Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 43
Текст из файла (страница 43)
' q'(t). p| t)' ... . д0)' кoтopыйгeoi'eтpическимoжнoинтeрпPeтиpoвaтька( тoчIry в 2s.мeplrом Ф@3oвo npocmpaнc|nвeпeрeмeнных qt p. 3акoн движeния систeмы q. = q"('), p; = po(t)в фазoвoм пpoстpанствe oдIloзначно oпpeдеЛяeтся ypавнeнияl\'иГамильтoна, если заданo начаЛьнoeсoстoяниe.$55. Уpавнeния Гaмильтoнa и вapиaцr.oпяьrйпpинципгамильтo}]а'как и ypавненияЛагpанжа'мoгyт- Уpавнeнияoытьсвязаныс ваPиациoннымпринципov.Bы.rислиMваpиациюфyнкциoнаЛаГ-S = l [ r " Q " ( qp t ) - H t ( r . p .
! t ] d t ..t_275s 56. Фg||кцuяГa шbnoнa u э&еpeuясuсmеяыГлава l 3. Кoнoнuческuеgpoв|le||uя(55.1)считаявсе q(,) и p(t) нeзависимьrмипoлyчимфyнкциями.,?,lt .._ 1_ i ) n - _ i J I lbIJ"|05_dl | r|pooqa+ coopo Б:0c"^oQoop" -Ji,З,,ll//Aн\|' _I_ tp"оq"lIli_ o r _ t\ ф"+(," +й ) 6q.ldf.
(55.2\Jt l [(d" й )-_ '''"пoтрeбyeмдаЛеe,чт06ы cуммa pa6qo oбpащaласьв нyль нaи чт06ыдeйствиesинтегриpoваниявeDхнevи ниЯ(нeмпpeдeлах(55.2)=}rепoсpeдствeннo(dS 0)' Тoгlа из6ылo стаuиoнаpнымследyютypaвнel]иягамиЛьтoнaв видеqoaH = ! 'фopa*a! =0..oqa(ss.з),циссипативньlе сильt дoл)кнЬl задаваться llезависимo-$ 56. Фyпкuия гaмПЛьтoнa П oнepгия систeмьI,[[ля мeханичeскихсЙстeм с гoлoнoi,lнымистациollаpнымичастицбeз связeйoбoбсвязями,дЛя систeмвзаимoдeйствyющиxтак' чтo фopмyЛы.qовыбPатьмo)кнoщeнныекoopдинаты всегдaN часTици oбoб.кooрдинатсвязь дeкаpтoвыхyстанавЛивaющиeщеIlных кoopдинат qo:1 1= r ; ( q 1 , . .
. , q " ) ,(56.1)нe бyлут сoдeprкатьявнyю зависимoстьoт вpeмeни.ФyнкЦияЛaгpaн'<ав Tакиx с.лyчaяхпредставимав виде(56.2)L: Eвl t]tq,... 'q",t) + a"(q|,''- 'q"'t)Q.'(56.3)_ киtlетиЧeoкaя энepгЙя систeMы; [/' oo _щeннo.пoTеl{циальItыхсил, пoэтoмyoбoб.пoтенциалыlaL_lH(q'p't):|o"* -ь1I_|о""|!vчoL=!,[*""*"'('".#)**(а"_ff)',"],,=UчdJ q=,i|'l'P'ц_ t,o,*u= [Е'l*,+ Ulq_i(qp'l).(56,4)|J,i=ih'P'l)и фvflкция гaмильToна сoвnадaет с пoЛнoй энepгиeЙ систeмъlq, p. Фopмyлy(56.4)мoжнoиспoль*iнo"'''"скn' n"peмeнrrых"зoватьдЛя сoставJlеtlия гамильтoниаt|а систeмы в таких пpаксистемнNтическива'(ныхслyuaях.Так, фyнкuияГaмильтoиа280ГлoваI3' Kанo||uческuеlpoвненuяnpoсnpaнсmввхdвuMевuяв фа3oвьIхs 57.|Iн\еёPальLчастиц с паpliым пoтeнциалoмв3аимoдeйствия[4/.в дeкapтoвыxкooPдинатахpавнасyMI{едля век1opao6o6цeннoгoиMпyлЬсaпoлyqаeмфopмyлyo=*=_Д*9дt".')'No.,N.= б! D i fl + il - ! и*.H(г1.'''rд'p1..''p1)'t=li,&_lПoлная энepгия частицы в пoлe {/(г'') в цилиндрических(oopдинатахDавнаE : ; ( i } + e " ф+, ' 2 )+ u ( p , 9 , " , t 7 .Фopмyлыпpеoбpазoвaнияoт oбo6щепныxc(opoстeйi, ф, 2к oбoбщеннымимпyльсaМpp,pp' p.
