Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 49
Текст из файла (страница 49)
t)' и неoбxoдиl'loпoЛyЧитЬвeк.тoPнoeуpавнeниeэвoлюцииIlЛoтв0стипoтoка за счeт взаимoдeиствии Междy частицами!а так)<eпlежДyЧaстицамии сиЛoвьlllипoляl!1и.$ 67. Уpавнeвия бaлaнсa импульсасистеМ взaимoДеиствyющихчaстицПoлныйимлy"lьс частиц'наxoдящихсяв]\joi{eнт tв A ( r ) o к р e с т н o с T и п p o и з в o J , l ь н o йт o Ч к и г т p e х м e р н o г o п p o с т р а L Iс т в а и o т н е с e н н ы Й к e д и н и ц e o б ъ е N { а ,P а в e н ( 6 5 , 7 ) :'' . !IfaG)'-', , ,' " r r l o l г ' 1 - r;(r)),tJ(. (67.l)(Здeсь и далee индекс у гlЛoтнoстимассьl p(i,i)oЛУскается;ни)кние индeKсьIиспoлЬзy|отсядЛя нуп'еpациичaстиц; веpхl]иетeнзopljь|eиндексь|не имeют пpеиMyщeствпeрeд ни)книп{итeнзopньINlииндeксами'пoскoлькуздeсь кoнтpаваpиантныeи кoва.pиантныeсoстaвЛяющиeсoвпадaют.)(67'1)по врeмeнии унитьrваяфopмyлy(66,3),циффeрeнциpуядЛя пpoизвoднoй.).фyнкции,найдeI'1Itr''t**{^.1"',,l'vi(t).',r(,).j(.+ сil|..(l))d.сir ! ) ) , l J Е .
| 6 72 || )_l,,,;; 1lloiг+ ссиMмeтpиЧнь|N4пo o' о тeнзopoпrв (67'2):(66,|8)т, е, l'ij(I' 1) _pIt,l'l'|r,!\ _32З$ 67, Уpавнeнuя6.lланса uмnц]ьсaГrl\t1''",r'/' - ]г (,]'.l't||","''.,'';',oг|€Atг),=,|67зlпpeдставЛeнoтензopljoeпorle плoтнoсти I]oтoкаимnульса, Пpиинтeгриpoвании(67'2) пo пpoизвoльнoпtуN1акpoскoпичeскoмyoбъeмy y. oгpаllиqeнноNlyпoвеpхнoстью,5, пеpвoe сЛагаeMoeдаст изIIенeниев едиIlицy вpelleни пoлвoгo ипlпy'llьсачастиц'нахoдяrцихсявнyтри S:: ]!*",ul*,^',0'Bтoрoес'rагаeмoепPи кa)кдoNl.r N1oжнoпpеoбрафиксиpoваннoNlзoватьлo фopмyлeoстpoгpадскoгoГаyсса.тaк ятoI :1n,"t-'|- ,,il _ фl l"../5;'l J:t."l\lи f[."есть лpихoдяцийся на единицу o6ъеNlа пoтoк.r.кollгloнeнтЬIиltlпy''rЬсa.кoтoрый пepенoсится частицами в eди.н и | ! в р е I { е н , .Ч] е D e .
' , l р v l r н ] - o в P D \ н o с | и ' п р p | е . д Р h v . п Я p н ы ,oси ,o дeкаpтoвoй систeNlЬl кoopдинат- динамикa систеMьIтoЧeчных частиц oпрeдenястся ypавнeнияNlи дви)кeния (65'I),Пoэтoмув пpавoйнaсти\67,2\N'.11],1'-|l|- r' |rl'vt.1l-'),)' ''{(l'I;l,iгrr,|)'(67.4)где -4"(тi.v''t) _ сила, действyющаяна частицyвo внeшнихпoлях.Пoдставляяв (67,2)уравнeяиядвижения(67.4)и oпpелeЛeвиe(67.3)'а такжeисЛoЛьзyяравeнствoг,.|r с _ r')lJ{ = |/(. +€)6G +€| / ( r , ) 6 (+.JJ.i).lз1'(67,5)вьIтекающeeнeпoсpедственl.]oиз oпpeдeЛeI]ия0 ФyIrкции.пoЛyчаeNlypавнeниебаЛансаиNlпyльсасистеМЬIчасTиц в видe+с,..'}о,'l *o!!: Фi},'.1(67.6)324Г1а6a |5, KoнmuнцаhньLе меmodьl du|1амuкu,s67' уpaвненuя6anaнсаu,цnцlьcaгдеравньIнyЛю вслeдствиe(67'9),и пlьIпoлyvим'.NФЁ*l= т | ! л1'1.'."',t;а1.+6a ( r )'r,(r))r/r(: I J l ) _ r .
