Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 46
Текст из файла (страница 46)
6 ) ,(6З'7) в этoм сЛyчаeсвoдятсЯк фopМyЛа]vIp" : 05/0q",I tdt:Iqr = qt,(t.di,....a",|,...,il"J.(63.14)ПoсЛe пoдстaнoвки(63 14) в пepвую гpyппy фopмyЛ(63 lЗ) пo.Лy.IиM(63.15)?p : pp('t'o1,,.. ' (|"'|\, ',, , iз'),Фoрмулапrи(6З,l4)' (6з'15) представлeнзaкoн дви)кениЯсиq' p'стeпlыв пepeмeнньIх2. тeopeMа якo6и. Пoка)кем непoсpeдствeннo' Чтo фopпlyЛa.| o | | ь , й | |. l I o а , l y l ' а в л e Р ' ] яч и ( 6 J , q ] ,( 6 , l , l 0 ) ,в { o I o p ы \ 5(63,l4)' (6з'l5)ГамиЛьToнаЯкoби, и, слeдoватeльно'фopп{yЛaмипpедставЛеяooбщee peшeние канoI]ическихуравнeний Гамиль..pa:-DltaI]4,AEц. = -Этo yтвеp)кДeниetloсит названиоmеopемblЯKo6u.(63,1l).ПoлypавrreнияпoлныйинTеграЛПусть s(4'a't)To)кдествoсTавЛЯяeгo в (63.l1)'пoЛyчаеМDS(q,o, i)ы-н (o'. '"'Щ'.щ*qФ,);,o;,,3О4Глaва 11.ПpouзвoОящuефgнl.цuul.анofluaес1.uхnpеo6pа'3oва'нudкoтoрoe мoxl]o пoчЛeннoдифференциpoвать,Диффepeнциpyяпo aд' нахoДиМыSaEDau0ta2SС lpyгoй стoрoны, выЧисЛяяпoлнyю пpoизвo'цI]уюпo BреМениoт(63.9):9": 0S/0a"' лoлучимoбeиxчастeйpавeнствaa2s(63.18)0t0au 0q"0o,""из (63.l7)'(63,18)имeемo2s |oн\ao,'aч" \ilp.
"",1oпpeдeлительэтoй oднopoднoйсистемьlуравненийoтнoситeлЬнoвеЛичин'стoяциx в кpyгльlхскoбках, oтЛичeнoт нyЛя llo yсЛoвию (63,10),floэтoмyсистeма(63.19)имeеттoлькoтpивиальньlеpешения:.aH(63.20)(63,l6) пo q", a paвенствo(63.s):p":.цаЛee.диффepенцируя: DS/0q.' лo t' нaйдeмA2SAHAHoqooloqdopP oqоoq!.a2s""Оt0q"A2S(63.21)a2sОq,dq",".(6з,22\Уuитывая (63,20), oтсюда зaключаeм' чToф":aH/aq..(63.2з)УpaвненияГaмильтoнa(63.20)'(6з.23) yдoвЛeтвoряютсятo)<.дeствeнн0,3. Уpaвнeниe Гамильтoнa-якoби для кollсервaтиBtlьIхси.стeм. Для кoнсepвaTиBI1ыхсиclе|n0Hf at:0' диссипативныeси.льI oTсутсTвyюти гамильT0ниaнявЛяeтсяинтeгpaЛoмДвиxel]ия:H ( s t ' . . .' s " ' p t .' .
