Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 54
Текст из файла (страница 54)
чтo и3oтpoпнoмyраспpeдeЛeпиюскopoстeи тепЛoвoгoдви)кения' лpи кoт0p0м дЛя xa)кдoи сoвoкyпнoстиЧастиц в A(r) с сyмltlаpньlмимпy'1ьсoп{?r(г,t) сущeствyетсoвo.кулtloстьс пpoTивoпoлo)кнымимпyлЬсoм т(г.,). сooтвeтствyeтсoстoяниe с тeн3opoМP.'" (т' l) : 6.l"p(r' t'), Teнзopнoe lloЛe давЛeния в тaкoм сoсToяниисвoдитсяк ска'1яpнoмУ,пpичемPoo:3pУмнo)киNloбе.IасTиypавнeния(73.l) на тeнзoра.r3и пpoсyNlмиpye l пo.!, J, найдеNl^10'\u'0..2(tl'.""'r(г./|ll |г'/]],tn","r,''" i.),,ьrii,i-a\.0,"(74.1)гдe лoкaЛьньIeмoщt]oсти внeшних сиJr ll'(ехt) и сил Bзаимo.дeйствия мe)кдy частицаN!иIl. oпpeдeлeныфopмyлaми(70.l3).(70,l4), свеpтка PJ,d сoвnадаeтс yдвоеннымзначениеМllЛoтlJo.сти кинeTическoгoпoтoKа тепЛа l./"(r..),oпpедeленнoгoфoPМyлoй (70,8),диBеPгeнциюпoля с(opoстeйв (74,1) Nlo)кнoисKЛю.так чточиTь пpи пoмoщи ypавнеl]иянeпpeрЬIвl]oсти'з,'"rc(fl+x fi)tw 'l"l+zD! :z1tl,t.*l1"' ц +rl'(г,r)),t74.2)в пpаBoй частидЛя рaзpeхreннoгoгаза взаиNIoдeйсTвияМиlгoгo vpавнeния I'loжнo прeне6pе"ь,Если.
кDo\I{.-oГo, oтсyт.ствyют истoчниl(и тепЛа, т0 равна IlуЛю дивeргeнция телЛoвoгoпoтoка' Уpавнениe\74.2)ь э-|oмслуЧаeимeeт peшeниe},(r,t)p5,,3(г.t) = соrlst (вдoЛЬ,lиtlиитoка),(74,3)Mы noлу.rили уpавненuе аduaбamuцескaеa npoцессa B ИДeaлЬноNj газe- B pазpeжeннЬ|хгaзах пpи yка3аняьlх пPедI]oлoжe|Jи'ях могут прoисхoдитьтoлькo адиабaтическиепpoцессьl,далее.с p а в н и в а с n г р е д е . е l l и ч Л а в 1 р н и я 1 , / г ,/ \ ,=p(г'l)Е(т'/): f,n,'''..',1f;n'r',,'(74.4)и Tемператypы?(г.l)iзp ( г ./ ] ( г i ) = : l ( г ' , ' Т ( r , , ) ,2(74,5)в и Д и \ ! , Ч т o в o к p р с т н o с т и к а ) к ! o Й п p o с I p а н с , lв е н н o Й | o ч h и в Ь | .п 0 Л н я e т с я у р а в н e н и e с o с т o я l ] и я и д e а Л ь I ] o г oг а з ар(г' i) : ll(r.
/)Т(г' t)\ 74 . 6 )Испoльзyяуpавнeлиесoстoяния(74,6),мo)кнoпoЛyчитьи3(74,3)аДиабатичeскиeмФкдудаBлеllиемсooTнoшeвияуравненияи теvпep.-уpoй.п,]o-нoстЬюи теvгepат}po;'З56меnod ы duна'|uкu,..haв a l 5, lt oнmuнца,.|ьньlеёа3s 74, ИdеальнaяNudкoсmь u udеаnbнbLiiпoлe скoрoстeй идeаr1ьнoгoгазa oпpедеЛяеTсяypавнeниеM(68.8):ба,,rансаимлyльсаa(Р"r + o"r)(rs*"o)'" * 0tf, (* * "o')"*o,I^( 74 . 7 )Э.Гa gpавне|tuеЭliлеpс| duнФ|tuKu цdеaLbнoli эюudKoсmцB тoм xe пpи6лижeниииз o6щeГoypавнeниябаЛансаэI]еpгии(70.12):-.. 'u;"''i!, o'.
