Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(52'5)+\-быстpooсциллиpyющихсиЛ нa фи.ЦействиeдoпoлнитeльныхзиЧeскиe систeМЬIмo)кeт сoпрoвo)кдaтьсяпpи oпpeдeЛeнныхyслoвияхпpoстpанствeннЬIмэффeк.дpeйфoмсистeм,пoявЛeвиемTа динaМичeскoйc.ra6Ил|4ЗaЦ|-1|-1нeустoйЧивЬIxсoстoяI{ий'BнeдIниe вьIсoкoчасToTныесиЛы пpи этoI\4нe oбязательнoявляютсяслaбьIми,K мeханиЧескиMсистeМaмтaкoгoтипa oтнoсиTсяNIаятник с быстрooсциЛЛиpyющeйтoЧкoйпoдвeсa'oднoмepнoедвиlкениесисте]t!ыс пoтeнUиалЬнoй)нерги.eй U(g) пoддeйствиeмпepемeннoйвo вpelменисилы Q(q, t) мo'кeтyрaвнeниeмбыть предстaвлeнo269(52.9)ж'3f.("+",)ft).Так какl|^_l(п+л.]a.lJ,JJJ(52.9)пpеoбpазyeтсяк видyУpaвнениe'!a__uu\qtnа^.-,| ч\\ql| (,s-2ла- 2n+o("r,i(qll-'ila,-(52.10)270noлеs52.
'qвu'!сeнuев 6ысmpooсцuллupgюще]цГnава l2, Itелuнеi|1ыекojе6aнuяФypЬe (52'2) имeeм,цалeе,нa oснoваниипpeodpазoванияQ|4,l|- Qo|l'_ЕQ'.q'"''n,"+aQ,r?)Qrr?)"_''.l','о.'n'n{72l||( l | ( Q ( о ' t ) _ Q o ( s ) ) d t )| :-Д)n+ooт oбeих Частeй|Q'rql|2л"o)lq9 l|lPавeнствo(52'1l ) пoзвoляeтпpeдставитЬypaвнениедви'кeI,Iия'yсpедIlеннoeпo пеpиoДубьIстрьIхoсцилляций(52.10)'в видeaU\Ф ^,-, ! a l||'l,\р a _ , - - - - - - _ :Q o | 4 | o , ' o . ( | ( Q r 4 . t -) Q o h \ ) d | | ) ''d"'t,цля yсpeДнeннoгoдви)кellияMo)кнoввeстиэффeктивнУюпo.тeнциaЛьнyюэнеpгиюпo фopмyЛer /trI J .
я- L J | 4 !. ;( || to.a'tl-Р\LJI^.^L _ | ml,0z _ m!ё0 sin9 + mqlaoзo'2-ние дви)<енияMаятникa:бьIстpьIx oсцилЛяций|-\пoзтoмy фyнкция Лaгpaнжa маятникa мorкeтбьIть прeдставЛel]а в видеИз ypавнeнияЛaгpaнжa пoлyнaeмypaвнe.n,nt+oCpeднeе пo пеpиoдУ ?эToгo paвeнствa pавнo:.цeкаpтoвыкooрдинaтыMaятникасвя3aны aсc(oDсмeщениeмs(i) тoЧKипoдвесaс вepтикальныMи угЛoмoтKЛoнения0 фopмyлами, c : J s i n 0 ' g = l с o s d+ 9 ( t ) ,интeгpиpyя пo вpeмeни oбe qасти этoгo pавeнстваи вoзвoдярeзyЛьтатв квадpат'найдeМ2+фГ[tq.a'.loo.allo,l._ fr2\iQorсl)ar )_|Qa|x1dJ'l/271Ё(52.13)гдe yчтeнo' чтo пpoизвoднаяoт интeгpалас пeрeMeннымвеpx.ним пpeдeлoмpaвt{aпoдынтегpаЛьнoйфyнкции.Toгдаypавнeние(52.12)бyleт имeтьвил(52.t4)Пoявлeниe эффeкта динaMичeсKoй устoйЧивoсти мo)кнo пpo.дeM0нстриP0ватьнa лp|lNlepej7аяmнuкa с ocцш'xupaющеI1 moчкoЙ noавeca (pЙc.З4).6a9(1r\Pис.34.