., p " ): E .B этoмслунаeypавнeниеГамильтoна-якoбив видeaS _ ,(n'an)_.. / аs\а'(63.25)Фyнкция l4l(q1,...,q"' a 1...., а" 1'E) нaЗЫBae7cяукopoче|!.11ь111dеtlcmвuем. Как ви'цнo |1З (63,24)' yкoрoчeннoe 'цeйствиeявляeтся пoЛнь]м иItтeгpалoмуpавIleнияaw--/л lql'\(63.19)"(6З.24)305мo)кнo пpoинтeгриpовать пo пeрeмeннoй t и BьIбpатЬэнepгию -Ев качeствe oднoй из пoсToяннь!х aд, тoгда(6з,t7)0р" 0au0q"a2sГа'|ujbmaна-якaбus 63,fu|еmaddw\.
l :l1'oQs /'qs. ^ 'oql(63.26)oбщee реrшениеканoниЧeскихypавнeltий ГаMиЛЬтoнапoпpex(нeмyoпpeдеЛяeтсяфopMулаMи(63'9), кoтopьreдЛя кollсервативнЬlх сисTеМ свoдятся к фoрMуЛаМ.aw''.,'aso@pawoapASAWoQooQoAЕ'(p: l',,.'з- 1)'(63.27)(63.28)(63.29)Фopмульr (63.28) дают yравнeниe траeктoрии сисTeМы в кoнфигypaциoннoм пpoстpаIiствe, а фopмyльr (63.29)уpaвнeниетраекTopии в фазoвoм прoстpанствe' Эти рeзyЛьTатьIпoЛyЧаютсяв метoДе Га^4ильтoнa_Якoбинепoсpeдственнota не пyтeм исклю.чeния вpeмeни в фopмyЛах ЗаKoна дви)Keния систeмы.4.
PазДeЛeiiиr rrepeпreнrrьIхв ypaвнellии гамильтoliа-якoби. ИнтeгpиpoвaниеKанoническиxуpавнeний ГаМиЛЬтoнaэквивален,lгlooтысканиЮ .loлнo-o ин-e раЛа ypавнения fамиi1Ь.Toна-якoби и пoслeдyющeму диффepенциpoвaнию пoЛнoгo интeгpаЛa в сooтвeтствии с теopeмoй якoби. Если oбoбщeнньIe(oopдинаты вьIбpаtlьIтак' Чтo гамильтo1lиан бyдеT сепаpабeЛь'ным, мeтoд ГамиЛьтoна'якo6и peцIениякaнoнических уpавненийГамильтoна oказываeтся бoлее пpoстьIм, Пpeдпoлo)киl,t,Чтo гa.п{иЛьтoниаI,lсистeмьI яBЛяется сeпаpaбeЛьным:н : E ( л k t ' r l t ) ' .
. . , a h ( q h , p k ) , q k + | , .q. ."', p * + r , . ' ' , P , , t ) ,(63.30)li 63, r\IеmоdГaмu]bmoнa-Якo6u306 Гtава |1' npoввodяu|uе фцнкцuu кaнoнuчeсl{uх'npеo6pa3oванuiгдe д' паp канoничeскиxпepeменнЬIхoтдeлeньr'/t < s. ТoгдаypавнениeГами"rЬтolla-якoбибyдетиNlетьвиДASз07из (63'34)видl]o.чтo пoлньIйинтeгpа,']s({'o't) явЛяетсялиtlейнoй фyнкцией цикJ.]ичесl{их кooраи нат, .[I'ля каждoй цикличeскoйкоopдинaтыq, vpaввениe(63.34)свoлитсяк yравllению,ts.\q);JS\os- t i../l . t /{ q l . - 1 .
. . . . , //. 1 , t.it\, I{l l.L- -l . q r t . . . . . i / . ^\\oql,/\oqь/i,,ч \^....... ./l-u.nч,/(63.31)гамилЬToнианoввсe фyнкцииpr (l <. L:)для сeпаpабелЬнЬ|хявЛяютсяинтeгpаЛаМиизaвисяттоЛЬltooт дByх пepс.дви)<eнияМенньlх' l,)=.L,,:ll' (ql.pс.nst,(63.32)Пoэтoпtув ypавнении(63,3l) интеграЛыдви)кeнияlд могyт- а в и с р , Ь, o | Ь o o . к o o p д и ч а. -/ Р ,э ] o в o a \ I o ж , ]eo( ,Л ип o л н Ь | | .интeгpаЛсo6oйсyпlмy]'' лpeдставляeт) . q ( q ^ +,r4,". r ) .s = t s " ( q .+5..(вижeние в цeнтральIroм пoлe и пoдe дипoля (кarroниqeские пepeмeнrrьIe).HайДeNlypaвнeниeфазoвoйтpаекTopиии закoн дви)кeниячастицьIв сиЛoвoмп0лe' пpeдставляюще]!lсo..,.'.l1.6 o y с ' P р п o l и U и ю е r jг р а .
