Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 38
Текст из файла (страница 38)
B нeвoзбyxдeннoм сoстoянии мнoгoатol{.ныe мoлeкyлы дoпyсI(ают пpeдставJeние a видe твepдых тeЛ,tJычJ,iсЛeнияинepци0Ilныхxаpактepистиктакиx vo!']еку!l]яpныхкoнфигypаций прoвeдeны вЬIцIе' 3дeсь в каueстве пpилoх(ellияк oбщей тeopии линёй8ых KoЛeбаний кolJсepвaтивIlых систeмpассмoтpиI!,t|<oj|еба'нuя'|u||еtiнoасuJn''еmpuчt|oЙmpехаmoм||o|ioлeкglь| c массами п}, ll,4, rn в слелyющeй пoствнoвке: взаимoдействия ме)кду атoмами зависят тoЛькo oт pасстoяний мeждyниl'и и имeeт хapактеp пpитя>кениядЛя iбЛи'<айших сoсeдeй'и oттаЛкиваl{ия дЛя кpайниx aToмoв.
такoй xаpактep MеxатoM.ньlх взаимoдeйствиймoжeт oбеспечитьЛинeйнyюкoltфигypaциюмoлeкyЛы- Bдoль ЛиIlии pаспoлoжeния и дви)tения атoмoв мo)кнoвь|бpать кoopдинaтнyю oсь эr. B pавнoвeснoм сoстoянии кoopди.riаты aтoмoв связаны yсЛoвиeмE02_ao|:Io3_xo2:а'(45.5)241нeвoзбyждeннаямoЛeкyламoдeЛиpyeтсяи, сЛeдoвaтeльIlo,твeр.дым тeлoм,Фyнкция лагpанxa мoЛeкyлыимeeт видm,.'L-т|ii1-c,}il -М.c--,тi6_Ul|x2_x|)_ Щ('гз_.rz) Uzjз_"t\'(45.6)ПPи малыx oтклoнeнияx атoмoв oт пoлoжеIlий pавнoвeсияфyнхции И, ./2 мoxнo заMeнить их paзлoxeниями в Pяды тeйлopа в oкpeстнoсти пoлoxeний равнoвесия.
пpи этoм пoстoянвыеслагаeмые в вырaxении дЛя фyнкции Лагpан)(а мoжнo oпyсTиТь'а сЛагаeмьIeс пepвьIМипpoизвoднЬlми0т энepгии взаиMoдeЙсTвияв paвнoвeснoмсoст0янииpавны нyЛю.C тoчнoстью дo квадpатичнЬIхсЛагаeмыx 6удеM имeтЬl --,,..,.c. II .c- 'iiз)|Ia | ,;|ii;ii_ ;Ui|"I|\",- I"lt', t2t- ol2!t\ 2ol2. 14s.7\|ui'lot;u{r2otl(rrL- _m..cПoлaftя в (45-7)€l:'l_zol,€z=сzltoz' И:U((al'h2:UiQa)' (45.8|пoJIyчим.^1t4.^ I^L -;(.?' t1)| ';Ёa_ ;|k' + ы€? _2k|t,,I+ (Al + *2)€ з 2_ 2&l€ 1 € !2k2|f3 _ 2h1ф{2]== ll'а.pQ"fu' ,u"p{"|p(45.9)(а'0 = |,2'з). Матpиuыaop и zap имeютвид/m 0 0\o"з-|o M,0I'\0 0 m/*"xТjf:',##*ий-az \lkr rkz -\i,"d_| h2 k t _ д . l ' (45.10)\ ftr \ \+kz,loпpeдeлитeЛьA eсTьoлрeдeЛитeльмат.-*r]z[\kr I k,tt nt2l1\'1.,.t2 -*1-r'2krIl=-*1(kr + kz) - mt2JkzL= -u2 {(h + k2 - пu,2)|(\ + Ic2)M+ 2rnlq _ mMо2l +' G5.|1\+ (2mц hIЬ2)k2].242s15' Нцлeвыечасmanь|,I|oлебапя мa,1екц,1I.naвa 1| |\lаnue кo,1ебХаpактeристичeскoeyравнeние^:0',l,2Аи\1ееттpи кopня:n,, '/"-, ,, t iо o т в е T с T в y е т с NeT а к о е с o o т l t o ш е н и е l l е ж д у a ] \ 1 I l .
