6 t .
HI .C тoчнoстью дo бескoнeчнo мaЛьIх пeрвoгo пopядка пo 6,f (6t). g(6t): (/ + dt['f'r1]). (s+ 6t|o'нl) :: I . s + 6t(If,Ellt + lls, Hl) : f . s + 6tlf s,HJ :: ( l . e )+ d r l n l f.fe ) , ( 6 0 . 1 4 )где испoЛь3oвaнopаспредеЛитeЛьнoесвoйствo сKo6oк ПуaссoваoтtloситeлЬнo yiинo)ке!lия, Из (60,14) виДнo' чTo пpoизвeДениeдинамичeскиx фyнкций (l ' g) прeo6paзуeтсяв пpoизBедeниепрe.oбpазoвaнньIхфункций /(6,) . 9(6,),2. Cкoбка Пуaссoнa двУх Динамичeскиx фyнкций прeo6рa.зyeтся в ск06кy пyассoна пpeoбpa3oваtiньIxфункций,,цeйсTви.[l(64'9(dф]: l(/ + d'[l' 11])'(9+ it|s,Ц)1 :: |f'g]+6t(If' Ig'H]]+ [[l'д]' s]).при пoМoщиTo)кдeсTвa.Цвапoследнихслагаемыхпpеo6pазуютсяЯкo6и, и мьr имeeм|l(аi)'o(аl)]: V' 91+ 6t|Il'd' E1 : [l' 9]+ d'{fl][/,9].
(60.15)3. Сyмма динамиueскиxфyнкцийпpeoбpaзyeтсяв сyмму пpeoбpазoванныxфyнкций,дoказaтeльствoo.IeвидIlo,TaкиМ oбpазoм,пpeoбpaзoванияи(l) сoхpаняютвсe тpи oпe.pации алгe6ры Ли динaми,{eскихфyнкций. oтoбpаxeниe [/(')яRляеTcяавmojnapфu3J,toJt.291Из инвapиaнтнoсти ск06oк пУaссoна слeдуeтt чтo eсЛи в Kа.чeсTвeкаllollическиxпepeмeнныхв мoмeнт ' выбрaныq(l)' p('),yслoвиямyдoвлeтвopяющиeIq"'qB]_ |p"'ppl _ 0',:l"'pр1_6"p.(60.16)тo прeoбpaзoвaннЬIeвелиЧиньIoбpазyют сoвеprrleннoэквивалeнT.ныйнабop.тeмBсe динaмическиeфyнкциив мoМeнтt + 7 пoдЧиняются)Ke ypавнeнияп!дви)кeния'Чтo и в мoмeнт ',.цeйсTвиTeЛьнo,эвoЛюциисистeМыимeeтBИДl : If'E],в мoмeнтJ УpавнениеинфинитeзимаЛьньIпIпрeoбpа.ФyнкцииJ(f +т) и l(t) связаньl30ваI]иeM/(t + т) : /(t)+ т[,i(t)'тr(t)],(60.17)(60.l7),имeeмпpи ,?:0дифференцируяdj +т|j'H1=Ifj(t+т):j(t)+т;|l,H]:'El+т|If'H|'H]:: U(t+,)'rт]'(60,18): |ff+.1s'н11'н1Чтo и дoкaзьIвaeт инваpиаIlтttoстьypавнeний двия(eния oтн0си.теЛьнo пpеoбpaзoвaнийгpyппЬt.Заметиi1 тeпepь, чтo пpи дoKазательствe aвToмopфизма^ал.гeбpЬIдинаlt1иЧескихфyнкций 6ыЛ испoЛь3oвaнтoлькo вил Lr(t)и свoйства скoбoк Пyассoна, пoэToмy дo(aзaтeЛьствo oстанeт.ся в сиЛel eсЛи гaмилЬтo!{иaн'Еl(q,p) замeнить ЛюбьIм дpyгимэлeмeнтoм g(q,p) aЛгебpы' каx<дый элeмeнт g(q,p) aЛгe6pьIпoPoxдаeт oднoпаpамeтpичeскyюгpyппy автot"{opфизMoвl -+е"|o1s,гдe o _ веществeнныйпapамeтp.Сooтвeтствyющиe6eсKoнечнoмалыe прeoбpавoванияимeют вид6f :60lJ,sl;(60.r9)если g _ вeктop,тo вмeстo (60,19)6yдeмиметь6l :6o"rlf,si.пoлr]ый импyлЬс систeмы Рf явЛяeтся гeнepaTopol/tсдвигапрoстраIlства.