,ivlаят.IlиKi)ы"a:o's./сoсциЛЛи.(52'15) рyюшeй тovкoйпoдвeсaB o6oзначeнияхуpaвнeния (52.l) злесьпoтeнциальI]aяQ: mLЬsina' U : _mglcosq, и эффективная(52.l3)pавнaэнepгияyсpедненнoгoдви)кeнияlJы__lm g l с l > " a,;n';2\5in2a.'цЛягаpмoничeскиxкoлc6aнийтouки пoдвесas(') : aсos ot следoвательнo,|ь2): o2n212"^2о2u. : -st(-"o"A)+;fu "\n20,(52.16)в нульrrc af,: g/I' пpoизвoднаяэтoй фyикцииoбpащаeтсяyстoй.в тoчкахd] : o' 0z: т. Toчкаdl являeтсяпoЛo)<eниемчивoгo pавнoвeсия, Bычислиl.4вToрyю пpoизвoднyю oт Uefi в тoч.кe 7. lloЛУЧимud6\ : -mst (lЭта пpoизвoлнаяпoЛo)китeлЬна,eсли вЬlпoлняeтся неpа-вeнствoo'Q't- ' ,0,212(52.t7)Пoлorкeниepавнoвeсия,2 = т в таких слyЧaях являeтсяyстoичивым.272Главa |2' Ilrлuнetмьlе1.oлебанuяpеlol,|анс'меmod acpеd|lе||uяs 53' ]7аpaЛеmpuчec1<ut|$ 53.
Паpaмeтpпleский peзoнaнс. Мeтoд yсpеднепияявлeниe паpапjeтpичeскoгopeзoнансаxаpактеpнoдля систei!с парамeтpами,пеpиoдичeскимивo вpeмeни.К уpaвнeниюс пеpиoдичeскиМикoэффициентаMисвoдитсяв пpиблихeниилинeйныxкoЛe6aний(sin,: d) ypавнениe(52'l5) ДвиxениямаятI]икас oс'цилЛиPуюцeйтoчкoй пoдвeсаs('): oсosо.. B этoм слy,rаемыпpихolим к цpавненuюMаmье'ё + Фв( + hсosaоl :0,(53.l)гДe h - oQ2/.!d2o]Vlы пoлагаeмл'<< |' и, таким o6pа3oм,неpа.вeнствo(52'I7) не имeетместа.3адачасoстoитв oпpeдeлeниипoвeдPIJияdrl) лpи частoтaxвнешнихмoлуляuийQ'фyнкl,1ииблизких к удвoeннoйсoбствeнrl-oйчaстoтe2&,0,Испoлiзуя мeтo!yсpeднeния'мo}кнoпoстpoитьпpибли)кeннoeperпениeнелинeй.н0гoypавнeния:Q+ aBq: еQk,q,stt),(53.2)и затeм пoЛyrlить peшeниe задачи как частный сЛучай'Пpи пoмoщи замeны пepeмeннoй q, испoльзoванЕloи выцIeв тeopии Линeйriыхкoлeбаний:q :цgьot(53.7)Пoдставим cюДau' u* из (53'4), pа3лoxим пoЛyчeIjнoевыpажeниe в pяд пo степeняNtмалoгo паPaмeтрa6 и пoдстaвимв пPaвyю часть ypавнения(53'3).
тoгда этo ypaвнeниeпримeтвид.0u'. / + d u , \ +Е.ъ;\|+''' =l\l at /-.':--B ypавнeнии(53.8)мoжнo пpиравнятьмIloжитeЛипри oдина.кoвых стeпенях6. B пеpвoмпpибли)кeнииимeемr"l d+t З=ypавнeниe(53.2)пpивoдитсяк видyIn: n',,. ^',Q|q.q.oi)=ЕЕ(.].u../.Q/). (53,3)zluoПpoизвolнаяti oказываетсялpoпopциoнальнoйvаЛoМyпаpамет.pу € , lloэтoмy бyдемисхатьpeшeниеypавнения(53.31в виаeсyпеpпoзициимeдлeнвoмeняющейсяза пepl|oД2тfФa фун|<ц||Иnи Мальlх0сциллиpyющихсЛагаемых:ц : n + е11'|(n't)+ € 2 u2Q1,t 1+... .(53.4)Фyнкция4 oпpeдeляeтсяypавнеIlием(53.5)i = € X |(n,t)+ € 2 х2(n't)+ ...
