Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 36
Текст из файла (страница 36)
П o д с т 2 в . l | я Лн a й д o н н Ь I r|РA-yЧ'.ко, 'l.| И]в pа,rр,|j" 'о J' jdr| ,A оь l,l"l!{\"rrПЛть ураЕнениЙ вljестe с двyМя урaвнeнияl\4и riегoЛoнoNlIlьlх связей и на.lаЛьнЬlN1и yсЛовияjuи пoJ'lнoстЬlo 0прeдeJ'Iяют с0стoяние..t-)'i.r-''4\.',,i:r,'ЭйлеpаляетсяvpавнeнияlrиЛ e в Ь I e ч а с т и в o T с y т с T в и е o б o б ц е н н ь I х с и Л Q [ п o Л | l o с т Ь к )o п р e д е J ' I я ю т с яп p o и з в o д н Ь I l l и o т к и l | е т и ч r с к o и з н e р г и и к а I r Ф v н к Ц и и' | и |с. | , о р o , ," , , Д r " , ( , l " и " , o i ' e р , | |Oб"d "",ип'Ieсll-t r.
--tJДвих(eпияll2:А1з:0,,1l;:usiпi' l15:псos9sindl' li -, 4t rI,::0r .t'r1r l:16:.1, 4. 2 2 = 1 . , , t : a = a g 6 s 9 , , , 1 r o : . r s i r 1 ? s i n tния/l)Lsnrя)'s 42. интeгpиpoваниe ypaвнeяий ЭйлepaгдeaичOффиr227: \i rr, r/: r,2r,11n1- (/212r"l2 (13:0,-13)*2.u311)-3с1 : 0,.r.lr.lз (1r - Д)-r-:(42.2)= 0,KинетическаЯэнepгиятвердогoтеЛапри этoп oсTаетсяпoс.|o.янной, действитe,,rЬнo.YllJ]o)каяypавнеrrия(42,1) на 'o и суI{.NjиpyЯп0 11' пoЛyчиl\ldinS.^Пеpеставляя здесь инjlеl(сьI суllМирoвaния! скЛадЬIвaя рeзультaтс исхo,fl]ЬIМ уpавнeниеNI и интeгpируяi наx0ди]!1_l-n(l] :'loj.'.,'lj: сonsr,(42.3)228B ГлaвнЬ|хoсях тehзop иllеpци/ диагoнaлeн.Пoэтovу_t-,(42.4)]1lt) :'lod;:сonst,Тaк как кинeтиЧeскаяэнepгияЕ(n) пoсToянна,пpoeкцияугЛoвoйскopoсгlна врктoO i/oveчт2 l2\!п}ЛЬса IoJ!' t ,lаllке .]oстoянlаУM-нo)кимдaлeе ypавнeниЯ (42'1) нa Iapap |1 пpoсyмМиpуeмпo a, Интегpиpуя peзyлЬтат п0 вpeмeни' пoлyчиl4(42.5)L2 : IopoJplopup: co:r'st.B системекoopДинатУ с oсями,сoвлaдaющимипo напpавлeниюинтeгpирyя этo Уpaвнениe' нaхoдиM_tn,^t_(42.e)1.,,/ttf,I a+.onslJ V \ luis)Здeсь 1(r.'3) - пoЛиt{oM Чeтвepтoй степeни' Следoватeльнo'9лЛиптичeскаЯФyнкция," ' з (У/ p) 2 в |e н , .