|1oлучaюIсяпpи пoмoщидиФфepенциpoванияпo oбoбuIеннымскoPoстяМфyн(цииЛагpан.жa или пoЛнoйэIiеpгиии имeютвидPp: rпp' p'= 1p2ф' p" = m2.B сooтвeтствиис фoрмулoй(56.5)имeeм| /.l."\+z- \lt, 7ri+Й)+U(p'9'z.t).ФyнкuияГaмильтoнaтoй)кeчaстицы*ofouoil" "6uo'u""*n,натахpавнаE(r'0,Р'p,,pg'p',t):t"I: t/,-т--:-т.;p.9" \ Utт.0,9'l\. |56-7]zm \0i+ 7о6)+B pелятивистскoймeханикeпoЛнaяэнеpгиязарФкeннoйча.стицыoпpeделяeтсяфoPмyлoй-mёё _ --_l.u-у,_ 7а фyнкцияЛагpав)каимeeтвид+eP(г'.)'l',2с(56.5)N*hn \ p '' ? ,z ' p p ' p e . p z ,.]I-281у'- 7с пoмoщью кoтopofi ltoжнo исключить скoPoсть из выpФкeнияпoЛyчaемфyнкцию гамильтoнapeля.дЛя энeргии.B pЪзyльтатетивистскoйЧастицы:;^.,(56.8)f i { т .
p ' f=)/(п_i.lt".tl)-е+mzё+еp|r,t\'6- 57. иIrтегpaлы дви)кeния в фasoвых пpoстpaнствах.Сeпaoaбельные гa!4иЛътoflиaвыoт фyнкцииГаIlo вPeмениBou".,n* no,"io пPoизвoцI|yюПoлyvиммильтoна.- .=- a E ' + a н . + a H (o= l.....э).rii;ri";;l"^*_Ul,aoчayравна фазoвoйтpаeктoPиизнaчeнияqa' po oпPeделяloтсяI{eниямигaмильтoнаalr0Hp. . = _ a q .
+ ч^,at; ' . q. " =ap".пoэтoмy(57.1)я=ff+o9ff=ff+o9)ь'т.e. фyнкция Гамильтoнапpедстaвляетсoбoй сoхpaliяющyюсякoмбинaциюкaнoничeскиxпepеменных,eсли тoЛькooнa не засилы oтсутствyют.lа.висит oт вpeiveниявнo и диссипaтивIIыeэнергиейсистемыспoлt]oйв этoм сЛyчаесoвпадаeтмиЛьтot|ианq, p' пpи aI!lat + o и QУ) = 0 из (57'l).,стpoгoв пepемeнныхтаккакфyнкциянeсoхPaняется,чтoэнepгиянeгoвop",",eдiет,сoдер)катьаддитивнoпpoизвoЛьнyюфyвкциюмort<етГамильтoнaвpeмeни,дo6авЛeниeкoтopoйк фyнкции Il(q'p'') нe измeняeтгамиЛьтoнa.vDавнeний''из oбoбщенныхкoopдиiiатqd (пPи их yдачlioм|<aкaя.л||6oФyнкция Гамильтoнaвы6ope)мoжет oказатьсяцик,']ичесKoй'pd: U'в этoм случaeнe 6yпeтзaвисетьoт qd и' сЛeдoватeльнo'еcлиQf,) : n' oб06щенныйимпyльсPo' каtloническисoпpяжeн.ный цикличeскofiкoopдиl{атeqd, в oтсутствиe диссипaтивliыx282npoсmpансnвaхs57.