. 1 1 г - 4 _ r u / , 5 t r - € _ r , ! / J , i /{J 6{ 7 , 8 Jr(") l==\_ плoTI]oстЬсиЛы взaимoдeйсTвияN(r,l) частиц oбЛасTиA(г)сo всeми частицамисистeмы.3амeтиN1далeе,'lтo для всeх г пoлe скopoстeйv(r'.) опрeдe.ленo фopмyлoй(66.6):;r €| )_ ll,,vi(t)ri(+- т l ( i ) ) ' / J 1::,r'(",1)A.l^(..)из кoтopoЙследyeTPaвенствoгдe| ''--, , , , u ' ( i ) d ( г +Iг i ( t ) )r l з ( : 0 ,{ui(r' t) : vi(t)v(г' t)(67.10)(67.11)сKopoсть частицЬl за вьlчеTollскopoсти цeнтpа масс Д(f)oкрeстнoсти' |1л|1скopocmb mеnloвo'o do!э!се||uя.rастицьI, B сo.oтвeтствиис (67,9)сyмма всех имI]ульсoвTепЛовoгoдви)кенияЧастиЦ ^(r).oкрeстнoсTиpaвнa нyЛю. Нo л'1oтнoстьпoтoка им.пулЬса тепr1oвoгoдви)кения oTJична oт нyля, Этoт вкr1адмoжнoвыдeлитьв выраxeнии (67.3)для ll."(г.t) пpи гIoмoци фopму.льr (67,l0).
CлагаeмьIeвида{ )_,'l.v''1r;п,iг,/)аtr- €Р-(".0:*J>. г 1 1 7 ; , / r_1m:II l'a|rlс- г illl4.tсЙмМe.|P|1чBoеmенlapнoе na!|e кuнеmuчес].aеadaв,xе||uя'.feн'зop Pд"(г' t) oбpaщаeTсяв нyЛь!eсЛитeпЛoвoeдвиxeниe частицoтсyтствуeт (ui : 0).ПpиниMая вo вI]иМaниe(67.11) и ypaвнel]иеlreпрeрывнoсти(66'7)' лeвyю Часть yравнения бaЛанса иI'lпyЛьсаNtoжнoпpeд.ставить в виде суммьI пpoизвeдeнияплoтнoсти массы на субс|аьJиoнаЛЬнyюпpoизвoднуюoт пoЛя скopo.теЙи дивepгеьur]итeнзopнoг0п0Ля кинeтичeск0гoдавЛeния:\- p l/ а^. vvl ,'\orJа- ^P''"- . (0714)o!"Пpавая насть уpавнeния баЛаIJсаимпyльса (67,6) сoдepжитвзаиMoдeйствиeчaстиц с в|.lешниltlилoляьlи (67,7) и дpyгиMичастица11исистeмы (67,8). Bo внeшних гloляxj гpавитацЙo!lнoм G(r' t)' эЛектрическoмE(r,.) и магнитнoмв(г' t) вa ЧасTицyс эЛeктpичeскимзаpядoмei дeЙсTвyетсиЛаri(г;,v;,t) : m,ic,,(t,'t)+ е,Е"(г..t)+ 1.o3^vi(t)Br(гt'0.(67.15)B ^.oкpeстнoсти тoчки г pадиyс.вeктop частицьl llto)кIloпpедставить в видe г' : r + с'- Пoэтoму пJ'roтиoстьсилЬI(67'7)'дeйствy.pавнающей на N(г.
