Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 50
Текст из файла (страница 50)
I о в аI 5 , K o ч n u h ц а 1 b н o | еu е n o d ь | o | ] n а , x u к в,$ 68, ТeнЗop наnpя1{енun(67,8):oлрeделяeтсяфopмyлoй't\. ' t ) ) d з ( , ( 6 sl')]Г \A'б":dLI;д(r;_rд|)я в ! ' I я ю т с я п o т e н Ц и а л Ь | . ] Ь I N l и .з a в и с я l ц и м иoT врепjeI]итoЛьKo Чеpeз кoopдинатЬIчастиЦ' .цлЯ дaЛЬнейшиxпpeoбpазo.ваний зтoгo вьlpа)кeниянеoбхoдимoyказать явный вид фунK.ций Liki, харакTеpньIесвoйства взаиМoдeйствийсoвoкупнoстeйчaстиц. пpeдставЛeнIlьlхв (68.1),силЬl взаиМoдeйствияlмe)кдyнейтpальнымиМолeкyЛаNlияв.'1яюTся кopoткoдeйствуюЩиllи.Типияныl't пoтeнциалo[lэтoгoкЛассав3аимoдeйствийявляeтсяпoтeнциалЛeннаpд.д)кoнсal (г, r()_4,{r' L)L\'rl_г/ /('_ s ').}\ l r ' г } |/J( , ] а p а с .
т o я | ] , , i я х' r i - r ] . ) ' 2 о в l o и i \ l o Д е й с т в и е' l р а к - и U р с , { . ]o . .A(г)i=1а(.+св,u_i.'-)]o.(68.4)Пo yс,roвию г;д - a q дl/3, Cлeдoватeльнo."гч а с т и ц а N t ис и с т e N 1 ьдI а д у т л и ш Ь б Л и з к o p а с п o Л o ) к e н н ы eЧ а с т и ц ы 'т. е. мaЛыe гi _ ri, ,замeвим индексЬl супlмиpoвания в (68'l) пo пpавилу ; ё }и peзyльтат слoжиNl с исхoднoй фoрМyлoй (68'1)' ПoскoлькyОUiд/0t,,,: _DUцlQaft'2^ J|-г.\ (")i=i0L';д( г, тд|)|d(r+€At'i.lгrl)2)dlt_a(r)i=i('".здeсЬ штpихoN1oбoзначeна пpoизвoднаяпo lloлнol,y аpгyп1eнтyoтпoтeнциальнoйэнepгии U,/.,силoвoе пoЛе Ф.(r.l) лля систeмьtч а с , r ц с p а д и y с а v ив l . и v o ! е Й с т в и ля o p я д к aи х Л и н e ; F "ч р а з V е .p0в 0кaзываeтсяпoтеIlциаЛьньIМ.зп0тeнциал0м'с'1y)китIlpичeп{тeнзoDнoепoлe""r(.,0т ' ( i ) )_€= ,.n{,! Ji,'.,' ,'ч;rrr._JбyдeмимeтЬ,э1|_,,.1o..иNleют ilалЬlй pадиyс действия, тoгдa oснoвнoй вкладвo взaиМoдeйствиeI\r(т,') частиц окpeстнoстиA(т) сo всeми\',о.=:д] I( п)..:-.;,-\L"ri=i'сyтствyeт)'Бyлеll свитатьдаЛee'Чтo в фopпryлe(68,l) пoтeнши.аJ']ы г;i* с ь^*}..^)[o(.0,?lцьI пoлагаeп!'такиlt oбpазolt,Чтo си"1ывзaимoдействиямeждyчастицаNlи329I(,:- .?)r",'r;),r l"+ r.,.z-',г.