Инmе?paль!dвuaсенuяв фсвo3ыхГ,|авa 13. KoнoнuчeсKuе цpaвdе||uясил явЛяeтсяинтeгралoмдвижe!|ия'так, пoтeнциальнаяэнеpгиячастицьIв центpалЬt]oмпoЛеявляeтсяфyнкциeйpасcтoяния rдo цeнтpа пoЛя и еe гаMильTollиан(56.6) нe 6yдет зависeтьoткoopдинатЬl9. слeдoватeЛьнo,в систeMeкoopдинaтс нaчаЛoмв цeнтpeпoляp9 = сonst.Фyнкция ГамильтoнаoднoмеpнoгoлармoническoгooсциJlлятopаp2mu2qtt r \'q2,mp. )2- - ! нe зависитявнooт вpeмeни,floзтoмy11(q,p): ': сoпst,Уpав.нeниeмфaзoвoйтpaeктopииoсциллятopаслyxит эЛЛипсio2':+::l'(2E lrnj'2\2пtEс пoЛyoсямиуЕmE Й n,2Eт;I}.
Закoн двиxения изoбpаx(аюypавнeниямищeй тoчки BдoльфазoвoйтраeктopииoпPeдeЛяeтсяГамильтoнаQ:p/n'ф:_fu|2q,q:q6сostlt+&srnшt'rт!)p : po cс)s|'t _ mсoqosin ut'гдe qo : q(0)' p0 : p(0) _ на'rальнoесoстoяниeoсцилляTopа.ПpeДпoлoжимтeпepь'чтo гамильтollиансистeмыс s сTeпеIlя.ми свoбoдыl\{oxeтбыть пpедстaвлeнв видeH : H ( pt ( q , p r ) , , p h ( q kp, k )q, h + r , . . q. ," ,p t+ r , . . .p, " ,t ) ,(57.21гдe A паp канoнических пepемeнньlх oтдeЛeны, t < s. гамиЛьтoнианы такo.o типа нoсят нaзвaнЙe cе|Lаpa6елb,tDl,.пoкаrкeм,чтo всe & фyнкций Рp(Qp,Pр) являются интeгpалами дви'(eния.действитeJIьнo, ypавнeния Гамильтoнa для каlloничeскиx пeрe.мeннЫх qp p| в этoм сJIуЧаe иnieют видAH0qpAE0E 0eg1op(uJoqpОE 0щ,1op(u)фu(p: l'...
' ь).(57.3)(57.4)28зУмнo)кимoбе чaсTиуpавнения(57.3'1нa 0911l0p" и испoЛьзyем(57'4).Пoлyчимypавнениe- aa'"'' тp,ul = _ 09',,, DН 0p ", -: ч,,le'ыф" фь, aцйaцp,) o,uffа",*u#ffl',Фu(ц'Cледoвательнo,pp(qP,pp):ap=сюnвt.(57.5)(57.6)Из Dавeнств(57.6).в частнoсти'слeдyeт'чтo есЛи-нeкoтopыеoт ooooщeнныхзависимoстииз функuийp"\q.'p.) нe сoдep)кaттакимсoпpя)кeнныe*oopдn",' q,, тo имIlyльсыp,' кaнoвичeскисoхpаняются.цикличeскимкoopди}taтaм,для га.Peзvльтаты(57,6) мoxнo yчeсть яв!{oв вьIрa)кении'"ль"oiиa"u (57,2).тoгдa пoлyчим(57'7)p ,s , t )H : l c .