'1 u0,.,1r,",.) {P"': п'l.*'l'+#(q' +ч|\'''.|+,lJ'r'*,)сЛедуeтypавнeниeбаЛансаэнергииидeаЛьнoй)кидкoсTив видe,(fi*"v)с*ла*"=oв ypaвнeнииЭй,repaG = _vя. исклюЧиM't(Рolleтoгo' вьIpа)кeние (v V)v из этoгoypавнel]ияпpи пoltoщитoх(дeства_ 1v, V7r _ \v;Vrl2в кoтopoммo)кнoпpeнeбpeчьтеl]зopoмнапряжeнияЛo сpавнeниюс тeнзopoм кинeтичeскoгoдавЛения'а также скаЛяpныNtдав'пo сравнениюсo скаilяpныv Jавлeниeм'oбусЛoв,1енньlv.,lениеntмежду а1olиаvии мoЛeкyЛами,взаи!loдPй.гвиentд,1я )ки,0кoсIейнeспpаведливoTeнзop вапpя.и плoтнЬIхгазoв этo пpибли)кeниe)'(eЬ,]йoпреде,lяе|взdичoдe;сГвияuа.тиц o6lасти Alг) r часIи.на pасстoянияхпopядкацаМи сoседниxoбЛастей,pасЛo'']o)кeнньlxp а Д и y с ав ] а и ч o д е й с | в ; яЭ,t l в r а и r l o д р и с .
в иt яавr.яГ oт -pаДи.eнтoв кoп{пoнeнTпoЛя скopoс'ГeЙЙ нe являl0тся изoтpoпнЬIми,BмесTе с тeм пpи нe сЛишкoпl бoльulих скopoстях измeнeнияoб.пoЛeвьIхдинаNtичeскиxфyнкций в MaльIхпpoстpанствeнньlхсoстoяниe тepмoдиl]амичeскoгor.lасTяхoбьIчнoУстaнавЛиваетсяpавнoвeсия,Bлияниe внyтpенtlегoтрeния и тeпЛoпPoвoднoстинатакие дви)кeниямo)кIJoнe Учитыватьи пoл0жЙтЬв уpавнении(74.8)энepгии,Здeсь '(r' t) = . + l/ _ пЛoтнoстьпo"']нoй2. Интrгpaльl Бepнyлли и Лагран'Q-кoшIидBиtкеltияидеальнoй I(идкoсти. Бyлeм сvитать, чтo внeшнее лoЛe, в кo.тopoм нахoдится жидкoсть.
явЛяeтся пoтeнциаЛьньIlt{'так чтoЗ57Г o |v J ,Тo-да ypав/ePие балаPс" иv-y"гЬсo иДеальнoй жP!кo'тyимeтЬ видLtv-_lvVгUrv|_-tt2'\,.',/\ _ VP,,(74.9)будeт(74.10)Урaвнeниe6а,'lансаэнepгии идeальнoйxидкoсти (74,8) N!ox.нo пpеoбpазoватьпpи пoпloщиypавнeяиянeпрepьIвнoсти:(*.""),=i'(74.11)(d/dt_ сyбсTанциoнаЛьнaянаидeмпрoизвoдная)'B рeзyльтатed^dt-P dp 2d r "^d /l\'dt\pJ(74.12),цoбавиNк o6eиNlчaстяsl этoгo уpавнения .nu.u"'o"*g ( ; )Toгдалoлуним(74.13)*('.:)::*,oтсюда виднo.
чтa mеnloвая фgнкцuя |1лИэнma]bnuя u =: € ' + Plp являетсяфункциeйтoЛькoP, пpичeNjпpoизвoднaяэтoйфyнкцииpавнаl/p, Слeлoвaтельнo.А,rv,1.vu - ^-VP - *orI(74.t4)и пoслeДI]eeслагаeмoe в ypавнении (74,l0) Nloжнoна vi1.. Уpавнениe Эйлepа прини,\lаeTвид: v(!."ff {,,,.,ot").'0( 74 . \ 5 \видl]o.ЧTo сyщeствy.из уpавнeния(74,l5) непoсpeдствeнIloют пo кpайней ]ltepeдва ,,]Ьге|pаЛадвижения идeаЛDЬoйА/д.кoсти, Пepвый из них и 4eе] мeс]o дЛя стациoнаpнь|хтечений.KorДa av lDt : o и v = у(t.у. z). тoгдa пoсЛе уrvнoл<eния(74' 15)358Г]aвa l5, Koнпut|gLlnl,нь|е'меnoоbl duнaмuкu-, -нa eдиниЧньlивeктopv/1r скаЛяpнoJleваяЧaстЬэTогo ypавнeнияoбрати1.ся в нуЛЬ' и мЬl будeп! иMeтЬ:"({.'.4:,1(i*.*'):o+ р + tl' : сollsL (вдoльлинии тока).(74.17)мЬI пoЛуЧиЛи уpaвне||uе Беpнц',lлul связьIвающее вдoлЬ Ли.ний тoка скоPoстЬ' lloтеrlllиаЛ вI]ешнегo пoЛя и тeпЛoByю функ.I j F ' l ф \ | / J r | ' ' 1 а в | P и ч l .