Пaлaraя f : l", и:P1 и зa7eМ l = pр' лoJ|уч|-IМP^,1.6t": 6o,rlxr, P^,1, 6p" = 6o.rlpu,ПoслeвычислeнияскoбoкПyассoнанайдeм6ru : 6ou,[p, :Q.(60.20)292Глaва 13.Kанo||uческuеuoaвне||uяпoлный мoмeнт иМllyЛьса системы L1 яBляe7cя гeнepатopoмпoвopoта системы нa вeктop бeскo!]eчнo маЛoгo пoвoрoта' дей.ствитe"']ьнo,кoopдинатьIи импyЛЬсьl в этoti сЛyчае пpeoбpазyют.ся п0 ф0Pмyлaм6zr : 6o'r@L-,].r, L.rl, 6pu= 6o,,l1tu,СкoбкиПyассoнaравныp,,L^,]: е,,хaх' bp,Li: _€ л ^r;"',гдe 6д,}^_ симвoл лeви.чивиты' пoэтoltty6x, = е^76o,',x1,6pu : _е,.,s6o1Pх.(60.21)Паpаметpьrdo^/в эТoМ сЛyчаeявляются кoмпoнeнтамивeкTopабeскoнeчнoмаЛoгoпoвopoтaпpoстpанства.фaзoвoгo]vlьIвидиM,чтo имeeтсябeскoнечнoесемeйствoпpeoбpазoва.|1|1i|BцДaea|sl,кoToрыeoставЛяютинваpиантвoйгaмиЛьTolloвyдинамикy,пpeodpазoвaнияэтoгo сeмeйствaназывaются,.@rior.и.чеc!.ul|u noеo6oаЗoвaнuяt|u'гЛasa 14пPoизBoДящиЕ ФytlKциикAIloIIичЕских пPвoБPA3oBAtlиии мвтoдl гAмиЛьтoIIA-якoБиs 61.
канorrПч€ с киe пpeoбpa3oвaния;пpoП3вoдящиeфУrrкциrrПpeдставЛениеканoничeскиxпpeoбpaзoванийв видe степеннЬlx pядoвнеyдo6!,Iotкoгдaтpe6yетсяимeтьявнyю фyнкциol{алЬ.нyю зависимoстьпpеoбPазoванныхкaнoничeскиxпеpемeнньIхQ'P oт пре)кнeгoнa6opaq, p:Q" : Q"(q,p,t), P" : P"(q,p,t).( 6 1r .)сниМeмтакжeoгpаничениeau/dr:0 на видгамиЛьтoниана'испoльзoванt,!oев пpeдыдyщeмпаpагpафe.пo oпределeниюканoничeскиeпpeoбpaзoванияoбpатимы.По(6l.l) oтличeнoт нyля:этoму якoбианпpеoбPазoванияa(Qr,.",Q',\,..,P")+0.(6r.2)Kpoмe тoгo, пpи таt<их пpeoбpазoваI{ияхдoл)к!lа сoxPаtlятьсяфopМaypaвнeнийгамильтoна.Если в пepeмeнныхq, pAE.eo: _Й'AIIsa: aed'тo в пepeмeнньIxQ' P дoл)кнo6ытьaнбP",aнaQ"'(61.3)(61.4)гдe?l _ гамильтoнианв пеPeмeнI{ыхo, P'Уpaвнeния(6l.3) Мoгyт быть пoлучeныиз ваpиациot]нoгo(55.l):пpинципа_ н(q,p,t)]аdt: o.l|n"аJo,n,D(61.5)294 Гlава !1' Пpou7вoi)ящuефун|tцl1uкaнaнuчес|сuхnpеaбpаэoванuiC.leдoвaтeльнo,пpеoбpазoванньIйк пepeМeнньIIlQ' P вapиaциoнный пPинципдoЛ)кениNteтЬвидГa I P o Q ^ \ Q 'P ' | )'_н \ Q ' Р ' t )' ]' 1 t : 0 'нuцескuеnpеo6pаЗoвt1|luяus 6 l l{a!'Lo| пpou!вodящuеф!/|1|щuньIr\jl).
P, Эта фyнкция сyществ!,стлpи yсЛoвии(6l.8)' кoToрoeна oснoваl]ии(6l,I l) мoжет бьrтьпpeдставЛeнoв видеi r ( 1 ,.r.,., p , )о|Q1',,,'QJ(61.6)Пpи такolt пpeoбpазoваI]иипoдьIнтeграЛьнoeвьIpажeниeв (6I'6)]tloжетпo.llуЧитьдoпoЛнитe!]ьнoeс''lагаeNIoев видe пo',]нoйпрoизвoднoйпo вpеNIeниoT нeкoтopoйфyнкuии Л(t'g'2'Q'Р), УpавIiения(6l,4) бyдyт с']eдoватьиз (6l,6) пpи лю6ьlх Л' пoскoлiкуldt(61.7)(61.8)Пoдставляя (61.7) в фopNlyЛьIДЛя сoпpя)кeннЬ|химI]yr1Ьсoв i6l,l)' мЬ| пJoжеп1I,]pеoбpазoвaтьихi а сЛeдoватеJ.]Ьнo,|А 1-|t'q.Р'Q'P)к пepeNleннЬl]!1q.