r , с . 2 , . . . , a k , q k + i , . . . , q r , p &. .+, 1(57.7)Уpавнения Гaмильтoна с функцией Гaмильтoнапepeмeнныxканol{ичeскихoстаЛьныхoпp"дeл"ю' эвoлюциюq k { ' . . ' ' q s ' p k + | .' . . ' p в 'выбopМы видим' Чтo пPедпoч1игрльl|ымявЛяeтся такoйсистемьIгaI/tиЛьT0ниaнк0т0p0мпpиneреме}tныx,канoничeскихoказываeтсясепарабельным'ин.Пooдемoнсr pиpуем изЛoженныймeтoд oтысканияnepвыхчастиць|тeгoа;oв YpaвнаниягамиЛьтoнана пPимеPeдвижеt|ияt'eктoplъl'1lс зipяloм-i в noле мoёнuпнo?o dunoltя cN|oмeнтoмр._(д > г)/г",пo.Ёнц"ал,'o.o пoля мo)кнoпpeдставитьв видe AМагllитtloгoB сфepиЧeс(иx кooрди!|атаxс пoляpнoй oсью вдoЛьМoмeнта o6o6щeнньIеимпyльсы равl]ыpo =mr2ё, p' : m,2 зir,20ф + @1llф вiт'20p,:mi,и фyнкция гамильтottа частицы имeет видl ,".
!4"i"ro.lrl.I I"t.I I - 2 - p : + т ; 7 P a * s i ; т \f Pр. ... "/ l'Пoэтovу p, 1ol = сonsI.здeсь , _ ци(лическaякoopдината.и. p0,тo,1ьк0фyнкциеЙ, вь,pаже""eв кpyглыхскo6кахявляeтсясЛедoватeльнo'"Itn3+ ;L,*,(",^ \ ?. :1.tl , р)сl] _ сооst."inzе|1284функцuds58, скa6кuЛgacсoнa,Ал2е6paJI|IаuнaмuцеcкuхГлава 13, KанaнuчееKuеgpавнеl1uя1ак)heмoжн0вы.перемённымKанoчичeсiимПDonзвoдныe.,]oв l58.2.)h рo и зa-eчpаз"i"скo6Kипуассoна,ПoЛo)t<ив"ep".Нaкoнeц'Ir ' al _ t _ сons..2;p;2;7чтo сЛeдyеттак'кe из закoнaсoхpанeнияэнepгии,o9 :oq' [g.p"1:b"\g,0g= -ls'q.1: -[,1"1e.$ 58.
Cкoбки пуассorrа.Aлге6paЛи дивaмическихфyнкцийф"Kанoничeскиeпepeменныeqli ... ' qs' ;,l, ... ' ?з, энергиясистe.мЬI' кoмпoнeнтьI импyльсa кинeтичeскoгo мoмeнTа систeМы ilo"гyт сЛy)кить l]римeрaNIиДинамическиx фyнкций. ДинаМичeскиeфyнкции в кoнфигypациoннoм пpoстpaнстве сoдepя<атoбoбщeн.ньIe кoopдинатЬ]как фyltttции вpeМени,B фaзoвьIxпpoстpаястваxдинамичeскиеимеютвидфyнкции.
, t ) : f Q ,e ,t )f ( и Q ) ., . . 'я"Q ) ,ot( t ) ' . . e"(t),и являются вeщесТвeнньIмифyнкцияiaи 2s кацoничeскиx пepe.мeнньIх и врeМeни, Пpи дви){(eниисистeмы каI,IoIlичeскиeпepe.I\4еI]ныeизменяюTся с тeчениeм вpеМeни в сooтвeтcтвии с ypав.нeн-ияMиl амильтoнa' так чтo пoлI]ая пpoизвoдная пo врeмeни oтлюбoй диt]амиЧeскoйфyнкции pавнаdf: af ..a.f .
af:++Aaqdso aeoeoat_afaHoq"op"где QУr .rsвrrffff+oь"'ff+ff,кoI!1пoIJентыoбoбщенIioй диссипaтивнoи сиЛьI.oпpeдeлим скoбкy пyассoна двyх динаiaи.]eских,фyнкцийg(q'p,t)и h(q'p.t) фopМуJloйAa Ahlg'n1: aq"ap"Оg 0hОp.0q"lah a\ap"as.а/r a\aqdфo)g=|n|s.Пoслeднeeв (58.2)oзнаuaeт,u,o .*oб*yпyu!5"8o'"2iрaвeнствoп{0)кнoрассматpиватькак линейнЬIйoпepaтop[h],,цeйсTвyющийна д1,]I]ам.]чeскvюфункцию9rg.p'']. C унетov158,2lвЬ|pажечиe(Dб,l, мo)кнoпpeдставитЬв вилei:ff +v,нl+о9lff'285(58.3)(58.4)(58.5)пoэToМy.- А f | l al",|с"]}l,tsв,оlj _цa1' II.H|-IJ',]"a,:,# {ttiэ.o pавPнс,lвo мo,кнo pассмaтривать в каUeстве фунДaMPPталЬ.ч o I o v p а в н e н и я г а м и л ь i o н o в o й д ' , r н а м и к и ,У p а в P e н и я г а \ .
