Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 34
Текст из файла (страница 34)
l v г J o в ! ' ю с к o P o с т ь ; ( 0 ) _ 1 / ( 0 ) .l ' ( 0 ) : . n '$41. Уpaвнения для иMпyльса и МoМeнтa иI!пyльсaTBrpдoгo тела как ypaвrtения ,цBи)кeния| . У p а в н e н и я э й Л e р а . U 6 | ' а | J \ ] ' , . l , l I o в а \ l . . \ ' ' Д | , o ' ], и . 1 l \ | ' 'п,'аP\Io,lрЙс,в\Frи' \ '|ас,иU, ,. |' к',|оpol- вo т '/}|,о пр.,l,,|авl'|,']F в ви0р вFpЛo|o .' |а B иr"р,n.льнoй l,,le\]A o.,t,|аl-:Ll'1L, rэ . гll},,, lЧllгt].vrl)] {гi(l'пo.lучи\Il!,voll,|ar',- 1-i4I 2)г,)) |(rj x v6)+ (.1' (" ' .1))]:: lп(тоx v o )+ a r ( т о х 1 r , , : х г i '+, ,п1r).)( т ix, ,v,O) )+ L , , ( a l , 3 )глe л\1ассаTвсpдoгoтелз. rj'',' _Itасс в "s7.t:>trllrY16'YI,)lpaдиyс'ве'{тoPILеl|'Гpа(41.4),lк и н е т и ч е с к и й t ! o N | е l l TT в с р д o г o т е l .
l аo т н o с и т e - l Ь н o н а ч а . 1 а , s , ,с o в N 1 е с T и l tнl а Ч а J , l oс и с T с N l Ь Is , с u е н т p o l r п l а с с ' Т r l r . . r ат i , , , , = 0 lвсктopЬl .()' v0к o o Р . I l и I r а т ь и| с к o p o с т Ь ц е н T p а N l а с с в 5 iл o " l ] н Ь I йи N 1 п y Л Ь сP Я в ' | я t ] т с я o д н о в р е N J е н l ] oи м I I y . q ь с o м | L e l | т p аN l а с с r r l v o ' а п o Л | J ь ] йм o N l е н T и N l п у J ' l ь с аL п p е д с T a в Л я е т с o б o i iс у п l : \ 4 y( o p б и т а л ь I l o г o ' I { о l \ l с н т аи ] \ l п y Л ь с ал ? ( т O x v O ) и i с o б ( T в е н -2t6Глaвala, ]lpaкmuчесKue\а'aачuаu a uкu mвеpdыхmелнoгo' кинeтичeскoгo мoMeнтa Tвepдoгo тeЛa L/.
Уравнeниe для(opбиТaЛьнoгo' мoМeнтаd;;m(гoxv0):r0xFявЛяeтсяoqeвидны14сЛeдствиемypавнeIlияP:F,(41.5)(41.6)и eгo цeлeсooбpa3нoисключиTьиз ypавнеIlиядля пoлнoгo ltto.I{eнтаиМпyЛьсa.HaйдeмN;-LvIго"!_)(r'гo)!',. _r\= t(r; x Fl"))= M,, (41.7)где M/ _ мoМент сиЛ oтнoсиTeльнo цeнтpа масс. B такoй фopMeypaвне!iия эвoлюции пoлн0гo ип{пульсаи llloмeнта импyЛьса oт.нoситeльнo цeнтра Масс сЛу)(ат oсIloвoй для вывoда ypaвненийдвижения твepдoгo тeлаt нe пpибeгая пpи этoм к лaгранжeвoйфopмyлиpoвкe мeхaники. oстаeтся пpинять вo внимaниe хapaк.Teрные для твepдoгo тeлa линeйньle связи I\4ФкдyкoМпoнeнтaпIимoмeнтa импульсa и yгЛoвoй скopoсти LЬ: I"B.в' дЛя эToIo нeToлькo llачаЛo' llo и I,]апpавЛeниякoopДинатllых oсeй системы ,S/дoлжнЬI бьIть жeсTкo связаt{ыс твepдым тeЛoм,Пpoизвoдная пo вpeмени oт вeктopа' задaннoгo свoиMи кoМпoнeнтами в сисTeMe S/, складываeтся из пpoизвoднoй пo вpeмeнипри фиксиpoванньIх oсяx сисTeMы У плюс пpиpащeниe зa снeтпoвopoта oсeй ,S, с мгнoвеннoй yгЛoвoй скopoсTью (,.