.диффePенщ-rlyявыpажениe(53.4) пo вpeмeнии испoЛь(53.5)'пoлyчаемзуя фop^,tyJуpазлo)кeниeлeвoйчастиypавнe'rия(53,3):.B прaвoйчастиyравнeния(53.3)'пoсЛезаi'"""n"o""""Jl,;:ld. бyдемимeть пеpиoдичeскyюс лepиoдloм2т f',.4фyн*ц"ю, *o.o.pyю мoжн0 пpeдставитьв видe pяда ФypЬeou u. n|JiФat-o,i =i+,#+,*n+:, (х,+ff)*:ff,, +.. - .
" . t r | с F ' (оl ', . a t 1+/u,a!|*р"iЧF:|+.. l. tьз,вldu'lu'=4'!г ц. B iФot'ileiuor+ij'е273гe,щ!,F'.ln.,..Qf).(53.9)Функцию 11, мeдлeннoменяющуюсяв тeчeниeпеPиoдаT::2т/Lh, N|o1|(|1oнaЙ.rипyтeм yсpelнeния (53.9) пo этoмy пepиoдy(11 мolкнo вынeсти из.пoд з!]акa иI'тeгpала пo пepиoдy' а сpедllееoт бьIстpooсциЛЛиpуюЩеloслагaеМoгo даeт вyлЬ)' B peзyЛьтатепoлучим_''}"з\ l ( 4 ' i) _ F ( ' . 4 . . t . Q . )_ +" - , . .
ю t ' p . 1цц. . Q t ' 1 d f ' 'i(5з,l0)Этo выparкeниeдля ю(n.t) следуeтI,]oдставитьв ypавнение(53.9)и peзyльтатпpoинтeгpиpoваTЬпo вpeмeни.пoлyчим,', tn,о:!|itt_lГn:-ф-,,,^,,,.с,,,-,nt\_F(n,тl-,t,a|)fdt.peшениeOкoнчаTeЛьнoypавнения(sз.z) n"p"o*npnll3*ll"нии пo 6 даeтсяфoPмyламиq : n еiuot+ ц' e-i'aot' 8: iuo(nfL\tц'e-iob|),(53'l2)274Главa 12, HeLuнеЙные lсoj|е6анuяIi = r \ r ( r .)i - i 6 l "pе1oн(|нc.I|4еmods 53, I|apaмempuчеc|<uйlcpеoненuя^ ' , Q k t n . , d) .( r . l )o./ ) ) . ( 5 3 .
t 3 )3дeсь интeгpиpoвaниeпpoизвoдитсяпpи фиксиpoваннoм4'испoЛЬзyeмэTи резyльтатыдля pelleния ypавненияМатьe.'.из сравIlения(53.l),(53'2)нахolимуpавнeнийсQ = _йьcoзnt : _q,'вh(цeЙt + q. e-i.ol) сosat.Пoэтoму ypавнeниe для4-унKLЦa,n 41|lt^idi(53.15)Пpи пoмoщипoдстанo"""n = о"*v(53'l5)(}мt) ypaвнeниeпривoдитсяк видyo+"!o-ff0.:0.(5316)или дЛя вещeствeннoй dl и ilttlимoй d2 частeйфyнкции p пooтдeльнoсти:l' /.'hЫ"\D |_ ; l а + ] : l , 2 : 0 '(53,17)z\2 /'',*l(аu'-о.P.)z\z J(53.r8)Peшeние этoй системы yPавненийищeМ в видe= ,4| 2 eхp(,\t), Heтpивиальнымpешeниямдля Аt u A 2сooтвeтствуeтpaвныйнyлю oпpeделитeльсистeМы:х,- !|* _ /h"o),l _ ^"-41.-\2/l-"Пoлагаяв (53-17)'(5з.l8) dl,,:,41.2eхp(,\1J)(кopнIo)l сooт.в (53.20))'нaхoдимвeтствуeт3нак"+o="(у'')А\,)=",'дФl\-тv _ n ." - , i * l , ) с oQsr , d / , '( 5 3 , 1 4 )'^A,'Ф-.(53.20)),(ля кoрня ,\2:B oбЛастичaстot o, близких к вастoтe 2alg' мoxнo пoлorкить Q = 2o,lo* 6, J 11 u,'6'Toгдa вычис.'lениесpeднeгoв пpавoЙнасти (53.14)значителЬнoyпpoщaeтся,и мы пpихoдимк ypaв.нeниюj,.