r l Ь н o,гol J' l я ' l . | и n o . - "o , o , "оPиel]тиpoваllнoгoвДo"1ЬпoЛяpнoйoси сфеpинeскoйсистelrьiкo.opдиl]ат'ПoтeнЦиаЛьнаяэнeргияLl(r'0) частицьIв этoNlсi1yчаеN1o,кетбытЬ пpедстав,!eнасyпrNloйl Il 'А! -u | 1 - |+n.osv1-|иЛи ка)кдыl\t сЛагаel\lЬll\t tio oтдeЛьнoсти,ГаtrIильтoнианчастицьlв такo]\lпo.]]еяBляется селаpабeЛьвыN!в сфepичeскихкoopдинатах:аs,S,JSt\,/S \ ^/ ,/Sr\r f,l,l1. r l|i / l - - 1 ...rl'tt',, |.ak,1,....q....-..
.-./l-u.oQ,oq. )\ \ ,,,/r,/\ oq|J(63.з4)(63,34)o'ГдеЛиЛасЬKoopДинатнaязависимoсTЬв уpавнe!{иив видe кoмбинацийчэ,Q,'dS,(q")/с]q,)дЛя ка){<дoйлepемeн.нoit,r,'0I = l'''',,{) в oтдeльнoстии для oстаЛьнoйсoвoкyпнoсTипеpеп{енI]ь1х,Пpи этoм в сooтвeтствиис (63.32),, (',,!!#):.l/, (д: l,,,,,A).аi \d5- ''|JJ^ | Ё / l n l ' .
. , ' . l l . 4 [ - r ' , , , ' s ,^'',,,,]"'llot1.(63,з5)н: }l'?.+*,.#V'- u*!,3]г':}ri+"tо+}70. (6J,J6)ypавнeнийпepвoгoпopядка(63,34)и oтьlска.фeрeнциальньlх(63-35)lJиюпoЛl]oгoинтeгpа'lа'9 уpавнeнияГамильтoна_яKoби.?сosdу!,+ 2п,t сos0+*L1,1SrLr_U lLПoэтoмy тpи гlеpвьIxинтeгpаЛадви)кeния м0xl]0 пoЛyчитьlrpoстo из вида гамилЬт0I.]ианa:Pp : ?,p0_ uиклиvескaя);(кoopдинaта,,;.lpa | 2ndсo'0 ./3адача oтыскания пoЛнoгo интeгра!!а ypавнения ГаNlиль.т o в а Я к o б и с в е J ' I а с Ьк и н т e г p и p o в а н и ю / ! o б ь t к н o в е н н ь l х д и ф .с мeньшим чисЛoМ пepe]!!eI]ньlх.сoхpаняющийсяoбoбщeнн ь I "oтсюдаи иMлyЛЬс,(63,з3)(63.33)в (63.3l).имeer.rПoдставЛяяoqI.tа1o:5'.(q") a(d)q., гдe od .-.' ^р|u_,,-,-,'"'(канoI]ичeскиeпepeN1eннЬIeB.