Q. t, oбoзвачиN Чe.peз Л(.1'Q'l) лolученнyю такиrt oбpазoil фYнкЦию, Тoгаа из(61,5)' (6l 6) бyдeNlЙNteть11 dt : P"rlQ" - 11сlt + d\'p"dq"(61.9)и.пиd\\ч.Q't):p ^ d ч , ,_ P o d Q o + ( нH)dt,(61.10)oтсюдаP'':i )F | Q ,Q . t 1aч'--AI'tl,q,Q,t)о()"a nkr,Q.t)' ' t ) -in'н | . q ' Q . t )= I 1 \ qQd|F||.!'Q't')+ n,Q,,l = p,\dqo+ Q^d11"+ (нПvстЬтеперьII)|ll- (61,1З\a J \ p t , . . . , p " ), ^, ( 4 , . .
. ,R )-(61.14)Tolда из фopмул Р' : Р"(,]'p.t) lloжнo найти Р,, = p,,(.q'P.t)'эTo Лoзвo.,]яeтлpедстaBЙIьQ,': Q,,kI'Р'!) B видeфyнкций Qo := Q,,|t' Р't). и I{ьIl|ахoдипldL) P.Q,,1u,,,,,'1n'n,,,}\|Г1k!'Q, +p'' dq,,+ (),'ll I,.,+ (нlr) tt, (6|,|5)ПoЛагзя|г' (q'8. t) + P.Q,,]Ф'-,l,,t',,,',l: |'zh,Р 't')'( 6 1r.l )ФyнкЦия F.|(q,пpoизвoляшейQ',) oказЬIвaeтсяфункuиейflpeoбрaзoвaнияЛежандра oт пeрeNleннЬ|хq, Q к пepеDIен.Iч,'' 11:H'j 1 и н а т н o в ь I i ! ] ии 1 Л y Л ь с а t t l и( с o з l l а к o l ' l t я ) и с т а p ь t х и v л 1 . ; l ьс o в _ н o в ь I I ' , lкиo o p д и l l 2 т а N r и 'Далсе' пPибaвим к oбеим часTяNl pавенства (6l,l0) дифферeнциаJ d(Q.'P.'), ПoЛy.]иMпри vс.r]oвииalQt ...,Q)Po =и канoничeскoeпрeo6разoваниесвoлитсяк 3аltеl]естаpЬ|хкoopP а з p е ш и м у p а в н е н и я Q " = Q " | ' ( ! ' p ' t ) o т н o с и т e J ] Ь l l ои N t п у Л Ь .сoв p' пo'.lyчим' |,)]\, = pа|.q'Q(6r.12)+o.Пpи вьtпoлнении(6l,l2) фyнкuияlrl((.Q.,) мo.тPебoBаI]ияQо=|lо'= drЛit'] Лll' )):0|I2Г|(ч'Q'!.))кeт быть заданэ прoизвo!,]ьнo,Тoгдa каноI]ическиeпpeoбpа3oBа'ния пoJу']аютсяди(рфepeнЦиpованиellзаданнoйфункции в сooт.6l,l1)'в е т с т в и ис ф o p п l у л а п(l иПyсть, наприпrеp'I.'t: сl"Q", TогДа фоpпly"1ьl(6l,ll) пpини.пjаюT ви,'1d | :li29ь,ахo,lи!1ф o P ^ I \ , , l Ь |к а | | n Ь ] ч l l , h l .
\l'',:it\|ч' I,'t)i;ч"гF06ра,oвoчий; | | 2 | l .Р ' t )','ч" =lP-= нр1,е,4н|(t'Р't)1!Ц\!|l,(61.16)в вrlе(ri1 17)296 hавa 1.t,Лpou1вadящuефцнкцuuканoнuчеcкuхnpеa1pаЗoвaнuйФункция л'2(q,P,l) являетсяпрoизвoДящeйфyнкциeй канo.ниЧeскихЛpеoбpaзoвaний(6l.l7) пpи yсЛoвиис1,F2G'P't)(ril. r8)0q"0PpBыбеpeмфyнкциюф(q.P,i) в ви,цеI ' 2 \ q , P , t ) : f o \ t . .
., t l s , t ) P d .ФoрмyлЬl(6l,l7) пpивoдятк кaнoничeскимпpеo6pазoваниямQ.:f"v.lt''' 'q"l' p., : Щp,".)qt'"'кoтopыe в эToм слyчаe с0впадаютс тoчеЧньlмипpеoбpaзoванияМ|1,ПpЙ fa: a.ilq|l и аnBаop:6o"этo oртoгoнаЛьньIепpeoб.qоaлpЙтo)кдeствeнныeпpeoбpазoвания.разoвания,Jo:ПpoизвoдЯщyю фyнкциФ oт нosых кoopдина'Ги старых им.пyльсoв i'3@' Q. t) мo)кнo Bвeсти пo фoрМyлeГ'-р-Q-!' _ lla.Q.l1p".tq,|a"a.'a,: -qad,paPaII'Q,"+ (нII)dt.(61,19)Эта фyнкuия сyщeствуеT пpи yсЛoвии(],щФ'Q't)Оp"0Ql(6r.20)и oпредeляeтканoничeсKиепpеoбpазоваIrияв видeA F . \ l p .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
