Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 30
Текст из файла (страница 30)
S , ' к o 1 . o p а я N i o ) к е Tб ы 1 Ь ) к е с т к o с в я з а н а с с и с ' г е N 1 o йчaстиц' oт vfj|o8oи скopoсти твеpдol.o тeлa и oт кoнфигypацииими187Pадиус вeктop центpа llасс(Jпредс'rяется фoрl!у"r1oй] \ l е ж д yЧ а с т и ц а [ l и ' и м e e т в и д,nе-1а$ 35, Фuнкцuя "Iаzpaяllса nвtll1dо?a(35'8)lII'иo б U o J v ю , ( и Ч \ . Р , l l J Ч ч Ь | i' . н ] o I ' 2 . г o l 3 l . а , д . i . .
т в n | Р 1 L н o ,.,t,'лреoбра.,',|||Uи1вelРFrяno"op9'3x .""г.'ior кoорл,,lЬа.спpавeдЛивтак)кеKрotlскераз Y ю т ; я к а I i т е t l : r o p 'д . п я с и l \ ] в o л o в:сoвпадающииx.,,n,..1,..т e н з o р н ы й з а к o н п p е o б p а з o B а н и яr | . ',llазва'lloсит1.JТeнзopс у с л ; в и e м o p т o г o н а л ь t l o с т и . i ! l а т p и uo . , ] 'H1neпензopa uнеpцuu mвеpda?a пе|1а,m6r)и.|(иT .
н . o l ' и , l ( р U ; , r / ' ' а , , Д l , т и B P , ,I t , п I ' c л . I а в - | ' ]..,"М.('с)\lvу||o всеvЧас|ица1,I Bl,nажe||/l]''l jlтj 4,',сyN1]\1Ь|r ; j . ' : l ' ] , , } .П o э т o м у o н ! I o ж e T б ь l т Ь п р e л с т а в л е I l в в и д ев^5 ' ,З' l | а тeлатвeрДoгoт е I r . o p o в o т д e Л ь н Ь | хп o д с и с т e N l Ч a с T и цзI]аtlени'lNlичeни; кoмпoнellт 1.lJ тензopа инcpции ollpедeЛяютсяпрoстpанственl]ь|lllпlасс частиц твeрдoгo тeла' их oTtloсите..]ьнЬlllкoopдинaт ) .B ы б o p а н а ч а Л ас и с т е п t Ь lр а с п р e д е n e t | и e 1 1з a.
в и с я т o тoсеиi в я з а н н o й с т в e p д ь I п tт е Л o n l ' и o P и е н т а l ! и и к o o р д и н а т н ь l хс 4 . I e N t ыs , o т н o ( и l ' ] Ь н o т B e р , l o г о ' P Л а188oбpазyelIсвepткyтeнзopаинеpциии налpавЛяюЩегoвектopа /a нeкoтopoйoси, пoлyЧиlvt ' , t - , ] -- ' ,1,r,'rJz(;.1/n{]Bеличи|]ав фигypl]ЬIхскoбк2x paвнаквадpaтypасстoяниячасти.стoиTцьI с Массoй rni дo oси l, сЛeдoватeЛьнo'пoд знакoм сy]ult1ЬI,|aменm uнеpцuu чoсmuцbtс Nlассoйl,ll, a сyN!toй пpoизвeдeнийM а с ( U а ( т и U Р а к в а Д o а т Ьи] х p . . с т o я н и й д o o с и 1 p е д с .
а ве. нГ|o']|I1ыt1мoмен||| uнеpцuц mвеpdo?o mе!|a aTнaa,'.Геl1Ы1aac|1 |'B частнoсти,диагoнаЛьIlыeэЛeNlентьlтeнзopа инеpции 1|l' 12,,,.Jз Лpедстав.lяютсoбoй lIolleнтьtинepциитвepдoгoтe']а oTнoси.тeЛЬнooсeй 0т. 0y, 0z систепrьIS, сooтвeтственнo'сyщeствyют пpeимyЩeственнЬIeсистeМы,',, в кoтoрыхфyнкция Лагpанжа твepдoгoтeла (35,7) иN1eeтбoлеe прoстoй вид,B частнoсти. IJачаJoсистellЬ|S, ltoжнo сoвIrIeститьс Цeнтpott]\lасствepдoгo TеЛа, Toгlа 16 = r.,', 11(з5,9)альную энеpгию частиц твepдoгoтe.lа вo вI]ешнellпoлe !Г,n a ( ф ) н h ц и юh o o р л и н анг а ч а , 1\, , и y Г . г o вЭ й r e p .B гpавитаuиoннoпtpаспpeдe.пoЛесфеpически.сиNlмeтpичl]oгoлeния вeщeствас центрoltB нeпoдви)кнoйтoчке R4 с кoopдина.тaми хо.l и Nlассoй,\,rU|])]R!г(-) _ ri(35.10)oбычI]o.'iинейныеразмеpьITвepдoгoтeла пlаЛыпo сpавнeниюс pасстoяниeNlRю _ r1.1 lleжay цeнтpo\1пoЛя и центрoNtNlасствepдoгoтeЛа, D таких с!.]yчаяхвьlpэ)кeниeпoд знакonl сУ]\!мьlв лравoй части (35'l0) мoжнo pазJ.Io)киTьв pяд Teйлopаи oгpаничиTьсяквадратичнЬlмипo J]ia сЛагаeN1ЬIми'Тoгда\-r;r"i=l(з5'12)2Zr'|(t,),: tуP'(n')Tензоpаследтензopаинepuии-I.'