Ц и T } Ц a мс и1 4' l 2 lНyлeвал настoта эt : 0 здесь lloявляется незaвисиI1о oт иl].д и в и д y а J I Ь I r ы х ф и з и ч е с к и x с в o й с ] . в п { o Л е к v Л Ь IЕ. с " ! и p a в I r o в е с .н ь I е к o н Q и г y p а ц и и Л и l i е и н Ь l х т p с ) i а т о ] \ 1 н Ь lMх o Л е к y Лo п p е д е J ' l я ю т с я э I l е p г и я ] \ l им e ) к а т o l \ { L i ь Iвхз а и п l o ц e й с т в и й 'т а к и м и ' ч т o . - r i l ( a )++2Ui(2|1):a' Tо частoта|'2 так)кeб}Цe1р2вHаJr}'Лю;в pе)кимеiинeйJiьIх кOлебaнийMолекyЛасовеpшaeткоjleбанияна oднoйЧас.Гo.Ге.нe зависящeЙoт aмпЛитyдьIкoлебaний'д л я в Ь J ч и с ' ' l е н и яа M п л и т y д к o J l е б а н и й н а с o б с T в e н н Ь | хч а с т o .т а х K o р н и ( ' 1 5 ' l 2 ) с Л е д } ' ' e тп o Д с T а в и т Ьв y р а в н е н и я д Л я l ( o п l п j l е к с .нЬlx аllпли'lyд |'u',"1 о,rl."i)Аp:0, При o2 = -i эти ypавнeнияс т а J i o в я т с я з a в и с и ] \ 1 Ь | M иI'l o д в а и з н и х н e з а в и с и п ' Ь I .1 1 o " r l a г а я .чтo этo yравнения с IroNlераIJиr r : l ' 2 .
б y д e п rи M е т ь д , . l я"!юбoгoкopня-]:|дию'lo|<h}'ы.(e ooбс'(45.13)toпPeделитс"'lьнеoднoрoднoйypaвнеrrйй(45,13) равeнсистспlьr.\{ = (A1+ &2 |11'''|')(2k1 м n|i,) k?( 4 5r.4 )и я в J l я e т с я l \ { и н o p o Nхtа p а к T e p и с т и ч е с к o г оo п p e д e " ' I и т e л яд.в а д р y г и х l \ ' I и н o p аp а B н Ь |^1: *i +a,(2,{,rrl/'i),(45.15)A ' = A 1 ( A+l 2 k , n ю i ) .(45.16)Kомп"'lексньle aпlпЛитуДЬ] какperl]eния систеN1ЬIyравнeний,,le.]"исl,рр,Llра в|lЬI= С:,1k,12k,1(*-1|'2)#0,):д!,)=o' а!') ,11',),\45.17)где O(/,]пpoизволЬнЬIeкoпlпJ'IекснЬIeпoстoянI.lьjе,OсTаeтсяпoцставитЬв эти фopМvЛЬIнaйденнЬIевьIpa)кeниядля сoбствен.нЬ|хчастоT.3наuению7r: l соoтвeтствyетr.-.|:0, и ]\lьlнаходиNt/] :,1]:,1]:С1,(45.18)(15.re)к р a й I l и e а т o N 1 ьсI o в е P ш а ю т к о J ] е б а н и яс o д и н а к o в ь l Nи а l \ I п J .
I и т y д а]\{ии пpoтивoпoЛottllьIrЧи фазаMи пpи нelloдви)кl]ol\I цeн1рa"rlьнot\'Iтlакoнeц, на частoTс !J3 (45'l2): сзr'(l'r 9*,). ,l., :,.'l.,.я!з]^';(45.20)в o з б } , } к д e н и иN l o Л е к } ,ч T o с в и д e Т е л Ь с т в y е то б а н т и с и N l N J e т p и Ч н o м(]-]з'ЛЬl на ЧaстoтеN1о)<нoпPедстaвитЬ в виде сvЛep.Закoн дви}кeния ]VIоJ'IекyJ.lЬI'\lрDнo|oио'иUи, равГ ч I \ , o J и , e i, o о Д в r ж , Р l q и . , F ' : i , Ь , '.!13:начaстoтахL'2,кOлебаний( 4 5 .r2)ПOдставиN1 сюДа найдeнItЬIе сooтношснияп литуl, Пo,lуvипtдЛя кolllплекснЬ'х аM'с\:|]t+(+02+0з'2m€2:||t+.|- -|з'()2+0з'сз:it+с(45.13)пpoпopциoналЬJlьi(a5,la)' (a5,l5),(a5,l6):Nlинopaм= C44-\у)',,11iв,.,\!o|рlp : 2 сoответствyeтЧа.тoта J2, Ha этoй частoтeЗна.IеLlиIoапlпЛитyдьIr!3):сз}(Ц*,II24З0z:оzcos(-ltIfz),,3 : rr,з(os(l.)зf+ яз)н о р N ! а " r l ь н Ь I ек o Л e б a н и я ,(45'24)B и д н o .