') чaсTиц06ЛастиA(r)'ФЁ*l : it"N_| 'F.'"(г,,vl, t)6(r+ ( _l(r) '-'r"NiI Iс"...d3€ :"'(l))€ , . i ) m , d (|г€r,ll))di{+a(r)"_..'(r't,ilг .]_| )_rr],,;1г'l;а1r. (_г,(l)],/]{д("),=,|ol,|3):](г]Ad*-h'n)- *(p/lro-p""Jorot-lfIA\67.t2)Здeсь.",',Nф'_П""(г't) : p(т't)/,(r't)rr'(г't) + P""(г,t),(67.7)пpихoдяrцаясяна eдиницyoбъeмавнeшняясиЛa;;325r"N| Е"Еo{гl€.i),i{г'€_" а{"; '=lг,{l')dl€_326IмеmadьLduнaмuкu'-'Г'1аваI 5, Kaнnuнaa,nbньLеllГr _ . , , , r 1 A \/ --, в ' ., , .I\г , ' / l \'f,|l11']|Fl/|аlrIFд и п o Л ь н ь I й N l o м е н T( л o , t я p и з а ц и я ) ч а с т и ц o б л а с т и A ( г ) . o т н е 'с е н н Ь I й K o б ъ е N ! уэ т o й o б " 1 а с т и ;г;(t))d"{i I D"'сi.l,а(.*с(67.16)П Л o т н o с т ь в o з I t o ) к н ь | хв н e ш | l и х с и Л ' п p е д с т a в Л e н ] l а яy р 2 в | l е ниeм (67'l5). явЛяется пoлевoй динаМичeскoй фyнкциeй.
oбUlейдJlя шиpoкoгo к'1асса сиJoвьtх пoлей' Ho в такoll1видe oI]а нев ы р a ) к с } ] al ] e п o с р e д с т в е н н o Ч e p е з y ж с в в e д е н н Ь l e N I а к p 0 с к o п и I ] с .с к и e д и L I а п l и ч е с к и eф y н к ц и и . п p e д с T а в Л я ю l ц и e с и с т e м y ч а с т и цв к o Л л e к т и в н Ь | хп p o ц e с с а х в 3 а и l l o д е й с т в и я и д в и ) к e н и я , Э т o з а т P у д н я с т ф o p м у Л и р o в к y з а l l l к н y т о г o ] \ l а т е ] t j а т и ч e с к o гаoп I l а p а т а 'кoтoрьIй дoлжeн базиpoBаться Ila кoнeчнoм l|исЛe аддитивнЬ|хдинаltlичeских фyнкций, Hoвьlc вoзNroжнoсти oткpьlваtoтся длязaдачi в кoтоPьlх вIlеI]]ниeсиЛoвьIe пoЛя NlаЛo меняются ltар а с с т o я | l и я х l l o p я д к а J v l а с ш т а б o вo б Л а с т и A ( r ) и J t и п p o с т p a I | с т в e l l н Ь | еN а с ш т а б ы ' в в o д и п l Ь | еп o с p e д с т в o м ф и з и Ч е с к и б e с к o н е ч| l o l t а Л ь I х o б ъ е ] t l o в 'N { o г у тб Ь I т ь в ь I б P а н ы б 6 Л Ь ш и r u и м а с ш т а б o в| { с o д н o p o д н o с T ис и Л o в Ь ] х п o л е й ' в т а к Й х з а д 2 ч а х н а п p я ) к e I J н o с т иМ o Л ( н o з а N l e I ] и т Ьи х p а з Л o ) к е t ] и я ! t ип oпoЛeй в точках r+с'с т e п e н я [ l { : 1 , B " 1 и н е й н o мп p и б Л и ) к e l l и иб у д e м и N l с т Ьl ' .
