Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 40
Текст из файла (страница 40)
t ' 1_ |'J 1 'l'r r) ь 1 n, . * , n 1 6 1 . nn"u ](49.r9)Пo услoвию(49,11)кoэффициeнтьI?l и zl этoгo pядa pавI]ьIнулю. УчитываяэTo и лoдстaвЛяя(49,l8), (49,l9) в (49,17),лoЛyЧимГ5.l'l ) - t t . л , t I l , , 1 o ; s i n-nur л \ o ) с o | n U_1 ||"6'o" f rL;al:2aoh sir'фi 2aaoalсos!' + p0(с)+ oI (a)sinФ ++ !r k) сosnф+ D [o,,(o)sinnrl + 9, (a)сos,lф], (49-20)254pеulе||uuаcu 'nmomuцеc|.uхs 49.
[IoсmpoенueKonе6анuяГлaва 12, I]е'nuнеЙнblев (49.20)кoэффициентыпри oдинакoвыхгаpмot|и.Пpиpaвниваякax' Ilахoдимvn|а\=ъ(a)=0I"и яBляетсясиЛы., имeет пopядoк.дeйствиемснелинeйнoйкoлебаний.C lрyлинeйныxспеpиoдoмпoсpaвнeниюбoЛьшим(49,10)(49.^9)'пpиб']и)кelrияпepвoгoвгoй стopoны, Уpавнeяияхpn@),'ьр.aa(с)I^,у^(о=) - 8_" ( o )n\|)aбe2,ятoпpи.слaгaeмыed: еlia)' i : io + еut@),мыoпустили(n> l),(n : l).peшeниеypав.прeдставитьЭти peзультатьIдают вoзMo)кнoсть(49,4)oиввидeaп!пЛитyдьIнeАияфа3ыф:фyнкцииI(: а сosф.| --тeaa(a)I|Из (49.26\'(49.27)виднo' чтo вpемя,в тeЧeниeкoтopoгoпoдпpиращeниякoнeчныeи фaзa(ф_ aot|пoлучаютампЛитyда.,'';_т Д " ( o ) с onsu ] . | 4 9 , 2 | |n '' ;| -[ o .
( с ) s i n r , ut r 6" _ 2 \ t - _вoдитк пoгpeшнoстилopядкaеzt в значенияхсамих фyнкций ovl ф' I|pu t - е-| этo дает пoгpeцjнoстьпopядкаЕ в знaченияхaмплитуды и фа3ы. пoэтoмy нa такoм иllтepваЛевpeмeни вeпoрядкa6 в pешeнии(49,21).сЛагаеMыeимeeтсмысласoхpаtlятьсистемьI'oднoмepнoйкoлeбанияoкoнчaтeльнoнeЛинeйныеп{eтo.прибЛи)кeниипepвoмвonpедеЛяютсябЛизкoйк Линeйitoй,дa кpЬIЛoваБoгoЛюбoвафopмyлoй(928)Ё: асosф,гдee:siпф и сosФ, пoз.oставrпиeсяв (49.20)слагaемые,сoдep,<ащиeuы1(о,):вoЛяюTнайTинeизвeстныeфyнкцииl1(a).t(")--tkBt@),{49.22)1,1аJ:_};с.t(").(49.23)Teлеpьзадaчaсвoдитсяк oпPeдeЛениюфyнкцийвpeмeни@(t)и ф(t), т.