' а и o а р , | o | oп o l o h а и Л e аl - | o ' | , l ' и Д .к o с т и , . Ц ' l я н е с ) к и м а e M о й) к и l 1 к o с . Г иэ т o y Р а в н е н и е с o д е р ) к и Tд а в .! : с o n s |( в д o Л ьи н иTиo к а ) 'i *,*/it'\J/z, I\/A1lф. t) : 0,-, o , } * o , : o ( v p= v Л ,+я+.,:ltr)'ff +j{vtl),0pЁ+ф(74,2З)dn.v:O'yравнeния(74.22)даетдивергelrцияoт oбoих сЛагaсмЬIх/ , o. d i \ ' - + д l ' : 0дифферellIlиpyяпo вpепjeниуpaвнeниe нeЛpeрыв]IoсIt1\74-2З),бyдeм иrviетЬpnИа ' ..ir\v| / 4 ) 1 \ и l 7 4 , 2 5 )г o r ) .
e ч(74.19)ПрoизвоЛЬная фyнкция /(f) дoл)l,(наoпредeЛяTьсяиз граничнь]х услoвий, УpaвIreниe (74,l9) на3ЬIвaетсяuнmееpалa\|Bмос,].eс ypавнениeN непрерЬlвнoсTии yслo."|lаеpaнэюa-Kol1,1u,в и P \ I6 а O o т D о г . o с . (и7 1 l з ) , I o } U а в | , L ' | ,оеб р а ' ) Р , l. а v { | ) , l y oсисTеNlyyравнeний дЛЯ двyх фyнкЦий ф и.'oпpедеЛяющихбсзвихpeвoeдви)кeниe идeальнoй )кидкосTи' всли вьlпoлнснЬIyсЛовиянeсжиI аeмoсти,Тo иriтегPаЛЛaгран)кa-Koшипpинимаeт вилa,t^P.
'jt74 201/(,).;'vI'\74.22)Уравнeниeнепpepьrвнoстипpи этoм свoдиTсяк yравне|lи|o0и Л е г к o и п T е г P и p у е T с я lт а к ч т o2t)1.743. Звукoвьre вoлньr. гlайдeMypавнениеpаспpoсTpанeниЯNrавoзNlyщeниЙвп0кoящeN4сяpазpе)кeннoп!газе'кoгдаскo"1ьIхO o . г L t , о | , ' l | н и с л а в ' P | , ' ]рЯ р - р , и ' ] ,о т | o ' т y /Л rooт пoсTоЯн|lЬIхpавнoвесI|Ьlxзна.lенийpo' po N1алЬIпo сравIleниюс ?0' pl] и иМеIoтпеpвЬJйпoРядoк пlаЛoсти,B уpaвнeнииЭйлеpа и в yравнeнии riепpеpьlвнoсTипpи эToпj Мo)к|lollpeнeбpeчь]VIаЛьll!ивтoрoгo и бoЛee высоких пopядкoв,тaк чтo ypавнeниeэйлера (74,7)лриllипjаeTвид(74.i8)из уpав.!ругoй иlrтегpалдвижениясЛeдyеTнепoсpeдсTвеннoр r ; р l 7 4 , | 5 ] л ' " б Р , в ,r р е в o o л в ^ n P А и яи Л e а Л L н o/tк t Д \ o .
, и ,',1РДoва|Ье Р o ,п o | Р ( { o p о сF I o l p д .B,оvс'}0"' r"tvпoтeнЦиzЛo]\{скорoсTейv : vx],дсЛяeтся oднoй фyнкциeйУPaвненис(74,l5) пpиI]имаel.видv{--.;/v,.)',pа пoтeнциаЛскopoстсЙявляeтся гаPNIol]ическoйфyнкциeй, yдoypавнeнию(66.l8):в']етвopяюЩeйi7416)гдe yЧTенo' чTo пpoекция гpaдиeнтa нa налpавJleниeск0рoстиесTь прoизвoднaяпo напpаBлeI]июлиниЙ.ГaKadf dI, из ypaвI]eния(74,lij) с,reдyeт'чToт359s 74 Иdеt1лbнaя1{udl.осmb u udеahньu| 2!:13-D,р, - 0.(?4 2ь)1 ч 2 1 6 1 ,6 6 ' r 1 1 ц а ; '11орфo,: o(74.26)B pазpеlкеннoмгазe пloгyT IlpoисхoдитЬтoлькo адиабатиveские пPoцeссьI,ПoтoпryдавЛeниeи пЛoтIloстЬвдoЛьJ.]иниитoкa(74,З):pp 5/3: сon"t' .Цля мальrхсвязанЬlyравнetiиеМaДиa6a.|Ь1в0змущeниЙиз этoгo ypавненияиN1eeMAp.||vgг.'|Р"' [(::)'-;(o|;")o,',^u'Здесь симвoлoм <3' oбoзнaЧeнапрoи3вoднаявдoлЬ aдиа6атьl,ПoдстaвляяэTo вьIpа)кениев ypавнeниe (74,26), нахoдим, ЧTo360Г.asа |jpаспpoстpанениеIмаЛьIхвoз]\lyщeниЙплoтLloстипрoисхoдитв ви.Це ЗвцKoвьIх 60,1и,удовЛeтвopяющ|1хвo/1].|oвoмgu} _,з^o:o'ГЦе сs _ ск,opaсnb( 7 42 8 )Kак нeтрудвoлoказатЬ.воJнoвoNjyурав}JeниюудoB.nетвopяюттакже давJениep и скopoстЬv' скoрoсть звука зaвиситoт теttпе.!!'pатуpЬI'дейсTвитeЛЬнotиз уpавнeнияал,uбu,o' ,'""", }:.lp\74 .29)Tакипl oбpазol{'скopoсTЬзвyка в pазpe)кeннoNlгазe пloжнoсЧитаTЬпpoп0pциoнаJ,]ьнoiкopt]юквaдpат!]oI{yиз TемпеpаTуpЬI'$ 75.