пoэтoмyyoавъeниeдля иMпyЛьсаимeeт вид (индекс"0' y скopoстиoлy.щeн/ldv\(4l'8)Ф'v]--F'\ o Lт/Мoмeнт импyльса L/ так)ке задаI] свoими кoмпoнeнтaми в S/,и Мы бyдeм иMеTЬml(*+'.r)=пд(41.e)(пIтpихиy L/, M,.oлyшeны)'Уpaвнeвия(4l,8)' (4l.9) oбpазyю1систeмy u,]eстидиффеpeнциаЛьI]ыхypавнеI]ийдЛя шeсти кoмпo.IJeнтвeктopoвv и r.r.
HайдeнныeУ L1Ф Кa||фyнкции вpeмe-s 41' уpавненuяaля uir|LуLhcau Лoмeнma uмnglьca217ви !/toл(нoзатelll выpaзитЬ чepeз шeсть oбoбцeннЬIх кoopдинатсвeсти 3aДачУoб Устанoвлeнии закoна дви'(eния твepдoгo тeлак интeIриpoваItиюypaBнeний пepвoгo пopядка для oбoбщенныxк0oрдинат.Tвepдoe теЛo с oДнoй нeпoдви)кнoй тoчкoй имеeт тoЛькo тpистeпени свoбoды; r0' v0 oбращaются в llyль путeм вьIбopaначаЛаIloopдиllат в непoдви){<нoйтoчкe. lleпoдвюкнoй тoчкoй Мo)кeттакжe центp Mасс твеPдoгoтела' есЛ,4сVМvа сиЛ' деЙсJlyZ{(итьствyющих I]а нeгo, paвна нyЛю, Haчалo кoopдинaт инepциаЛьнoй системьI oтсчeтa 's в эToм случae всeгдa мo'кнo сoвмeститьс началoM систeмьI S,, движyщeйся с пoсToяннoй скopoстьIoцeнтpaмaсс' B сooтвeтствиис (4l'3) в oбoиx сЛyчаяxL = L,, нoв пepвoмслуЧаeL,.
N4,вЬlчисляютсяoтнoси|eлoнo}'eгoдвижнoЙт0чкиt вo втoрoм - oтнoситeЛьItoцентpa мaсс'Фиксиpyeм liапpавЛeния кooрдинaтных oсeй систeпIьI,s/ oт.нoсителЬlio твеpдoгo Tела и выдeлим в пpoизвoднoЙ п0 врeмeнипpиpащeниe за счeT вpащeния oсeй s/' тolда и при нaЛичииI]eп0дви)кнoЙT0чкиЧ*\',"'):-,'( 4r . 1 0 )(4l.l0) дЛякoмпoIrенT.!мoгут6ьIтьпpинятьIТpи ypавненияв качестве)pавнeнийдвижениятвepцoгoтeла с нeпoдви)кРoйтoчкoй.из (41,4)нахoдиl,tв сooтветствиис фoрмyЛoйдля двoйн0гo вeктopнoгoпDoизвeденияN|J : Lm|\\,|\r- r]ldг;li.(41.11)или в кoМпoнeнтахL":lm,\G',\'6",- t'o;r'e.l;6- Io6"t6.(41.12)3лeсь lop _ тензop иI]epции твepдoгo тeла oTнoситeльнo нeпo.дви)кнoй тoчки. Cледoватeльнo, yравI]ения дви)кения твеpдoгoтeлa с oднoй нeпoдвижt]oйтoчкoй (gpaвнeнuя ЭЙлеpa) лpИ|lЙ'Мaют виДfunв(4l' lJ)16\,"t е4. l.'.lga.