ч т оИз (45-22)' (45,23)'+ .:).п.{1 + '1.1(2+ '1{з : (2rll+ ,\..f)(tt(45.22)(45.23)(45.24)244Глава 1l. lуIаJ|ыекoле6aнuяcuсmел...ЕсJtи oбoбцeнныe кoopдинатЬl выбpаны тaк' чTo выпoлнeны pа.вeнства(45.2):m((l+43)+n,f€2:0'ro 0 И c 6уtУт Pавны нyлю, и тpансJrяциoннаястeпeньсвoбoдN('l : 0, бyдeтискЛючeнаиз выpaжe.мoлeкyлы!сooтвeтствyющаяния для фyвкцииЛагРаtl)ка.$ 46. BынyлсденныеЙe fp(t) : ^AQa(t\ - oбoбцeннаявнешняясила' сooтвeтствуюкoopдинатахфУнкциящaя кoopдинате0!. пoэтoмy в нoрмаль!|ыхJlaгDанжа пpииимает вид":t_цo,,){Ь,,tr, +hФo"\'(46.3)="2,",o, 7611uu.(46.4)а ypaвнeниядви)кениясвoдятсяк s нeзaвисимыМypавнeниям:t(oЛeбaния кoнсepBaтивпьrхсПстeмФункция Лагpан>какoнсepвaтивнoйсистeMьIв3аимoдeйствy.ющих частиц' нaхoдящиxсяв0 внerДнeМскаляpнoMпoЛe' иМеетвидL :2456 47.
"quнеi|!b|е1.oлe6aвuяoucсunamuвных cucmе]tIi""в|l'''''q")q"qp_ U ( q ' . . . , с l " _) U ( " ] ( q l , . . . , q " , . )(46.1)Здeсь U{"/(q1,,.,q",') _ пoтенциаЛьнаяэнepгиясистeмы вoвнeшнeмлoЛe. ПPeдпoлaгaется,чтo систeма имеeт пo кpайнeймepeoдIloпoлo)кeниeyстoйчивoгopавнoвесияq!q,.Haйдeм закoн движeния систeмы в oкpeстнoстипoлo,t<eнияpавнoвeсияпpи,малых oтклoнeнияxoт пoлo}кeнияpавяoвесияt."(/)_ q"(') _ qУq)и малыхскopoстяхi"(tl -.i.ol.
пpи кoнeчных t тaкиe yслoвиямoгyт быть peаЛизoвaныв сЛабoмвнешtlемпoлe' чтo и пpeдпoлагаeтсяяи)кe.L т0чlloстьюдo пeрвыx' нeисчeзающихвсЛeдствиeнеoднo.зtlачнoстифyнt{цииЛагpан)ка,члeнoв pазЛo)кeнияпoтeнциаль.нoй энepгиинaхoдимиз (46.l)t : f,"^вt.ёвf,".a€ " +(рQ"(r)€ . ,(46.2)гдe 8"(t): _6уtо 7ao"|\"q)_ знaчeниeвнeшнeйoбoбщеннoйсиЛыв пoлoхeнииpавн0весия.пpеoбразoваниeм oбoбщeнных кoopдииат (44.l), с" =_фoрмыo"д4,(6 и Дap(o(, oднoвpeмeн.! Afi0,. кваapатинныeнo пpивoдятсяк вopмальнoмyвидy.,(Ля энepгиивзаимoдействияс внeшI,iимпoлемпpи такoм преo6pа3oвании6yДeмимeтьa"(')€ " = e"(.)'=D tp|p,A|"0Pё"+кoЛe.кФкдoe из yравнeний(46'4) oписываeтвынy)<денньIеимеющeгoсoбсTвeннyюча.гаpMoническoгooсцилЛятopa'банияoбщeгoс1oтyUд.
o6щee рeшeниe(46.4)являeтсясyпеpпoзициейpeшIeнияypавнeнияи чaстнoгopeцIeниянeoднopoдoднoрoдн0гoнoгo ypавнeния(14.44):I , . . , - t - , - , ,, *_ -' 'l0| _ o|"\cosф,'l + ь(!l sin&l,f + lJ(,j.'t.,st'lg1}lJtдФ|0dг'(46.5),[I'лясисTen'ыс 5 стeпенямисв060дыoстaютсятaкxe спpавeд.вьIнy)кдeнньlхкoJteба.Ливыми рeзyЛьтатыанаЛизaoднoмеpl|Ь|хний' в частнoсти,пpи сoвпадeниич6ст0тывьlнyждающeйсиЛыс oдиoй из сo6ствeнныxчастoт систeмы u'l, буДeтиметь мeстoявЛeниepeзoнанса'$47.