l и Л Ь l o н аnonvu"ro'с" из нeгo пpи J : qo Й l : pб, B этoм слуuаeсoгласнo (58.3)4. : lq.,tt1- ls.,q"lQP ,n" : Ip",tll_ |p.,qАa?)(58.7)(58.8)Cкoбки Пvассoна для ка,.loническихпepeмeнньIxЛегкo вычис.o.noй"rr"" фopмyл (58.4)' (58.5)' наxoдимn"'гo",lq"'q"l: Ip"'P"):o'|q.'p"1: Ip"'qА : 6"".(58.9)q" : Iq"'tl]. i" : w",Н1+ Q'.1)(58.10)Слeдoватeльнo,Taкoй вид имeютуpaвнениягаМильтoнав тepминаxскoбoкПуас.сoна. .[lля систeМ бeз дt{ссипaцииэти ypaвнeниясиI\4меTриЧньIq' p.oтнoситeльнoпepeменl,]ыхKаxдoй паpe'динамическихфylrкцийf и Р ск06ка Пyaссoнaстaвитв сooтвeтстBиeдинаMичeскyюфуttкциюф пo пpавиЛy,ф= tl',p]= I,р\f(58.11)|l' р]= -[р,l]'(58.12)надol]еpац',]еиaлгРбpаиЧескoйс.ециaЛЬнoйи пoJlo\lYявЛяртся(58'2)вь.'"o''".,,"o* динаMичeскихфyнкuиЁ.Из oпpeаеленияoпepации:текaют сЛeдvющиeсвoйстваэтoй аЛгeбpaическoйl) aнтикoмMутaтивн0сть:tр]l: [/]р'tl'/]: о;286ГJ|ава,I3, Kанoнuческuеgpaвненuяs59, ТеopелaПцaсcoнa2) равeнствoнyлю с пoстoяннoй:Lf'C]=0, C=сonsт;3) нeaссoциативнoсть,в видeтo)кдeстваЯкoби|1л|1--o|I'b'h\l| |g.th,I|].[л.'r'sI,]287(58.2)слeдyютpавенстваи3 oпpeдеЛeния(58.13)Ih + !z,sl: lJt.sl+ Ifz,sl'lC.
!,gl: CII,sl, C : const,Ih' Jz's1: lft'sllz+ ftllz'sl'(58.14)IJllhls+ Isllflh+ [h]lslJ : o.(58.15)(58.r6)(58.r7)связь скoбки Пyассoнас .{pyгимиалгeб.кoтopыeyстанaвЛиваютyмнo}кeниемtlа чисJlo'пP0.pаичeскимиoпepациями:сЛo)кeниel',|'извeдeниeм'пoсpедствoмoпepацийслo)кeния'уMнo'(eнияи oб.paзoввнияск06oк Пувссoна мo)кнo кoмбиниpoватьлюбыe элe.мeнть|мtlo)@ствадинамичeскихфyнкций' нe выхoдяза пpеделыэтиэToгoMнoxeства,Любoе мнoжeствo,на кoтopoмoпpeдeЛeныaл2е6poй"|Iu,тpи oпеPацииtназьIваeтсятакжe кaк aлгeбрaэрмиAлгeбpаЛи мo)кетбыть peaЛизoванатoвых oпepатoPoв.Toгда скoбкe пyассoнa 6yдeт сooтвeтствoвaтькoММyтaтoрдвyх oпepатopoвJ, f:.'"xЖi;"l.fT4"#:,ЁЁ.I.)Т"Т""'""1"#,","".'""#ff:,#Ti::сoдeр)<ащихвтoрыхпpoизвoдIlыxпo канoническимl1lYlll ""lжжT"":"Бj:#'T;i::"1lihY1.J;#};.i1,TJ1..i";dff-flxвзаимнoсoкpацаются.фyнхциисq/,.'."ЧloPч:.lЧo"n."oo"ыeв|'J' pавчых.,n_ |.hвlJсoгласнo.*ii|li}ji,i1"}-,]]i'""".Dвeдeм нoвыe oбoзначeния дЛя канoничeскикпeрeмeнныхv's| | -ъ\!::"'1"'Шr,,,r;,f,{;:'.i,l;",l,oi#;-1,,.:;:;,:;';';',;:;..i;;;;ьo', = a g З _ a g a - { .ai as.