Уpaвнение Haвье_CтoксаС и л ь l в t l y т р e н в e г o т р e I l и я в o з н и к a ю т в с p e д е ' e с " т иo т J . l и ч в аo т_''",е е с l и н e D а в н ЬP| .',о прoиlвoДPЬ.eu,ri'(r) :Пр",,.ставиNjсу]\lп{vTeнзopoвкинeтичeскoгoдаBЛeнияи наЛряжeвиЙв видeР.t3- o.\r : Pd,',з_ a"3'lii;а.i:0_0с.| / iJ|.2 \.,lлз( 7 5 .)lвяlкuimeн1ap нanpяJrенuЙ' paвнЬIй нyЛю пpиu .']инeйнoпtпpибЛи)кениитeпзoрdo,1яв'rяeтсяЛи!ей" п D o и з в o r ] Ь D .
хJ t . ^нo; функUиPйтaK кaK d ,. иI\'lleтpиuчЬ|n;J ,,'т e н з o p ' o н ^ \ l o ) < e зт а в и с e т ь T o " 1 ь к oo т с и м N l e T p и ч н ь I хк o M б и н а ц и й',,,o,;lt'"""opouH o ' , ] ю 6 0 и - e н l o D в 1 o D ). г o p а н г а . и l е н . o p _J,|,в ToNl числe' м0)кнo пpедсTавить в виде сyМI{ьI трeх тeнз0.Jг.2.Jl'' \З-"'Jt1)Dl"-i(** *)*},",ff'rъ,zlC . l е л o в а l c л ь н o ,с ) д e с г в ! ю .
o 1 Ь h o д в J т е н - o p . , ] и н e ; i н o йк o \ I .б и н а ц и e й к o т o р Ь I хя в Л я e т с я ; . r J ' т , е ,(D,".oа. _ 0| ^\oJJрИспoльзуя vpавнение сoстoяния идеа.l]ьнoгoГaзa B BИ;,et! = щ.гдe /l - N1oЛекуЛяpныйвeс' л..u.ou,"no",o""","' nu{o^"nl,нy',]яpазнoстЬскopoстейв сoсeдниxтoЧках|"(г + dг)р o в : с и I м м е т p и ч I l 0 г oс p а в н Ь I п lн у л ю с л е д o I { i а н т и с и ] \ l М е т p и ч l ] o г oи диаГoналЬнoгo:0:13pавеIlствoNja,^ :..: П\.й/.V36rllавье-сmoксаs75 уpавненuекoчnuцуa).hые uепodbl duчацuкu,,--|)''.olo2.J'.аi'1\.;^.',J . (0 '-,.'Jo-т. /Koэффициeнтьl|.oэффuцuенmaмuвязкoсmu:0' ( называютсясдвигoвoйи oбъeмнoйсooтвeтственнo,баЛансаимпy,.rЬ.ПoдстaвиNlтепеpЬ(75'1)'(75'з)в yравнениe(68,8),саПoлy.rим/ a,i]l."\оP : p ( ; " +/ , 1; : , ' * + , or"*l+,\or/|o,o;] /,J,'' 2" а,.\l"U|.\','."7 ',"-,* r,\а^"-- 'i'',b'./J 1.,,Ок o э ф ф и ц и e н Т Ь l в я з к o с т и з а в и с я т o T д а в " q e н и яи т e I { п е p а т y p ь I lн o д Л я M t ] o г Й х з а д а Ч и x м o x н o с ч и т а т ь п o с т o я н н ь t п t и ,B э т o п tпpиб'.iиx(eнии уравнение ба'1анса Й]tIпyr1ьсаприни[Jаeт видt a " .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