гt,2^J^(")i=ixd(r+{( г ;* . * ) / 2 ) d , ( ) . (68.6)_ d ( r + € _ r l ' ( l ) )d] J ( , ( 6 8 . 2 )yасст0яния ме)кду частицами Ntoжн0ввeсти явнo' пoл0жив.,=&u+i",*,.u=&o- i",.,гдe гil : г _ гr' R,l : (т' + rl)/2, тoгДа(68.3)ча.взаимoдействияN1иTeнзop o"!(г, t) пoлнoстьюoпpeде!']яеTсятeнзopна.tlазванmен1opoмнanpя'сен',.стиц и ltloх(eтбьlтЬ(68,6)изнепoсpeд.пpя)кенийсиммeтpичeн.Этoт фaкт следyeтствeнIlo,систeмы частиц,TаKим oбразoм,ypавнeниeбаЛансаимпy,.iьсавзаимoдействие мeждy кoтoрыMи иi{eeт эффeктивный pадиyслopядкa ЛинeйньIхpазмepoвчастиц! мoжeт бЬlть пpeдстaвлeнo330в видeфauмoоеt|сnвuе'| 33ls69, сuсneмы ча.muцc кgлoнoвсI<ujxГJtава I 5, Koц n u ]1aа л b'|b|е еnodьt oI1нo Лu n u,,.aА'u"*hu"\ o-"r\ou"(68.7)иЛи' приIlимаявo вI]имaниеypавI]eниeнeпpepывнoсти,/ne (йl\"v)AlPoB J d|,в1,'" ',.:L::----! _ о(Р.(68.8)Мьl считаeм, чTo систeма частиц наxодится вo внeшнeМгpа.витaциoннoм пoлe.
Бoлee пoЛl{ьlепPедставлeнияплoтн0сти вl]еш.них сил сoдep,(аTсяв выpа)кeнии(67.l7);их сЛeдуeтвoспpoизвe.сти в пpавыхчастях(68,7)'(68.8)в сooтвeтствиис физичeскимиусJ0виями зaДачи,макpoскoпическиxpaспpеделенийд0Лx(Iloсoдepxать ypавнeниекoJлeктивнoгoпoЛя.пeрeйДeмк кoJичeственнoйфopмyЛиpoвкeкo']лeктивнoйдинамики частиц и лoЛeй.с этoй цeЛьюпpеoбрaзyeмвыраxeниe(67'8).иMeeмгд|).1 Г \- oU;д(|г;.":(г+(_г;(t))dз{:al0,1i": *j tвзаимoдействиемчастиц()кидкаяфаза).IAl.
УpaвIrelrrrя 6алаtсa иnnпУльсa элeктpoняoй и Пollllыхкoмпolleнт сllсtсмьI. Pадиус lействия кyлoвoвскиx сиЛ, как этoсЛeдyeт и3 фopмyЛы Pезеpфopдадля сeчeния paссeяния' явЛяетсябeскoнeчнo бoльшим, Этo oбсToятeЛЬствoдеЛaет нeвoзмo)кньlмсвeдeниe пЛoTнoсти силы в3аимoдeйствия частиц к дивepгeн.ции тeнзopа 8апpя)кeния.Ho oбщая фopМyЛа(6Z8) для этoгoсиЛoв0г0 пoЛя oстанeтся спpавeдливoй, eсли пpeнебpеЧь запаз.дьIваниeм взaимoдействий и считатЬ Uii pавнoй пoтeнциaль"н-oйэнepгии кyлolloвых сиЛi U&: еieЬCih (G* : 1/']г; _ rt|).Kpoмe тoгo, фopмула (67,8) имeет мeстo дЛя гpавитациollныxcЙл.. Uik :1m'imhGik. таким oбPазoм, фopмулoй (6z8) прeд.стaвлeны плoтнoсти сиЛ взаиМoдействияlllиpoкoгo класса фи3и.чeскиx систeм,B кoллeктивных взaимoдействиях с BнешrI'иllltиэЛeKтpolnаг.нитtlыми пoлями (67.l7) системазаpяженныхчастиц былj лpeд.ставJeна набopov динамичeскимифyнкций. oлpецeЛяющимpас.пpeделeниe частиц: плoтн0стью электpичeскoгo 3аpядa, элeктpи.чeскoгo тoка, дипoЛьнoгo мoмeнта и т.
п' Тeпepь эти фyнкции са.Mи дoЛ)i<ныслyжить истoчниками силoвЬIx пoЛeй' сyп4мирyeмь!хс вI]eшниlltипoлями; ypавнel]иебаЛанса импyльса в тepп|иIlаx(r + €a(j )*tI J.r(t)):,].аG(|г + € _ г , l )г)Aro.L[Рi0(r+q_r,ll,,PA.o(гг д еG ( | r + €г'(t))dз€ =аU.}(|r+€-r,)dv'a3aимoдeйстBиеllг,.)!,JJou d3с>j6 (r"ooP. вызваннoe$ 69. Уpавпениe бaлaнсa импyльса систeм чaстицс кулolloвскимa*"i=lB ypавнeниях (68'7)' (68.8) тензopЬIPal' oo! сoдеpxатсяв вnдe суvvы, Bмeсге с тeм oни имeют pазнvюqизи"eск1югIpирoдy.llpи oднoм и т0м жe мoлeкyЛяpнoМсoс'Гавев yрaвIje.н|1Йбaлaнca импyЛьсaМoжeт oказaтьсяпpеoбЛадаIoщимкиI]e.тическoе да&пellиe Pop (raз\ ил|1 {напpя)кeвиe'ац}(г+€г l - l lJ j | .