ЛипeйпьIе IФлeбaния дIlссПпaтпвпьrx систеttlчастиц' в кoтopoй.Динамикасистeмывзаимoдeйствующихpacceяниe\nэнеpf|4|1дви)кeниeЧастицсoпPoвo'<дaeтся\oucсuпamuвнaя сucmема),oпpeдeлeна'elЛи заданы фyнкция Лагpаtl)касистeмыи диссипативныесиЛЬI.l,ыдeлимсистемУиз этoгo кЛас.са' кoтoрaяиyeeт пo МeньшеймеpеoднoпoлoxeниеyсToйчивoг0ql"q'' и eе фyнкuияЛагpан>каpавнoвесияв малoйoкpестнoститеl{'(e пpибли.пoЛФкeнияpaвltoвесиямo)кeт6ыть пpедстaвлеllах<еннымвырa)кeниeм(43.4),чтo и функЦияЛагpанхtакoнсepва.тивнoйсистeмы:(47.r)скoPoстямчастиц'силы, пpoпopциoнaльныe,циссипативныeмoryт быть заданылpи noмoш'tduссunamuвнolфцнкцuu:...,c")c.Qp> o,D(q,... 'q-Ф,...,q"):id.p(q|'d , " 9 Q 1 , .
. . , :q ' d) p " ( o r ' .'.q. " ) ( o ' l : l ' . . . ' з ) .(47.2)(47.3|246l u.mPДкa'4е6анuяduссunаФuвнblх$ 48 Bынgпdеннь'еГлаaa 11' Jiaлые кoлебaнuясuсnем,'.JpавIleI]иядви)кeниясистeмы пpи наличии диссилa'гивныхсил, пpoпopциoнaЛьныхскopoстям lio, мoгyт быть IIoлуЧeвы пyтeм пoдстанoвки функции Лагpаюка и диссипативнoй функциив ypaвнениеdl0L\d.t\0.," )ALos"ADaq"'(47.4)Из (47'3\ ьиднo, чтo систeп{a ypавнений дви)кeния бyдeтЛивeйнoй' eсЛи не ToЛькo фyнкция Лагpанжа, нo L1 Д|IccЙлa.тивная фyнкция D в oкpeстнoсти пoJlo)кeвияpавнoвeсия 6yдeтIrрeдставЛeнаквадpатичнoй фopМoй oбoбщенtlых скopoстей, т. e.pазлo)кeниeэтoй фyнкции в oкpeстнoсти пoлo)кeния pавнoвeсиясвoдится к yдeP)каllию тoлькo пеpвoгo чЛена pазлoxеIlия:d"ij(c|,...,,1")= d.p (qPФ,..., qGф) = dа{J= dpo.(47.5)Тoгдa в пеpеменных (,, = q.
_ q;E,l) уpaвнения дви)кellия дис.сиnаTивнoй систeмы бyдут иМеть видa.gсi+dapсо+ua|сp:0,(47.6)Эта систeма s линeйных диффepенциаЛьныхypавнeнийнeсвoдится к сисTeмене3ависимыхypавнеl.tийпpи пoмoщи вBeдeния l]opмалЬньIxкoopдинат'PеrUениeсистeМы (4z6) бyдемискатьв видeдействителЬньlх.,IастeйXарактepистиuескoeypавнeниeэтoй сисTeмыиMеeтвид(47.9)здесЬ всe кoэффициeн'rы аo1j, do11,tlo! вeщeствeннЬI.Пoэтoмyкopни (^ = -i&') ypавнeния (47,9) ли6o вeщeственньIe(частoты ('мнимыe),либo пoпаpнoкoMплекснo-сoпря)кенныe.мниMыe частикoмгl!']eKсныx.' oтPицатeль}lЬl' дeйствитeльнo, лoслe yмнo)кeния (47.8|нa,4; и сYммиpoванияllo o пoЛyчим+ А"Ai) = o.(47.10)Этo кваapатнoeCyvма еГo кopнeйpавн31pавнeниe,ia + iu, :ПpeдлoЛo)ким,чтo кopни_iЧ' и iоi fu : l,..., s) хаpакТе(47'8)нaйдeны.pисTичeскoгoypавнeниясooтвeтствyющиeэтими А+МoгУт бьIтЬкoрIlям кoмплeксныe амплитyдьl А"(u)"(оi) кoтopыe llo(47.7)'найдeньI в PeзyльтаTe pешения уpaвненийслe пoдстанoвки кoрней станoвяTся линейнo зависимьtми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