-^,',=!;\f(у),Ф.I h.o\'имeeт видIы^n(e-!-!'('elф. + ?'F l,a,)сosoi -)2:_iuоh=fтoтсюда ttахoдиMдва кopня ,\1'2:(53.1e)\-Гl) , r8):perДeниясистeмы( s 3 . 1 7(53.эти фopмyлыoгIpeдeляютd1 = с1glrr 1 6,.l'.,* _ (Ч _')l'l е)(53.2r)_'2 (с1е\'l_ c2е^,,1. 153.22'1Jдeсь сl и с2 _ пpoизвoЛьныeпoстoянI]ыe,кoтoPые oпpeдeЛяютсяначалЬtlыми yслoвиями.q связaнаoбo6щeннаякoopдинaтас фyнкцияMиd1,r92фop.мyлoйq = цeЙt + ц*e idot= (о1+ io2)ei|th+t)t++ (dl ' id2)e-i(.0+3)t,(53.2з)из кoтopoйвиднo,Чтo для мнимых.\1 и )2 q бyдrт oграничeвrioйBещeствeннoйкooPдинатаq 6yдeтпpи вeщeфyнкциeйвpel),teни.ствeнных }1 и )2' Ho в этoм сЛyчae)1 > 0 и peшeниe(53'23)наpастающиeслагaемыe'свидeтелЬ.сoдеpxит зксп0нeнциаЛьн0ствyющиeo тoм! чт0 в системе имeeт Meстonapамеmpuqeскuupе^oflaflс.услo'uе\!|вещeствeняoстикoрнeй ,\l и )2 являeтсянеPавeнствoY'l*-i"l'Га'|uльmaнаs 54, УpaвнеtluяГлaва l3yPABtlЕtIиякAllotlичЕскиЕ2?7пpoизвoдящeйк кЛассyпpeo6.фyнкции(L(q'Q.t))' пpинaдJIФ|GтpазoвaнийЛеxандpа.
Якo6ианпpeodpазoвaнЙя(54'4\ oтЛиЧel{oтнyЛя''/dp^\| A2L \(54'5)d e t { + = | _ _ d е l ,l ^ ^ll0'\oqR ]\oqooqв]вследствиeп0л0житeЛьпoйoпpeдeлel{нoстикинeтичесI(oйэнep.гии.ПoэтoмyoбpатнoeпPеoбpaзoвaние$ 54. Уpaвнeпия Гaмильтoнa(54.6)Уpaвнeния дви)l<ениясистeмы часТиц' а тaк'<e ypавнeяиядви)кeниясистeмымакpoскoпичeскиxтeл с s стeпeнямисвoбoдьlпpeдставЛеныв виде системь|s oбыкнoвeнныхдиффeренциальных yPавненийвтopoгoпopядl{аdALAL=q!"dta%- ac.(o:I''s)'(54.r)e с л и и з в e с т I ]фа y н к ц и яЛ а г p а н ж аL ( q | . . . . ' h - q | , . . . ' 4 s ' t )| 1Ц | a c -qJ,Gt' '-'.q"'sl....'Q"'tJ.
Пpeлставиц3 yo,".::::'ll::}::i,1нении(D4'l)в видесисгемы2sдиффepенциальныхypавнeнийпoryдl::4ляэтогoввeдeмвместooбoбшеннjхскopo.::ljojo(lЕи q'' '',.qsн а o o pн o в ы xф y н к ц и й\ l ' ' ' ' .\з пo фopмуламX " : X a ( q , . . . , q " ,c t , . . . , q s , t )(54.2\и бyдем pассматpиватьдалеe всеta в качествe неизвeстныxPyJlкциивpeмeнинаpядyс фyнхциямиgo{/)'пpoизвoЛЬныйвы.oгpаl]ичитьтpeбoваниемoбpaтимoстиpавенств::P 6\ooтнoситеЛьнo:Лeдуeт{o9z'do. Тoгдs 9 уpавнeний(54.l)yPзвнeнияIl,tипеpвoгoпopядкаoтIloситeльнo"'iнo"я,."q|,..., qз'x|,..., хs.t,-щes yравнeнийдают,вeпoсpeдствel]нo ра"u'iiт"а1Ь,iЭj,paзfrJ.rДeнньIe0тнoсительнodo:ti"=q.kt,...,q"'хl,...,х"'t)'(54.3)таким o6pазoмсистeма2з ypaвненийпepвoгo-^-пoлyчeннаясистel'е(54,l ) пpиnюоыхлony"*uй*,i::!::,1:,.:.1l*,."'naoopащениефyl]Kциях\o.