( o v , I'r , | )= l / | r+ € ' ' , | ,пpeoбpазoваниясвязaныс испoльзoвaниеМдаЛьнeйшиeфop.пo всeмyпpoстpанствyмулы (65,13)'сoгЛaснoкoтopoйи!]тeгралoт динамиЧeскoйфyнкции Pавен таKoмyx(е интeлpалyoт oпpe.на o6лaстиA(г) пoЛeвoйди!lаMиЧeскoйдe,']eннoйфyнкции. ис.пoЛьзуяэTу фopмyлyп0 oтlloшениюк пepeмeннымс0 штрихoМ'мы мo)кeмпрeдставить(69,l) в виleac(lг+€ 1-*l*, Ia"еla"сAx"с,|)a(").'[e,6(г+€_г.{t})P}d(г, l €,_гA.(/})].(69,2)Фopмулa (69.2) sьlpа)кaeтсиЛy' действующуюнa частицыпoля,их сoбствеtlнoп4пoлe' пpeдлoлaгая,чтo кoЛЛeктивllЬIe332Главa 15, 1{онmuнцa]bньIемеmaаы duнaмuкu,!J*'auу';,;'t lтак )ке как и внeшниe сиJ.IoвЬIпeoЛя в (67,l7), мeняюTся tMед.ЛeнI]o на Mасштaбaх физичeски бeскoнeчнo п!a!'IoгooбъеN1а, i\'IьI\ 1 o ж e \ ]4O e ' с | а в и т ь , o G , r(г _('or'ввц!еpа.|oчeлия,Ьс9,рoизвo..]г]oс,e.р я\'ll€;op.Ч.чl(с.alаe\,Ь.vи€нЬlNlи фvнl(ции G нe слишкoпj вЬIсокoгoпoрядка, Принимая вoвниllаниe т0Лькo тpeтии пopядoк пlалoсти' пoJ'Iучи]\1о": .lJav,J'з., | ,'.rdC|IaaIot<JI^(г,]++i]xo"'^n *2,a','a !,',-r''о! u',",,"фffi ы,',l*!o't'tl!on,ц*ff$;fl o,rt.a,F,,D- f,a,l)! аv,,а]G{r_I,)0,.ffiq""t't )+ " "(69'J)3ДeсЬp(т,J) _ пЛoтнoстЬэЛектpическoIoзаpядa:q r " ( r , l ): ;IгI L t,€i(i'l(г + с.)./il,ll), -'o,,,',,Inу;'.:',ОJ'}, tьs,,lrI J)как Лeгкoвидeть,вырa)кeниявo всeх трeх фигурнЬ|хскoбкаxсoвпадaюти ]\4нo)киTеЛяI{ипри них слу)каTсoсTавляющиeoпe.pа,roрaa+#,: _,1.',1+t)ре,'0|,(''Jar,99$IDI,у*!n,t.tl|,u,ff;flо,rр |.1r, )| е ; r i ( т + ( г , ( l ) ) e i d ( г , + с /4 ( , ) ) ]:xdl'(t,,t) ..]'\t.t)l dv,ffff!.{},t".I| ru dl^1...
n1..,, ,' ''l.r' .'.,'' f"''d'Yi+':tJ-"*uЗ##е tо*|ffffic,_1,,1t'q,,-с,,)+,,,},x!33З$ 6 9 С u ,ц " л ь ' ц а . n u u ' ^ ! , о d o в < u q в ' о u l о d p э ' n в u ' лг.(i))d,{j1.l_ т е L l з o р н o e п 0 . n еЛ o к а Л ь н ь l х к в а д p y п o . q Ь н Ь I xN l о N { e н T o вo' п р e д е Л я ю щ e e ( н a p я д у с п Л o т н o с т ь ю з а p я д а и п o i е ] \ l д и п O л Ь н Ь I xм o п l е L l .т o в ) р а с п р е д e л e н и еЧ a с T и ц с и с т e М Ь I .C г p y п п и р у e м в ( 6 9 , 3 ) с Л а г а e м ь I е с! o Д e р x а щ 1 1 еp ' d | 1' q p v, T a Г n aпoJ.IyчипlG ( .-r т ,1o": l{_ jаr,аG(E;",)/,G,'t)+ a ,AroAxPdp(r,'О _ldv,!, - r r.