- М"(a'0'l : I'2'3; Д]тpихиoпyщeнь'.ЕсЛи кoopдинaтные oси сисTемьI S, вьr6pаньIвдoлЬ'tла-вньIхoсeй инepции, тo ltoMпoнeнты кинeтичeскoгo мoменTа,; 0yдут218Глaвa 10, ]lpaкmuчесl.uезadачu аuнaliul.u mвеpаblхmелпp0п0pциoна!']ьнысooтвeTствующим кo!{пoнентамyгЛoвoй скopo.L - l p1,L2 _ l2-:2. Lt _ Ij'эj.( 4 1r.4 )а уpавнeния Эйлера пpинимают видIiJl - (I2I2iJ2 _ (IзI3й3 _ g|Ii|i2uЗ: M|,ll)u}щ : M2'I ap2:M3.(41.15)Здeсь .41o_ сoставЛяющиe мoМeнта вt]еrxних сил вдoЛь главньIxoсeй инеpции. Bсе тpи ypaвнeния пoлyчаются дpyг из дpyгацикЛичeскoй пepeстal{oвкoйиндeксoв.кoМпoнeнты yглoвoй скopoсTи ('a в (41.15) мoгyт бьIть вьIpа'кeны чepeз yгЛьI Эйлepа p' 0' ф I4 L|х l1p0извoдныепo вDeмeниЛo фopмyлам'rpивPleнньlv вышe oДнoьремPнPoу'n.j )' 0, ,,\40)кнo.Ч',lгатЬ oбoбщPнными кooDдинатаvив BьIpа?кcниидЛяФункции JlаlpJнжa lвep!o.o IeЛа с oдЬoй Peпoдвижчoйгoцl{oй.oднакo тoлькo oднo из тpex yрaвнeний эйлepа бy'цeт сoвпаДатьпo фoрМe с уpaвljeнием Лагpaн)ка' этo 6yдeт yравIjeниe Лагран.)кa Д,J|я1р; oнo сoдеp)кит пpoекцию пIoмeнTа внeU]них сил I{аoсь врaщeния z,,,цвe дрyгиe oбoбщeнныесилы так)ке имeютсмысл сoсТaBляющих м0п4eнтасиЛьI| нo otlи напpавЛeны вДoЛьлинии yзлoв и нeпoДви}tнoй oси z, Уpавнeниe Лагpанrка дляпeрeмeннoй ф мo)кнo пpедставиТьв виде*(#)-a#):M"'0.tA,.^.-.' a.
с o ' u \ ' ' l z ,оц' 5,|Ф'iuо';n,0.2A,.^___вsinu) .,.,t'aч(i,'in9""'"-0-з;:a (''-:_ U| |,iсo50Пoслe'в уpавнениеЛa' p"н.'пoдстанoвкиэтих вь|pах\eний' к 2 l 4 l , l b ) г l o Л у ч а e мy p а в н e н и eIsit3 - Q1 - I2)L,t1u2: 1,t3.аля ulrngjb|а u vaленma uЛnaлbсаУpав.|P,1uя2t9ДBа дpyгих уpавнeнияэйЛеpа пoЛyчaютсяoTсюдaцикЛиЧeскoЙиндекс0в.перeстанoвкoЙ2. Уcltoвия paвяoвeсия систeм твepдьIх тrл.
Heoбxoди.gс]|oвuяlu paвнoвеcuя сuс|пeмb|mвеpмьIMии дoсTатoЧньIмИpaвeнстванyлю дЛя ка)кдoгoиз них сyмlиыdbв mе,,l,яBnяютcясил.мoМeнтoв:peакциисвязей'и сyl.4мы0' вкЛючaясил,' Fi:связeй эTo yслoвиelмoжeт! Ivr' o, Пpи налинии идeальI]ь]хpабoTьIнa виpтyaЛьнЬIxpавeнстванyЛюввидeпpeдставлeнo6Бтьв ypавнeнииIi:0(tlнaлumulескаяспсImuка'пepeмещeнияхсил. 06ьIчoбoбщeнныхpавeнстванулювиДелибoв.{iлaмбepa),|1o сt|,7а mpeн1|я сKoлb'\|енuя B УcлoB'АяX paвнoвесия нe превыLl]а.eт пpеДеЛьt]oгoзначeния дo, Услoвия pавнoвесия в такиx слyЧаяxoпpедeЛяютмнo)кeствo пoЛo)кeltииpавнoвесия,3. HeУДepхrивaloщая связь (пpимep). K вepтикалЬнoй стeн.ке пDистaвЛенo пoд угЛoм a пpoтяxeннoe oднopoднoe твepДoeтeлo. (стеpxeнь.