26 сoaepжатся в гаN1иЛьтoнианeв виде oTдeляюureйсяфyнкции);Iro: в =..""t+ u\r)+2mp;2;р(гаD!иЛьтoниаl]нe сoдeрxит явнoйзaвисимoстиoт вpeпleнии дис.сипативныeсилы oтсyтствyют).308 Г,Naва14.]7pouЗaodящuефgн|.цul кaнoнuцескuхnpеoбpa1oвaнu(lнайдeнныe импУльсы ppt p0' p. в сooтвeтствии с теopeмoйяк06и paвны так)(е пpoизвoдt|ым oт yl{oрoчel{нoгoдействиЯ пoканoниqeски сoпpяхeнным (oopдинaтам: 0W /0q" : pu. |1oэтoмуS = Еt + w(r'0'9'pф'a, E\ :: _в'+ т',o,еz^a"*o_o6Ч+"i.Ч +laelfi|Г,+ |dr1|2n (Еu(r] ^_-...Бl ' (tj3,37)Оа|г2]deut; z",a"-re-"t"t"цasopфr_!lц"1;1""cl ;j,d.0J вl,n20 1fo _ 2md ссts0 ppo2/sin20Пoстoянныep0, дl, p2 oпpеделяютсянaчаЛьнымиyслoвиями'эти фoрмулывмeсте с фopмyЛамидля ка!]oничeскисoпря.p9' pa' pr '.aю.| в oбщeм видe рeшeниeпo.)кeнньIхиI!1пyЛьсoвстaвлeIlн0и зaдaчи's64.
пrpеIt'€ Е rrьIe <действие -yгoл ')Уpавнeниe Гaмильтoнa-якo6|'1Й тeopема яKo6и oстaнyтсяв силe,eсли вмeстonoстoянных@l,...'oз в s(q,o,') испoльзo.вать нoвыйlrабoр-вoспoльзyeмсяэтoй нeoднoзнaчнoстьюи сфopмyлиpye!'эффeктивныйi,|етoдвычислeниячaстoт систeмы, сo.yсJloвнo.периoдичeскиeвеpшающeйдвижения,Класс мeханических систeм 0гpаничиI\,|кoнсеpвативвымисистeмами'и пpeдпo.лo)ким'чтo для ка)кдoйи3 вих сyществyетxoтя 6ы один на6opкаIloническиxпepемеllных' в кoтopых гамильтoниaнявляeтсяпoЛнoстьюсeпарабельным,и' слeдoватeльнo,ypавнeниeГамиль.тoнa-якo6и дoпyскаeтIroЛнoepаздeЛeни€пepeмeнных.тoгдаS : _ E t + w ( q ' ' .
. , q , ,o 1 , . . .' a " 1 , - Е )309и yкoрoчeннoeдeйствиeIy являeтсяпoлным интeгРaЛoмypав.ненияaW\/ o w 1 1 : Е.r' '' | /\ p | \ c | ' а q |/ ' . . . ' 9 " \ ' ' ' a " ) )(64.l) дonyскаeтУpавнeниePеtllениew:D"k)'o\JYHoвыe peзyльтатыпoЛyчаютсяoтсюдасoгласнoтеopeмeЯкo.би в видe втoрьIхиtlтегpалoвдви)кeнияпo фopityлам^аsгmdror:oJ' l z ^ ( \с _ u t , l _2mг" .\JvaSs 64, Пеpе eннbtеodеtlсmвuе-g?oлu(64'l)(64.2)д=lФyнкuии tо,(q,) пpи этoм нахoдятсяиз ypавнeнийd,, (q,)\- /-q"'---i.= o!,pу|\oq(д) /|(64.3)(Злeсьp : l'..., s, и на индeксьIв скoбкaхяe распpoстpаняeтсяправилoсyмMиpoва!lияпo два)кдьtпoвтopяющимсяиндексам.)Пoстoянныeсrl,..., a", Д связанЬtсooтнoцIeниeмII(ц'...