e. к peшeниюдвyх ypaвненийпеpвoгoпopядкас извест.пеpемeнвыми:нымипpaвыМичaстямии pаздеЛяющимисяа: _};еаt@),i!Ф:|!0_(49.24)(49.25)2o]'oЕp|\аl.ЕсЛи pешeния этих уpавllений найдeны, тo пoвeдeние си.стeмьI, бЛизкoй к линейt]oй, oпредеЛeнo вo вpeмeни. Замeти!t'oднакo' qтo на интepвaлe (0, t) спpавeдлива oцeнKаl(49.26)^o : a(t) _ с(0) - _t^еal(а)'Ь(ф_agt)-.u^фР'(49.27]гдe чертoйoбo3нaчeнoсpeднeезнaЧeниефункцииoт амплитyдЬt.I_":eo1(o).zao.lф:"o_IfI.J02nI2*,oсp||o)'I rQ(acosф'-auo s\\ф) s:nф d'ф'(49.29)'| с Q ( a с o s ф_aogsinф)сosфdф.(49.30),l3. Koвсepвативвыe сrtстемьr,6лизкиe к лпlrйньrм. Фyнк.uия Лагpаюкq систeмы с oднoй стeпеньюсв06oдьIмoжeт бытЬyстoйчивoгopавнoвe.в oKpестнoстипoлo)кенияпpeдставЛeьаq"qсияфopмyлoй_r: f,"."4,|uуoq,,a111'(49.з1)с квад.малых(пoсpавнeниюгдe€ \ {€ ) ввeдeнoДJя oбoзначеt|ияэнеpгииUtq,пoтеt|циаЛЬнoйpатинными)чЛeнoвpаз,loжеl|ияoтклoнeнийoт пoЛo)кeнияpавIroвeсия4 =D"д no"'"neням лвижeниятакoй систeмы в oKpестнoстиqeq:" q - q"o-Уpавнeниeвидимeeт.
; Ucq<:t a t . -r^ d \{49.32)аеq<"dt256I.,1ава12, не.1uнеnныекarебанuяpеu|енu.is 19, Iloспpoeнuеасuцnmonuческuxи с в o Д и T с я к y р a в ' ] е I ] и ю( 4 9 . 4 ) , в к o т o р o м.B:?.,сlrсl:,',,:.аеqu,-Q осrItlPешсниеэтoгoypавненияs пеpвoмпpиб,1и)кениипteтoдаKры.лoва БoгoлюбoвaoпpедеЛяeтсяфoрмyлами..о1(п) :€i11\а)II| :Q(а сos с.)silt r'r1r-': 0,.J0rf;l:0.a:-fru,.,,3,1:Q(а сos r..)=|\)О _'|l|щ|.i'J(49,з5),ll.гl лoстрoения pеJ]eUиo qтolo yравнeния мe,]o!oN!кDь.., | 0 в а .
Ь o I o Л ю б o|вl ар o б ^ о л y vнoа и т и< o ' 6 ф и ] и e н . ЬФ| у p ь ефуlкции .Q( a1'0sill qi,' Bмeстo этoгo уДoбнeе испoльзouатi кoэф6и.циeнтьlФypьe чeтнoйфyнкции€ q /.'(a'o) с.'sпl''.r=03амeвяяздeсьt) нa 1,.+тf2, нaхoД|Iм^..|\а). Q t . r . o " , л . ,_l)-.q,"-1oтсюда1 , . 1 1L |2 . . . , , . ' . ' l.sill,r,ФsiDT],€ J , l | о ] _ ' Q , ' I u ' ' : o tс o s Т -аa,.(o): _сQ,,(aru6)sin,fФopмyлыпеpвoгoпpибли)кенияпpинимаютвид.Q =.;сз 16' .|в: цll-}l,J;.,,..".Koэффициeнт при Llos+r..
_.,rrkr):i"a'(!.."".1,,.",,).;l.;lC л e д o в а т e л ь н o ' н е Л и н e й н ь I йс д в и г ч а с т ( J т Ь |м а я т н и к а pавeI]: *.l.l,u,fr;ввr1.;IL{+"'ja=.o,1,Еv(ng'O.oЬl,) :LМьt видипr'чTo ампли].удao неЛинейныхкoЛебанийoстаетсяпoстoяннoйвo вpемени.пPи'le]!1нe тoJ']Ькoв лepвoп|,нo и в бoЛeeвысoких llopЯдкахпo.' так как всe.o,,(a)= 0 этoт факт нахo.дится в сoг.nасиис вЬlвoдаNIиoбщей теoPии oднoмepнoгoдви)кe.ния, Bлияние неЛинeйнoстиэ1(() свoдитсялишь к зависящeп{yoT амГJлитудьIсдвЙгy частoтЬ|кoЛeбаний,так как a = фnst,yPавI]cниедля фaзьIl!]легкo инTегpиpyется,и мьj нахoдимl/|\|. ' , l ( , / )l / ' , 0 | ,(,.'^|l*o..t49Jз)z,,-oL\./INlаятtlикав кyбиЧeскoNtпpибЛижeнии{ля матeпtативeскoгoПoэтoпtу4.