t\ - Jl' r t\ r.ll-o)t,l'''r't\---:Ax"A"(6e.5)Пеpвoе с,]агaeпjoeв фигуpl]Ьlх скoбках лpeдставЛяe.ГсoбoйэЛeктpическoепoЛe. сoздaIJнoеРаспpeдеЛeниеMзаpяда p(г'l),ПpоoбpaзyeMвтopoeсJIагаeпIoe:,2G| т!nu'О,-1""u'l|'t|'I,|):а't..,'tl: l av,a|!$'p а,r.,,t:l|iJС,-',o.,,,",,""1,|,,','с'J"ггr.r.',/lr./jИ н т e г p а л п o o б Ъ е N l y o т д и в е р г е н ц и и т e н з o р н o г o п o J ' I яп p e .o б р а ' у P , .
q в и P т р | p а , l - о б n , r о . р " Р о } - а ] р r l o , п o в р P \| - о , I rи oбращается в l]yЛьl так как частиц на бeскoнeчнoсти нeт,o с т а e т с я с л а г а e п j o e 'п р e д с т а в л я ю щ е e с o б o й э Л е к т p и ч е с к o е п o Л e .и с т o ч н и к o N jк o т o p o г o с Л y ) к и T д и в е р г е н ц и я п л o т н o с т и д и п о Л Ь 1 1 o г 0T p e т ъ е с Л a г а е N l o rв ф и г y p н Ь I х с к o б к а x Л p e о б р а з у e т с я а н а л oг и ч I ] o и п р е д с т а в Л я е Tс o б o й с o с т a в л я ю щ у ю э л e к T p и Ч e с к o г oп o J I я ,истoнникoмкoтopoйсЛyжитдивepгенцияве|<'|apaaq|I"fall, Э.Гa.|вeктop пPи пoN1oщиoпepации дивepгeнции(пo oднoMy из тeнзoрньIхиндексoв)связан с пЛoтнoстьюTeнзoраквадpyпoльI]oгoNloNlентa q/,",|lov,ffffi',-t','о:L Г .
, . , / J G ( ] I r , 1 i t l ц l " 1 ' ,' 1 ,|'lUОflJщU'TаKиМ oбpазorм,пЛoтностЬсильI взаиМoдействияФ"(r'l) Час.тиЦ с сoбствeннЬlмкyлoнoвскиMпoЛеM,4.,(I'l) ипleeтвид33'1IГ,1t1вс|l 5 Кoнnuнg.l,Ibнuе jrеno.Jb| duнaLufu ,'ji!|)ф"(r.l)= p("](I't)л..\,' 0 r а31,'цd*'f,n*в'оt!*!,(69.6),"q..,r: .lJri.,ct, r,t,,Так какL'lц#! - :,#;i|r,r"',l','i)'Gt, Ir'l)О.t'"D.t":4т,Jьt(69.7)(rjg.8)I,)'пpeдставитЬв дифферrIlциаlrЬнoйфopмyлy(69,7)Nlo)кнoфopl"lе,,(69,8)вьIчисЛяядивeргенциюпoля (69.7)'испо,lьзулфopпrулyи интегриpуяpeзynЬтаT пo леpеNlе|lI1Ь|NI сo l]jтрихoN'I] прихoдиNlк ypав|lению элекTриЧескогo llоJя:d]vЕ:4т,.[,-:Ч#!* .'],tuэ'ol|_,)#:,!B ь l p а x e н и е д " r я с и л o в o г o п o Л я Ф .
' ( т ' t ) м O ж н O l l P e д с T а в и т ЬT а к ж eв видеФ , . l г i ] = , ' ] 1 т t. ) д , ( г , / ) '(69.10)где.i...(г'l) yдо-вЛеTвop'lетypавнению(69.9),J P а в I ] е н и e 0 а . l l а | l с аи [ l п v Л Ь с а с и с т е N l ь tч а с T и ц с к y J ' I o н o в с к и N lвзаипlодеиствиe]\{ пo.l]vчаeтся тeперь Ityте]\l пoдстанoвки вьIрах{e(99]6]'(697).(67'17)в ypавнеrrиебалаltсаимпyльсао6щеro""йвида(67'21),Пo'rvuаeшl+fi1".,,,,,,r"r'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