'с!в): E.(64.4)Пoдставляя найдeнный таким oбpазoм пoлный интегpалS(q'o't) в фopмулы(63.9):p" = OS/Оq", 9" = as/aa.'(64.5)пo.,Iyчим'в сooтвeтствии с тeopeмoй якoби, oбщee peшениe канo-ническихУpавнений.этo pецreниeсoдеprкитypавненияфазoвыхтраeктopиЙв видеaSaW dш,'h,'\p ] r _A ^ _ ^ . : - ; - :=p/.(q\д/'o'.,,,'a")'(64,6)UчllUчуuч|цlKа)кдoeиз сooтпoшeний(64.6)пpeдстaвляетсo60й пpoeкциюна ф-азoвyIoплoскoсть(1д'qд)мнoгoмеpнoйфазoвoЙrpаектopии,Движeниeявляeтся,с!1oвнo.nеpuoouческu,'ёсJIика)кдаяизпpoeKций(64.6) являeтсялибo зaмкIryтoйкpивoй (,|uбpацuя),Либoпepиoдичeскoйпo q/,фyнкцией(вpaщенuе)'Paдиyсы.вектo.pы ri : ritql'... 'qsJ частицсистeмыв этoм сЛy.,аeмoгyт бЬlтьпpeдстaвЛeнымlloгoмepнымpядoмФУpье:г.:ReL.''IC i f t | ' . . .
, n " ) e х p ( - i ( n 1 а 1t ' ' ' t n " u , , ) t } .rc4.7rкoличeствoнастoт в (64.7), oтнoсящихсякак цеЛыeчисЛа,oпpедeляетстепeнь выpo)кдения.систeма нeвырo)кдeнa,eслитaких частoт нeт. нeсмoтpя }|а тo, чтo всe exp{ rinr.l,l} *r|]|0 Гlавa 11, Ilpoulвoояll1uе фцнкцuu канo|luц|.|кuх npеo1pаЗaва|шnI l c р и o д и ч е с к и е ф y н к ц и и ' r , ( / ) б } Ц у т п e p и o д и . | е с к I r N Iфи y н к ц и я I l ив p с l l о н и т o .
n Ь к oв с J y ч а e п o Л l l o с т ь ю в ь l p o ) к д e l l l I o ис и с 1 e l \ I Ь Iк.o г д аa с е ч а с т o т ь l с в я з а I l Ь |p а ц и o н а " 1 ь I i ь I l l исooтнoLllеllия\lи,д . r l я у с Л o в н o . п e р и t - l д и Ч l ] с | {дивхи ж е н и й ф у | r к l L и и( 6 4 , 6 ) N t o ) t { J I oп P o и | ] т е г p и р o в 2 т Ьп o n с p и o д y и Л и ц e Л o ] \ l уц и к . ! у и з п j с н e I l и я q / l .L ( и I t Л и ч е с к и N 1к o о p j L и 1 | а T а Nс 1 I l o с т o я J ] l ] ь I N ! сио I ] р я ж е н н ь I м и и ] v I l l у ' 1 Ь с а ]и\ М o ) к н o п p и l l и ( а т Ь п с p и o д ' р a в l r ь r й 2 г .
Т t l г д а--- 'фt ' u \ u L , ' ' , , ' . " " ) , 1 u ' ,(ri4.8)B е J r и Ч и t ] ь l' - 4 ,и п l е ю т P а з N l е p н o с т Ьr I o ^ t e н т аи N l п у ' ' I Ь с аи Л и д е й с т в и я и н а з ь I в а ю т с я n еp е ' | 1е] 1н ь L м u o е u с п в u я ,( 6 4 , 8 ) н e з а в и с и N l ь I 'п o с к o . п ь к у н e з а .ПPи всех д сooтtloIIIeIJияв и с и N 1 Ь Iл а p ь I p / ] . ( / ' к a н o н и Ч с с к и х п е P е l \е н | l Ь | х . I l o э т o l t у l l p ип o N l o щ и с o o т н o I I I е н и й ( 6 4 , 8 ) ь r o х < н oв в е с т и в N l с с T o н 2 б o p а п o .с т o я l l l { Ь I .хr 1 ' , , ' ' . 1 r I I а б o рз д e й с т в и й ' . / 1 , ' ' ' ' ' l . , P а з p с ш и в ( 6 4 ' 8 )o T | l o с и т е Л ь I J o. r / l . п o . Ц y t | и п , Iс t ' '= t t , ( J t ' , , , ' J " )(/l= l.,,.'").(61,9)П o д с т а r t o в к а( 6 4 , 9 ) в с o o т н o ш e н и я, Y ( o ) = l , . I l ' = I i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