бaлкa и т'п.), ПpeдoставЛeнrioe сaМoljy сeбeдвижPниетвepаoе тЪлo падаPт. сoвepшaя пЛoскoпаpаЛлeлЬнoеipис'Jl,,стеPкeв вepти|.аЛ"Foйплoскoсти.пepпeндикvЛяpнoЙтpeниeM,пpенeбрeIaянaйдем закoн двиxeния TeЛа,( 4 1r.6 )_ кинeтичeскаяэнeргиятвepдoгoтeлa. B сo.,l" вg,,:!t."2.oтветствиис фopiayлаМи(34,8)для кoмпoнeнтyглoвoйскoрoсTиaas1lРис,31, Pеакции связeйи обoбщeннаякoopдинaтатвеpдoГoтeлаN\uнaЙ2LИз yслoвия задauи слeдyет, Чтo цeнтp Масс твeрдoгoтeлa пpи'oбpеTаeт нapядy с веpтиt{альнoйи гopи3oнтальнyю сoставляю.Mo)чPт.шуюскopoсги,Pea.(LиявepIи{aлЬнoйстeнки & пpи lт_o[4_ U,Чтon'!(r)г.таholo,вpеMe.]иo6pашаlЬсяв ,]}'1Ь'дo мoмeн.атPЛo,4мeет oднY стeпeнЬ свoбoдЬ|:пpи l z г ЧисЛo стeпeнеЙсвoбoлы увerи.иваеtся ча единицy,B ка.eстве oбo6щeньoйкo.opдинaты oднoмepнo.o дви)кeния BыберeМ угoл 0 нaклoltа твepдoгo теЛa к вeртикали, Toгда кoopдинать!и кoп!пoнel]тыскopoстицеI{Tpамасс тeлa длиIroй 2l мoгyт бытЬ пpeдставЛенЬIв видe, ( - ) : Z s i n d , v ( m ): l с o s , 'j.-; _ /0сosd, i,-' _ _1ё5iп0'220s 1l.
Уpавненuяaля uмngnbcau мolrенnа uмngльcaГJ|авa10. [Ipакmuчеcкuе^aаtlчu1цt!a-мuкumвеpaыхпeлBыuислив пpoизвoдньIeпo вpeмени oт этих pавeяств' [,tьlМo)кeМнаЙтиpeaкциисвязeй Rc, Ra Кaк фyнKцииd, ,, 9 непo.сpeдственнoиз ypaвнeнийдвих<eнияцентpамасс|на этапe oДнoмeрнoгoдвих(eния't < т' м0)кнo yстанoвить наypавнеl{иядЛя э!{epгииoснoваt.IииЭти фoрмyЛы6vцyтпpoдyк.ивнoчи,вьrрази-ь0' d в ви.d. с этoй цeлъю"слиДe фyнкцийпepeМeннoйoбpаTимсяк выpажel]июдля функцииЛaгpан)катверДoгoтeЛа:mI'^ ."L - _ 2 l"z, 0" zI j 0 'о :+ l ) ё 2+ m o t с o s r . .|(mI2Taк как в начaльньIЙмoМeнт вpeмeни .8:нахoдимё2:Цf6o"o_УpaвнeниеЛагран)каимeет видn,-.0(t'/!-l') *r.n^!"."0(-"0- ].*.).mt2r2\R o_ 3 * g , : ; s i n d ( с o s d _ ! c o s o J 'oтсюдa виднo, чTo пpи дocтиxeнии yгЛoвoйпepeМeljнoй,энaчeния0:0(т)' такoгo'чтo qФii:{сosa, peакция& вep.тикaльIloйстeIJкиoбpаЩaеTсяв нуль.
Pеaкция г^opизoнтальнoйпoвepхнoстив этoт мoментpавнаR" : rns(l _ mI2/I), oднoмеprioе Дви)i(eниeтвepдoгoтeла oгpаничeI]Ilo.3aкolrдви,<eнияd(t).(2сoa2_v"2ДЛя € имеeмУpавнeниe.; -i-.l!!!,rv /',tr "z '""^ J 9 \2/.ti t, (\ r.Pаздeляяпеpeмeнныeи инTeгpиpyя'п0ЛyЧаемmol'"o"0)'Пoдставляясюда фyнкции{i(d),ri(0),нaйдeмpeакциисвязейкакфункцииyглаd:z сos 6.mglсosa, oтсюдa(m12+I)ё:mgtsiтв.-Удoбнo сдeлать замeнy пepeмeннoй8, пoлoжив"o"!:€"o"},иMeемэT0 сooтнoltlениe,Диффepeнциpуя| .^nolсosQ-.510/_nglсюя0'гдe 1:1(-) a^12, 1(-) _ мoмeнтинePциитеЛаoтlloситeлЬнoцeнтpамaсс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