, , , 1 J Д ''^lll(''/Г'lг;r-.r,67|7|Aна',]ol.ичI]ьIе пpeдставJlения и'r{еют ]t{естo дJ']я гpавитациoнI]oгoи l l l а г н и т t l o г o п o . Л e й .П о э т о М уt) +Фil.l : r,l.l(..i)с;"(..1)+ p(.)(r't)-Е.'(г'l;,.,r-tllJ"r-tt.J/ .(г./)'l',r.t1" -ir'- -'") . , / r / '.'tr.ttJt_'-'Ii)Il-1",',/.,/lг/|. {67,l8)'||J''I.,.,(.,t)= +' з i " |l !щq;il(г+g_r;1t1)a34'_1(67.19)_ o т н c с e I l н o е к e д и н и ц e м а с с ы в r к т o p l l 0 с л o J е с ] ! ! с щ e н и иц е н т p o Bм а с с ч а с т и ц o т | ] o с и т е Л ь н oт o ч e к г ;1^| \ _ . r , ^\l'" ! Е\ - г ' ( t ) ) 1 l €| Z-_rs'(67.20)327$ 68' Tеюop наnpя1l|енuЙ(67.21)_ плoтнoстЬпoтoка диl]oJlьнoгoмoпlеIlта,Tакипroбpазoм' дЛя любoй систеl'1ь]BзаиМoдействyющихЧа.стиц уpaвнениебаЛансaимпульса имеeт вид,)(о -'li]l,,,l.'I ', ' l , n , ог|,|'\ Pn- l'||4i'167 oo|где сиJloвыe вектoрнь|епo!'Iя.l,.'. Фii'''; oпpcлeлeныфopмуЛаrv!и(67'7)' (67.8)'для систeм Ilастиц Bo внеш|,lихпо!tях,l{едЛellнo меняющихся на масштабахoбЛасти'\(т).
oбщее выpa)кеl]иe(67.l7),к вЬ|pа)кelrиюдля лЛoтlloстисильr (67'7) пpеoбPа3yeтсяИз (67,l7) виДнo.чтo сиЛoвьIeпoЛя принимаюTyЧaсTиeв кoЛ.l е к , и Ь Ь ь ] х в l а и м o Д P Й ( т в и я хн а п p я ж P н | l o ( т я \ lпиo ' г р йи и х n р , , и з .p а с п p e д e л e н и e п !Ч а с т и ц ' I l p e д с т а в .в o д I l ы l l l и .а с и с т е м а ч а с т и цл c н l l o м н а м а к p o п l а с l ] J т а б а хl ] a б o p o м м a т e р и а л ь н ы х п o Л е й и л иnоЛeвых динамичeских фyнкций pазЛичнoй Tензoрнoй pа3меpнoс т и . У p a в н е t l и я д , 1 яэ т и х ф y н к ц и й l i o г y т 6 ы т ь п o j y ч e l ] Ь |в p а ! l к а хизлагаeмoгo здесь метoдa,B oднopoднЬIx (внешних) пoЛях тpи пoслeдних слагаeмьIхв вьIpажeниив нyль.дЛя pазpeх(eнIrыхдля Фil'-I)oбpаulаютсягазoвинoгдaМo)кнoпpeнебpеЧЬвзаиl"!oдействиеп'частиц,Toгдаy p а в Р e l | ибеd л а | l .
аL v г ] y , l Ь сс. , , l с .Ч' Ь |, | . в' а l . v o ! n й св у ю ш и \ ' | а .(67.2l). в кoтopoйстиц бyдст пoЛIloстЬюoпрeдеЛятЬсяфoрruУ,roйсЛeдyет пo'.lo)китьФ. = 0,$ 68. Уpaвнепия бaлaнсa пмпульсa систeМ чaстицс кoнечньIltlpа,циусoMв3aиMoДействия.Тeнзop напpяlкенийo с н o в н ь r м ф и з и н е с к и м М e х а н и 3 ] \ j o пl Il р o с T р a L ] с т в eнf ol .BpeI{eн.н ь l х и з ] ! 1 е н е н и Йп л o т н o с т и и N 1 п у Л ь с а .п o л я с к o р o с т е и в o т с y т .с . в и e в н е ш ч l . ч с и Л o в Ь | \п o ' . e й q в ' ' я е t с я в r з ' , t м o l o й . г в и еr t e ж д }ч а с т и ц а ] t l и с и с т e N l Ь | , B e к т o p н o e п o л е п Л o т l . j o с т ис и Л Ь | 8 3 а и I \ 4 o .действия Ф"(I'1) часTиц oбЛасти ^(r) с частица]Mи систепlЬl328Г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