oднакoнаибoлeeлpoдyктивнымoказь|.качeствelo oбoбщeнныхимлульioвpo, Фopмyлы:::l":-.:6op"(D+'z)пpи этoмбyдyтиметьвидALpa =p a ( c ', '|. . ' q s , d | ' . . '.i s ' t ) = p d ( q ' q , t ) .(54.4)Й:такoгoрoда'в кoтoPыхtloвыeпepeмeнны€pa-- .ПpeoбpазoваниeявляютсяпPoизвoднымипo стapым пеpeмeннымt;" некoтopЪйсyществyeT'Фopмулы (54.6) oбpатt{oгoпpеoбpaзoваIlиятаюкeмoгyт быть пoлyчeныпyтeм диффepeнциpoванияпo po нeкoтopoйфyнкции _ пpoизвoдящefiфyнкции o6pатнoгoпpeoбpазoваIrияЛел<aндpа.так как пpeoбpaзoваниe(54.6)сушe.,цeйствитeЛьнo'ствyет' фyнкцию Лагpан)камo>кнopассMaтpиватькак фyнкциюпepeмrнныxq' рl '.тoгдa oчeвиднoAIdL | o 'в k ' о ' t ) .
t \:#Uчаd q"AI' p " d q " ( q ' p . t ) -: d t '(54,7)Bнчитая oт oбeих частeйэтoгo pавeнствадиффepeнциsЛсyммыpo dqo(q,p, t), t|oJ|учЙмd,lp"di.k.e,t) - L(s,qh,e,t).t)l =: - AL+6^do"'iJo'v /) dP"ar.-;dt(54'8)oбoзначимяepeз-Еl(q1,..., q,,p1,...'P,, t) фyнкциюoбoбщeн.Ilыx кoopдинат'импyльсoви вpeмeни!стoящyю пoд зндкoi{дифв левoйвасти (54.8):феpeнциаЛа=E(q'...p ' t ) _ L ( q 'q G ' e ' t ) ' t ) ."q",pt,...,p,'t) eафd(q'(54.s)пpoизвoдныепo пеpeменнымq@,po, t зтoй фyнкциидoЛ)кныбытьpавны кoэффициeнтампpи ф"' dpa, dt B opa9oйнасти (54.8),и мы нaхoдиM.aнh,r l\s"k'P,t)-A0H(q,p,t)____;_oQoALoq" o )d_i\q.p.rla H ( q , p , t=) ALIatЫ o=n,n',',i(s4lo)(5.+.lr)(54.t2)278Фopму.лы(54.|0) oпpедeляютoбpат}roeпpeoбpазoваниeЛeжаl]дpа (54.6)' пpoизвoдящейфункi1иейэтoio п.peoбpазoванияяRляетсяф!нкцu7 ГаЛulxьmoнa(eaмu!|ьmo'',4r.)систeмы.пpед.став.лeннаяфopмyлoй(54.9),Сooтнoшeния(54.l1), (54.l2) yста.Ilавливаютсвязь междy пpoизвoднымифyнкцийЛагpаtl,(аи гa.мильтoна.пpи пoмoщи paвeнств(54,t1) и (54.4) мo)кнoисключитьпpoизвoдныe0L/0q" и 0Ll0q" в ypавненияxЛaгpaнxа (54.1)'Iаким oopазoммЬl пpихoдиvк yPавнeнияNlдвил(eнияв видесистeмыzs ypaвнениЙпеpвoг0пopядкаB Kанo|!uце.кuхnеpеj|ецнb|х qa| pо |1лИK apaвненuяJu.Гa!|I,uлbmoнa(q,4k,p,t)'t),o"=_u" Уf '', * oLф1H(о.e't\q' " = = ; ro _ t.....s).vPo(54.13)(S4.t4)сoстoяние мeханическoй систei{ьI с s стeпеняniи свoбoдыв мoмеIlт вpeмeни ' задаeтся в канoничeских пepeмeнных flабo.poм q|(i )' ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