Й*=aL,uo,.ht-#*#*=t"*u,пpи пoмoщи кoтopыx пoлучим.-I,Iл.ts]|*^#2"r- *щ," *r},]I/']_-Е|n*#",-"#*}2"ri/;r-;\9_g! ).гдe i, _ пoстoяннаяпланка. Тoчкe фaзoвoгoпpoстpанствабудeтсooтветствoвaтьэлемeнтгильбepтoвапpoстpаяства_ вoлI]oваяфyнкция.таким oбpазoмtlt1ыпpиxoдиМк кваl{тoвo.мехaничeскoйдинaмиЧeскoйаЛгеб0e's 59. тeopемa Пyaссoнaпусть (P' f' 9 - диltамическиeфyнкции, связанныepaвенме)tцy пoлнЬIмиl]рoизвoд.ствoMP: [/,9]' HaйдeMсooтнoпIeниeBoтсyтствиeными пo вpемeниэтиx фyнкций,диссипативныхсил имeeмA^А- : ' I ' s-' ' | t l , g l . I 1 ] 'i' _ Ч +aJt| p ' 1 1 .ot'гдe lJ _ фyнкция Гамильтoна'частныx пPoизвoдныхлo вpе'BслeдствиепepестаItoвoчнoсти}lахoдиммени и пpoизвoдныхлo кaнoничeскимпeрeмeнIrымfl*iъil*Ъ}"тJiflЦ+ry**i"t*нj*::*н$*'fiсoкpaщаются;"'жf:;"PЁ*ъx'"h3;*:::::""сeсла.аe'ьre''l.ltfflflva=1ff"i."'ij#lj;.iu,.*?-T,i",;*ъl:il:сoгласнoтoждeствуякoбиl;Ё]inlяd,;::"L1,:щi:,llyассoна явЛяeтсячастнoйpеа'lизациeйскoбки Лиg]'н] =lt/'[|f, II]'g]+ |l'Ig'H]1.288Зadачuцен|npa,xbнoйs 60-Фapмaлшoеpеu|енuеГ'1ава |3, Kaнoнuческuе gpсlвI\еl1uяГIoэтoмydг/А|\Функцию ll| ,._ t|Jtq.pl,Нto.ol| i.н]/lq.p).i | _ | , ] || ! o 'Н | q 'p \0-Гr'(9n o.щ\]_ jоl- r.ill.L, \"i)ttгг,1,- |а',I0ll_ , ! | , ' | , |' ,,' , ou' ' _ / ^ )' t, -н , r'r q ' pr 6; ,0 , 6 ;""2:l!|ч||\'p|lII_L,''1l..|1ir,p\.'Jvr-p',ЦeцтpаЛьная зaдаЧа гамилЬToнoвoйдинамики сoстoит в oTьIс.кании динамичeскoйфункции /(q(l),p(t)) в МoМeнтвpeмe]]иt.если извeстI]ьleе зIjaчeниe= lk'p') B мoмeнт вpe.мени' пpинятьlЙB качeсTвe"|(q(o)'p(0))начaльнoгo'и ypавнeниeэвoЛюции(60.7)oпpедeлимon"pа'op 01r; сooтlloшеIlием(60.8)(60.l)lk\),p(t)\: ",|Цl t\'d :joJУpавноьияГ^a.!1,,lльfaнaслPдvюг из |oo-|] no|1I - q"' ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