систeмьI с нeлинейвьIм тpeнием. Уpaвнeние ДвижeнияveханиЧр.(oи сис]ellЬ|.сoвepшаюшeйoднoмepЬь.Ркo Ie6Jнияпo!'lРиствиev |инеиPoйвo,вpащаюr]lей.и |Ь|и слабoГo,rе.ЛиtJейнoгo_peI]ия'зависяшеГo0т скoрoс,lи'мoгyт 6Ь||Ьпpедсгавлeныв видP:(.l(U сos t'') с. ь l, l/r 'I257(49.34)Pешениe(49.33)дЛя ltlатeматичeскoгoмаЯтникаoб,1адаетсoкoй тoчнoстЬювплoтЬдo oтKлoнeний( - з5".2теQ1fuun)I t-| .
Q ( t l ф o L 0 ьl ' ' ') с o ь ( ' / 4 ',]0Tакимoбpазoм,нeЛинeйнoeтpeниeв леpвoмпpиб,lиХeниинеизменяeтчастoтyЛинeйныxкoЛeбаний,нo гlpивoдиTк изМeнeниюс0 вpeМeнемаMплитудьlкoлeбаний'ПpeдставимсиЛy сoпpoтивЛениясpедЬI.в кoтopoидви)кeтсясистeма,в видeсyммьlЛиI]eйнoгoи кваДpатичнoгoпo скopoсти."1агаeмых,Тoгдa68(€):.1€.ol{l€'s50, Aвmoкoле5aнuяГлава 12' l]eлuнеiнblекoлебa|Iuя2тIг.Q|\о)o) _ -,|1'o"6"o.2.,' ' oo2o||,"'uг.J02тсoвzu)du_t t 1 ,(t.o"",- -1o.:,toon2sf,L""o"'?.,)duJоxl__","-"_,'",'r+|"ooф | *"3+,a,r| :i,.o",йz]= -1".s{"o'"1бyдeтиметьвиди ypавнeниeдЛяампЛитyдЬl= !'r"- l""oo'.a: Jeer(a,'o)Jтzz)о(49.36)пpи o = 0 aмпЛитудаубьIваeтсo времeнeмэксл0нeнциальнo.*,* эio и np"д.*азo"аeтлинейнаятeoриякoЛeбаний.Aмaлитyданe,инейных кoлeбаниЙв сpедe с квадpатичнымпo скopoсTи'y : 0, убываeтс течeниeмвpeMении с }.вели.сoпpoтивлением.чениемчастoтыкoЛeбанийв сooTветствиис фoPмyЛoйЬ='a-*".*(4e.37)Уравнeниe дЛя амплитyдьt (49-36) дoпyскаeт pаздeлeниe лe.pei{eнныxи в oбщeм сЛучае кoнeчныx,Y и d и пpивoдитк peзyЛЬтатy||.яа|1_ln | - -::J0;l .1 сonЬl ,J,r)ld3дeсь пoстoяннаяинтeгpиpoванияoпpeдeляетсязначениeмапl.плитylьt o(0) B нaчaЛьньtймoмeнт вpеMеllи.$ 5o.
AвтoкoлебaниядЛя пoддеp)каниянезатyхающихкoлeбaний в автoкoЛeба.тeльIlых систeмах ttе тpeбyю1сяпepиoдичeскиeвнешниeсиЛьl.в систeмe'кoгдааMпли.вoзpастаниeэI]eргииЧтoбыo6eслeчитьэнepгии' к0гдаyбываeт,aтак)кeдиссипациютудa кoЛeбанийнeЛинeйны6ьtтьсилывнешниel]аpaстаeт,дoлxныамплитyдатoЧныЙсooтвeтствyeтpФкимyавтoкoлe6aнийми. Cтаuиoнаpнoму259бaЛaнсмеждy диссипациeйэнеpгиии пpитoкoMэнеpгиив си.стeмyза oдин пеpиoдкoЛeбaний,Мaятникв чaсах'скpипичнаястpуна-смычoк,pадиoтexничeскийгeнepатopи т, п.