] яд 1 я J | | l ) , ) 2 1 ! 1 п o Л \ ч а ю г с яа | . 2 л o . и ч н o{42,8)интeгpaлaмt:Jl(.,l)'t:f2(0J2).кэЛЛипTичeскимu привoдят.pеДпoлoжeЬичи l' o //2. J . p e ш е ь и яу р а в F e н P йд Л яBвTepмиIlахэЛЛиптиЧeскихфyнкцийскopoстикoмI]oнeI]тугЛoвoйвидeМoxнoпpeдсTавитЬвпIoдyля*якoбиI'|: d d,np(t tо)'u2: ll snp(t to),u3: l cnp\t tn)с г Л а в н Ь l ] \ 4oис я M и и I ] е p ц и и tс o o T н o ш e н и e ( 4 2 ' 5 ) и м e e т в и l(42.6\L'):Ilu'.:constPавенсТва(42-5) (42,6) выра)каютсoхpaнениевo врeМe!'иaбсoЛютнoЙвеЛичиl]ьIмoмeнтаимпyлЬсатвеpдoгoтeЛа,НайдeнныeинтегpалЬtдви)i(eIlияпoзвtlllяютискJlк}читЬкoп,I,(h_I)uЗ:IЗ(I1L2,L2llеpемнo)laялeвыeи пpавьIeчасTиэтих сooтнoшeниЙи извЛe.кая из резуЛЬтатaквадpатнЬIйкoрень, пoЛyчим для (I1 I2)a1a2:r(r.,з)(12 - I1)up2 :tr.зl_(1{ rrl rl 2 _l 1 L ! jLI tItI',;|+2T12L2Iз),iЗ * 2T1, + L,]r(.з)ItIэI l ? t aL ' < Z l 1 2 12TI\L212\t It2 )h)2T\ -L2I3l\ - Is)2TItL2 (12 I3)тj,TIзтI| _ I,)u|: a сnp\t to).u2:Bьnp(t-tn)'a3 :1dnp(t - to).(42.1r)BьlpаrкeниядЛя a и .
I 0 с т а ю т с я B с и Л е и в э т o м слyчаe- кpoMеr l/2}Пoдставляя(2.7) в (42,2)' приxoдимк ypавнеI]июс pаздeляю.щиМися пepeмeнньIп{и:I|Ф, 1'hW,I hIзv(42.7)L21 'x |Iз(I|2.IIЗ-;-.i-;------т- '.Iз)0)з 2I|EФ)+L2.(42.10)пpи L2 > 2T1:. 3дeсьпoнeнтЬIt,1' !i,, из диффepelrциаЛьнoгoypaвнellия Д'ля|'э (42-2),дeйствитeЛЬнo. из инTeгpаЛoв(42.4) |1 (42,6) нa\oДиМI|(I2 I|)Ф1: ЬQ3 - I)a!+2I2Ep"2293йлеpа-.s 42.]4нmе.pupaвaнuецpавненuЙГлaва la, ]7pa1.muцес1.uе\аdачu аuнамu1.unвеpdых |nел(42.8)2T Iз.-;;------i- l з )l2\l2p:Fтt -- т -ъ,хц t"l '\l\L2 - 2TI3 (.Ir1|!21з12)2Tт._tra; IJГeoмeтричeсKoeпpедставлeниeсвoбoднoгo дви)кeния твepдoгoтеЛa с oднoй нeпoдвижIloй тoчкoй данo Пуaнсo,B систeМе кooрдинат S, пoстpoим элЛипсoид инepции2 I 2 Q Ь )+2 / 3 ( r i ) , t : 0 'J @ \ ' x \ .
x \ ) : I 1 ( I \ )+(42'\2)2з0Главa 10. llpаKmuчeскuе\adачu duнaмufiu mверdыхmeлвектop rа пеpeсeкаeтэтy лoвepxнocTьв нeкoтopoйтoчкe с кo.opД|вaтaмн{o на pасстoянииR _ '/.;Е oт начаJа кooрдинат.Числа {o удoвлeтвopяютypавнениюэллипсoидa(42.12)'пoсl.oлЬ.ку пpиIlадЛe)категo пoвepхнoсти.напpавЛяющиeкoсинyсывeк.тoPoв€ и a.'сoвпaдaют,тaк ятo {ofR: оofu.пoдставляяэтo значeI]иe€ a в уpавнeниe(42.l2), пoлучим,R2^-Ri 2Ь- ' L o _ =(42'|з)2Е'k = |'т'e.
oтнorпeниeс,.'/Лпoстoяннoи кoмпoнeнтьlyгЛoвoйскopoстипpoпopциoflаЛьньIкoopдинатам4a:2Е6€"'," =;€":(42.14'rloстpoимдалeeпЛoск0сть,касaтeлЬнyюк эЛлипсoидyв т0чкe с кoopДинaтaми{"' Bектop нopMaлик пoвepхнoстиэлЛипсo.(42,12l,в гoчкe касачияпpoлopLlиoналенI,1ДaгpадиedIyфyнк.Ц|1|1{42,|4).бyдемlk\.x'|..r'|)' так чтo' пpиниvаявo вIlиlианиeимeть:,',..'..!=э!ь.#|,.='''n.(42.t5'toтсIoдавиднo,чтo мoмel{тимпyльсатв€ p дoгo тeла .o пepпeндикуЛяренкaсательнoйпЛoскoсти.ПPи этoм пpoeкцияyглoвoйскopoсTиФ tlа направЛениeмoпIeнтаимпyЛьсаL являеTсяпoстoянlloЙ:LL.u.: _liГ:.|ц2Ц*l: сonst.тг:(42.|6\Pасстoяниеoт закреплеtвoйтoчки 0 дo касатеЛьнoйпЛoскoсти pавнo прoекции вeктoра€ на нaпpавЛeниенoрмaлиL/|L|.9тo рaсстoяниетаюке oстаеTсянеизмeяньlм:.Lsт_;R Lo.'o|t|=w;12E.ttL',DЕ,l" ="o*'_l1(42.t7\Tаким oбpазoм,движeниeTвepдoгoтeЛа с oднoй закpeплeн.нoй тoчкoй мoжнo прeдставитькак кaчеяиежeсткo связаннoгoс твeрдымтелoм эЛлипсoидаинepции пo нeпoдви)кнoйв пpoстpaвствeпЛoскoсти'пеpneндикyляр!{oйнeпoдвиxнoмyвектopyмoмeвтаиPдyLьса L и oтстoящeйoт зaкpeплeннoйтoЧки на pас.tJ2E'o' ..стoяниejli|_Углoваяскopoсть.,теланапpавленаиз тouки0чuе gpавнеllui эu]|еpа,''s 12,И ьn е?pupoва231в тoчкy касания.
lIа эЛЛипсoидe и !|а кaсатeЛЬнoй плoскoститoчкa касания вычepчивaeт кpивыel кoTopыe нoсят tlазваlJия 'o.,|oduя u ееpnoJ|odu'Lсooтветственнo.Pешeниe динамиЧeскoй задачи для свoбoдtloгo движeния-вeDдoгoтeла знaчитеJьнoугtpolllается.eсли твepцoетеЛo oo.rад;ет сиMveтpией, oсь z, систeмы кoopлинат S, с началoмв це}.lтpемасс мo)кнo вьIбратьв IlaгIpaвлeнииoси симмeтpии тaк'чтo всe тpи oси бyдут глав!{ЬlмиoсяМи иI]еpции и цeнтpальнь]емoмeнтЬl инеpции I| L1 12 6уДут сoвпадать. Тoгда из yр6внeнийэйЛeрa сЛeдyeT,чтo Uз : (rJзo= corrst иa1 :Qц2,ф2 : Qщ'(42.18)где Q = o36(11 _ I3)/11.