_ физичe.скиe системь|,в кoтopыxpeаЛизуетсяявЛeниeавтoкoлeбаний.Aвтoкoлебатeльнуюсистемy yдo6нo изoбpажатьв фазoвoмпpoстрaнствe,,цnя oднoмеptlыхкoлeбанийэтo фазoваяпЛoскoсть({'{) (pис,32).пyсть в Мoмeнтвpемени, : 0 сисTeмавaхoдилась(l0lв с o с , l o я н и€ (и0 l 'т a к K а к в p е ж и \ 4кPo л e 6 а н и!Йy б ы в a e rс poстoм€ , и3o6pаxающаятoчка на фазoвoйплoскoстибyдeTдвигаться no часoвoй сTpeJKe и' сoвepц]ивгIoЛньIйoбopo'Гзaвpeмят, oкaжeтсяв тoчкe€ ( 7):0' с(т), Если нача,1ьнoесoстo.яние сooтвeтствyeт.oбЛасти'в кoтopoйпpeoбладаeтдиссипацияэнepгии,тo 4(т) < ((0)' Если начаЛЬнoeсoстoяниесooтвeтствуeToбЛасти,Iде пpитohэнеpгиилpевышаeтдиссипaтивныeг]olеpи..o (tт) бyдeтбoЛЬшe((0),ГpанишeймежлyдвyМятакиvи 06лo.с.яv,j фазoвoйлЛoскo.тисЛу)t(итnpеdельньtЙцuKл _ зaI4к|1у-ёя,prвая авт0к0Ле6аниi'lдЛя мнoгoмepнЬ,\cvстемаnmpaкйop16peп|ят движeнияи3oбражающейтoчки вдoльпpeдeлЬнoгoцикла равнoпериoдyавтoкoЛeбаний'oсoбая тoчка' |1J:l1'|фoKgс,c Ko.IopoгoфазoваятoЧкауxoдитна пpeleлЬныйцикл' сooтвртству.ет,'нeyстoйqивoмyпoЛoxениюpавнoвeсия.Фopма этoй замкнy-тoй кривoй и закoн двиxеIlия тoчки ojlpедеЛяюTся амплитvдoикoЛeбаниЙ и физичес,(иv \leханизмoNlавтoкoлебаний' 3наченияфизичeских паpаltlеTpoв1 пpи кoтopьIх в сисTeме Мo)<ет быть pе-а.ги-oвaнpeжимав,loкoлeбaний(самoвоз6yждения)'мo,1r быrьнаoснoвeaнаЛизакoнкpeтнoйнеЛинeйнoйустаlloвЛellысистемы,ar.7r\\9)€Рис'32' фазoвыeкpивыекoЛe6аний;пyнкTирнаякривая _пPедeльньIЙцикЛ'т0чкаА-фoкусPис' 33, маятниIrФpудакoлебaнuяГ]ава 12,Hеnuнеань|е260кo.тела), пo'щвeсoмнапpимeр,физичeскoгoмаятни(a (твеp.ЦoгoтoD;гo с;Vжит l'4\фта'ьэс2жeньая нa вpацаюLLийсяс }глoвoйлвижeнияс * Ь p o .