Из (42.l8) имeeмoтсюда*G)|+ ia2) = in\,,)|+ iФ2).ut+ili'2=aei(Qt+B),(42.19)(42.20)мы видим'чтoинтeгpиpoвания..| +,,l2,: az|o, p _ noсToянныeвращaeтсясG,l и 0J2вeктopс кoмпoнентамиуглoвoйскopoсTьюг),y.лoвая скopoстьпpиэтoll'пoвeличинe;oстaваясьпoстoянньIмтвеpдoгoтелаr . r = t , , l r i ' + o ztj . l з о k ,гpецессиpyeтс чaстoтoйQ вoкpyгoси симvегpиителаz,.планeтьIЗeмля r.,l3g_ сyтoqнaя скopoсть вpащellия'дляI|II| _ h) ! 300, и yгЛoваяскopoстьвpащeния3eмли дoл>кнаoписьIватьoкpy)кнoстьвoкpyг Сeвepнoгoпoлюса за 300 днeй,на6ЛюдвeмыйпepиoдoкoЛo427 днeй. Pасхo)кдeниroбуслoвЛeнoмoдeЛипЛaнeты,нeсoвepцjeнствoмтвеpдoтельнoй2З3сuсmеn|ко,,|ебанuя|сoнcepваmuв|lbLхs 43, Лuне|1|!b|есисTемe,имeющeйвнимaltиeна кoнсeрвaтивнoйсoсpедoтoчиNjqf;n),pавI]oвeс,"onp"д","u'o" ,.хоTя бьl oднo пoЛo)кeниeглaвa 1lII4AЛьIЕ кoлЕБAIlияB3Aиlt{oДЕистBуюЩихсиствll,lчAстиц}сJloвиЙ9^U _0'oqo '"$ 43.
ЛипeйньIeкoЛeбaниякoпсеpвaтивнЬIхсистeМ!инамика системьlчастиц в связанньIxсoстoянияxсвoдитсяк бoЛeе пpoстoй зaдaче динaMики TвepдoгoTeла в yсЛoвияx, кoгдaв пpoцессeдвиxeния мoxнo считать неизМeнI]ьIмoTнoсиTельнoepаспoлoxeниe uaстиц. Bсе аToмьI и мoЛeкУЛы систeм в Такoмнeвoзмущeннoм сoстoянии дoЛxньI нахoдиTься в пoЛoжеI]ияxpaвнoвeсия.B peалЬньIхфизиЧeскихyсЛoвияхнeлЬзя прeне6рeЧьдви)кениeпI атoN'oв и МoЛекyЛtне oсТавив без вниМания физичeс(иeявлeния, oбyслoвлer'ньIетаким дви)кeниеl\4,Мы снoва вoзвpаща.Pм.q ( ]po6.ЛrveA ,eл, нo гeгрpЬвыдеЛим(ласс ]ада] с чPиз.мeннЬIп|oTнoситeЛЬIlымpаспoЛo'кeниeм иЛи кoнфигypациeй пoЛo)кeний pавнoвесия (кpистaллиueскoй рeUjeткoй для кристаЛлoв) и сoсpeдoтoчиMвниманиeна эвoЛюцииМальIхoтклoнeнийqасTиц oт пoлo)кeниЙpаBнoвeсия..Цля динамики MальIх вoзMyщeний не тpe6yeтся пoлнaя ин'фopMацияоб энeргии взаимoдействиячастиц, дoстатoннo.
uтo6ыэнepгия взаимoдeйствия в MаЛoй oкpeстнoсти пoлo)кeния pав.нoвeсиядoпyсKаЛaаппp0ксиМациюквaдpaтичнoйфoрMoй;ypав.llения двихeния бyДyт линeйными, и мtloгих п{aтeматическихтpyднoстeЙ' хараKтерныx для систeМ Мlloгиx частиц, yдастсяизбФкатЬ, При6"rи)кеI.lиеэнepгии взаимoдeйствия бoлee вьIсoкими сTепенями кoopдиIlат пpивoдит к сисTeмаM нeлиIleйныxуpавнeнии! и каxдая oтдeЛьIJаязадаЧа тpeбуeт саn4oстoятeльнoгoиссЛeдoвания,,цинаМика кoнсeрвaTивнoй сисTeп{ы с s стeпеr]яMи свoбoдыпoЛr]oсTьюoпpедeЛяeтсяфУIrкциeй Лaгран)ка|. t _Ulql''''.цs], {o'tJ- |,,,,'.] (43,|)6L]oвIq|....'q.|anqBи нaЧальнЬl[4иyслoвиями.Диссипативныепoтepи энеpгии в тa.кoи .ис|емe o] сyт.тв) ют.