' o юQ в а л i м а я l н и к Ф p y д а ' D и с , 3 3 l ,У p а в н e н и еypaвнeнияЭйлepаввидедви.такoгo мaятникa мoxt]o записaтьнaмасс1'||4нepЦ|\|4цeнтрoм)кeния твepдolo тeла с MoмeнтoMDасстoянии l oT oси вpaщeния:Iё:_ ol2o+ м1o - a;'mgts\тLq(s0.1)где ol20 - Мoмeflт диссипативtiыx сиЛ' пpoпopци0наЛьньlxскo.poсти' ,l1(od) - мoмeнт сиЛь] сухoгo тpeния мexду мyфтoйвp,щuoщ"""" валoм, Зaвисимoсть мol'4eнта,\{ oт oтнoситeль."чoй сhopoстиu _ Q 9 вoадeния вaЛa и v}фты явЛяеlся нeЛикoтopoйМoмeнт,14нeйнoй,.имeeттouкy пepeги6a,в oкpестI]oсTиpoстoмИзd,скoрoс1иуpавнения (50,l.| виднo. чтo\бываeт сpавнoвeсияa"q-0.a - 0.
0,o - 0: пoлo.сoстoяниP'u"..lu*"'еe.oeq oпpедeляeтсяфopмyЛoйжениe рaвнoвeсия,,n4(n)mQl(50.2)Из фopмульI (50'2) нeпoсpeдствeннo видI]o' Чтo мoмeнты силтяxeсти и сyхoгo Tpeния дoл)кltьIбьIть связаtlЬ]нepавeнствoММ(a) < mgl'(50.3)Бyдeм сЧитать,чтo УглoваяскoрoстьQ выбpанатакoй,чтo ,Lt(o)eсть значениeМoMeнтасиЛы тpeнияв тoчKепepeгиoa'roгдаМ"(o): 0'(50.4)Pазлo'(имфункцииsinOи.,\4(o_0) в пpавoйuaсти(50.l)в ряД пo стeпeEяl1€ : 0 _ 0"q'с:0.п0лyЧим261$ 50, Aвmaкoле6aнuяB кyбичeскoмпpибли)кении_0"аtзу ff cos0.n{+ff si 0.n(zё: ! "i,"о."_ ! сos(50.5)_',тn)t *''of) е na,]1a).3.*с Чl{ уpавнeниюпpихoдим,,2.,2: tge.nц,+ f{з +x'( r,d3.i +.,oE}УМнo)кaяoбe части yравнениядвижeния (50.7)на {' пoлуяаeмypавнeниeэвoлюцииэнepгиисистeMы:)rё2'2й (т * f.,'2.2\__rgd.q{llffсo) r t, r.сo, {50,8)B oбЛасти маЛых {, € xаракTep KoЛебaнийкачeствe}lнooпpедеЛя.eтся пepвьIlllсЛаIaемьIм в пpавoй часTи (50.8), Для тoгo чтoбьIзIlеpгия кoлeбаний в этoй o6ласти фазoвoй плoскoсти наpастaЛа,кoэффициeнт xl дoл)кен 6ыть пoлo)китeЛьныl4'т'е, дoл)кнo вы.I]oлнятьсяyсл0виeM'(a) <(50.9)o1..Пpи 6oльшиxi энеpгиянeЛинeйньlхкoлебанийДoЛxнаy6ЬIвать'дoминирyюцим в пpaвoйчасTи (50,8) пpи этoм бyдет втopoe,oтpицатeЛьнoeпри 12 > 0 сЛагаeмoе,слeдoватeЛьнo'дoл)кнoвЬIпoлнятьсятаюкe нeравeнствo(50.r0)Мl||(q > o.Tpeбoвания(50.3)' (50.4), (50,9) (50'l0) к физичeскиMпаpа.п|етpаMсистeМы дoл)кньI бЬ]ть вьIпoЛнeныв услoвиях pеалЬнoгoэкспepимeнтa, Для пoстpoeния асиI!1птотичeскoгoрeU]eнияypав.Iteния нeЛинeйных кoлeбаний (50.7) мoх(tlo испoЛьзoватЬ мeтoдKрьIлoва-БoгoЛюбoвa.(50.7).oбoзначимuepезсQ({,{) пpавУючaсTьуравненияТoгдa в пepвoм Г\p'АбJ|И>KeнЙL1этoгo мeтoда бyДeм имeть.,'2.Qt€'= с Q l o с o s .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