а l вяз,4 яв.гяю-ся сtаuиoнoрньlми,"o q" o-o1q в|4з,2\| д0,чнайДeм зaкoн дви)кeния систeМы в oKPeстнoсти qfq) при мальrхначалЬньIх oтклoнениях 0т пoЛoжения paвнoвесия Й мальIх на.чаЛьt]ьIxсKopoстях d.,,пo KPайнeй мePе' пpи мaЛьIх t oтKлoнeния oт paBнoвeсия {.(t) : q"(.) _ qуq) и все € " (t) : ti"(t) Maлы,гIa Tаких вpeмe.зап{eвитьеeнах фyнкuию Лагpaнх<а(43.1) мoxнo пpибЛи)кeннoмаЛ0стисoxpаняяIlopядoквпoстeпeняM€ o .
сo,разЛoжeниeм рядBчлeнавзаиМoдейсTвия.I]eисЧезающeгoпеpвoгорaзЛoжeнииэнepгиивзаиMoДеЙсTвия*ff]""a"ofоl*a (,ir, ,s,): u (sro\.... .,t'.",\)лf,ф)+(43.3)ЬffiJ."t'" nt.nl11,1B.nu.ue'o" Lr (q1",),. . ' , ql"n)) 'o*"o oпyсти,гЬ вслeдсTвиe нeollнoзнaЧнoстифiнкции Лагранrка, Линeйныe членьl pазлo)кеIlияpавны I]Улю, oтличньIпIи oт IlyЛя пo yсЛoвию (43.2) 6yдyт квад'ратичньIеслагaeмые' сoдepxaщие инфoрМациюo взаип1oдеЙсTвиив виДe вToрЬlх прoизвoднЬIxфyнкции U, Пpиit2rI IArl"Ast ,""энeртииn"puo,йn"""',".nIoщ,й Член pазлo)кeнияпoтeнциaЛьнoйМaлыхзвoлюции6у,xeтимeть пopядoквЬtшевTopoгo-Уравнeниявoзмyщeнийтаких систeмбyдyт неЛинейнымидиффepенциаль.нЬlми ypавнeнияMи.
с тoЧнoсTью дo кBадpаTиЧllых сЛагаeмЬtхr:f,".Bс.ЁBt""pс.ср.(4З,4)Здeсь: аBo'=o.B= a.p|.n""u#|"":"^(43.5)f-.2з4Г.ruвa 1I fu1.IJLbIекоnебанuя сцсnем,,-Ц ' а в r r еи я Л а г p а н д а в п е p е N ] е н н ь{ ln\:(43.6)n,,r{r + ?1,,!{!: 0,п p е д с T а в j l я ю 1с. o б o й с и с т e M y s } . р а в l l e l l и йд B и ) к е н и я к o н с с p в а т и вн o й с и с T е N l ь Iв л и н e й н о v | | p и б Л и } I { е н и иP.e I I l е I | и eэ т o й с и с т e м Ь |,l|'ч|"\,|ФФlo||',,Ь|Ь\|а"и,IP\l Bв|F,(o\I,'',ных {., :1.,e{p(i ' t ) , в о ц e с Т в e н н ы e ч а с т и к o .
Г o р ь j хс o o т в e т .с т в y J о т Л е й с T в и T е Л Ь н o м Yд в и ) к с н и ю , У р a в н e н и я д в и l к е l r и я ( , 1 3 , 6 )в : j т o l \ jс Л Y ч а е с в o д я т с я к с и с т с l \ l cа . i r г e o p a и ч e с к и хv p а в l l е L l и и д л якoN1л.]lексJlЬlх аl\lпЛитУд,4n(tr";:o2a,,;).'1e: o.\43.7)Эта систепlа иNlеет tlетривиаЛьньIе pеIl]сния jlиruЬ Прии теЛяр a в e н с т в а н y Л к ] е e o I lр e , ' 1 е Л. \ = с l l , ti u o ,(43.8)!J]a.1j :023эb|х с .пе-цкo]с6aнuя кo|1сеpваm11в|1s 13 "|Iuнеti||b|е!!l i п o ( д ) н e т с y N м и р o в а н и яo)T.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