.,,Из oпpeдe,.reнияIlpeДставЛeнpавeнств(Jинepциитак)кесЛeдуeт(35.13)П o э т o п l y п o т e н r ( и а Л Ь l 1 а яэ н е p г и я твeрдoгo тeлa в центpaЛьнolr1видеГpавитацltoннo]\1 пoлe мo)кeт бЬtть прeдстав"пеа в:,'в{r')L t,lгl,.,)+задачи oстaетсянайти noтенци.Для пoстановкидинаNlичeскoй(,lrl',,l+г'l:Iсуltl!{oйв ы p а : и т ь ч е p е з к o ] \ t п o н e н т ьтIe н 3 o p а и в с p ц и и ,i=lt! (...)lСуммь|пo всeм частицамтвердoготeла в (35.ll) нетpулнolг:l'?l,t.t : uпwi^)189mе!1a$ 35, фц|1\сцLsЛаёpaн']{а mвеpdoеoГлaва 9' Дuна,цul<аmвеpdb!хmе/I.,.l/ ral-iЗ (;n,[{,lr, ц__ I cм I!,:,|,:)zщ'-;;J ,, ,'Il(o,,-,'..*(r"'г '',.)' r35,14)теЛа тoЛькoне зaвисl]тoт oриентацииTвep'цoгo:Jто вьlра)кеI]иеслaгапервoеЛишь:1d"'',l в (35,t4) пpи этoNloсTаетсяnр" 1.\,]j)Tо'rькo oт пepelreнньrх|leнтpа ]\1ассзависит пoтеt]циаJ.]ьr]аяп0Ле:гравиTаL(иotlнoNlэнepгиятвеРдoгoтсла в ol1ноpoДнoм\- r r"+ \l =.
-Lut,e.rrL',',E=( г ' . , 'j r г , J'')gг 'l' ,lJJ,'J,ЧаЕ с Л и т в е p д о e T e Л o с o с т o и т Й з э Л с к T p и Ч e с к и з а р ,яржЛеЬннIol ь l хNlрнЬlис 1 и ц ( l ! 1 o Л c h у Л а )и р | o . г и н е й н ы e p а { м р р ь l } н аr.пoля'Ilе нрoдчopol||o(1eй внешнегo {,lеl(]poсгаги.]Pскoгo:видэнеpгиятeЛаn]мeет0рli)r"' тo пoTeнциаЛЬная190'Глава 9 Дuна,цuкаnвеpdьLхпеn]\NL,.I,,гl$ 36,)4{есnкaяdвцха|noмнаяJraлекgnа" -"уцу!у!!:уIr,\L'i=l+ '.,. Г"r',L|ilrdtг' ",I".,',,, ,зs,ro'С y п r м ь I в п p а в o й . r а с т и ( 3 5 , l 6 ) e с т Ь ! J 0 о 1 .
t s е т с т в e н Iп] o л L l ь I из а р я Д т e Л а ' е г o д и л o Л Ь I ] Ь I йи к в а д р y п o л Ь I r ы й п l o l l e н т ы , B о б щ е мсЛyчаe э1.o вьlpаxeниe зависит oт всeх шeс.Ги oбoбщeпнЬIх кoo p д и I J а Tт в e p д o г o т e л а , T o Л ь к o o т y г Л o в ы x п e p е М е I ] н Ь I хз a в и с и тпoтенциаЛьная знеPгия аTома ltак твeрдoгo тeЛа с сoбствeныьIмM а г н и т 1 l Ь | мN ' I o п l е н т o lМ, в o в н e ш н е М M а г l ] и т н o М п o л e , p а в н а я/..в\|1ap ajia2 не mu1м Л aн эtсев е н а) Если функuия Лaгpан)ка сисTeMЬIчастиц в пpедстaвЛениитBердьIll теЛold будeт сoдеp)ка,Гь B кaЧeстве перeNIеl]ньIх ToлЬкoк o o p д и н а т Ь l ц е н т p а п 1 а с си y г л Ь I э й Л е P a , т o y Р а в н e н и я д в и ) к е н и ясвoбоднoгo твepдoгo TеЛа пroгут 6ьIть пoЛytlеньl какуpавнеI.lияЛагpaнжа.] ( оi\AI-]-:0iioбoзнаЧип{Чepeз ml, ?n2 Nlассы атoМoлeкyльjиз кЛассЯпjoв нeсиМмeтpиЧнoЙтипаHсl' чеpез dсoeдиненийиoннЬIxee пoстoянньlйдипoЛьнЬlймoмент' и бувo',,и атЬ, To \lo.Ё(у,lа;а\o0ится.'!' 0,0.
Г\o оtl\еIv l lрк, ри.]р,(ov ,o. e Е(pис,24), BьIбepeмнаLlаЛoсисTеМьlKoop]1и!]ат.)кесткo связанIroйс мoлeкУлoйi в eeцeнтpе мaсс, oсь zl тotl систeмьIсoвNleи напpaBлениeмди.стЙм с oсью lloЛeкyЛьtлoля. B этoй систеNjекooрдинатнe paвньIнyЛю тoЛЬкo кoMпoнeнтьl,/il, 1j2 тензoраинеpции'пpичепl..1\.'.) - ,' (LPис. 94. )Kесткийpo(36.1.) т а т o р в э л е к т p и I l епривeденIrаяпlасса,Пoтeнuиальную/rв видеэI]еpгt{юдипoля в эЛек,гриЧ'.скoМпoле мoхtнo npeдставитЬ!- t-,po')'еЕасos9,U(0):{ n " : { г l п r . | ' р , l .
]l}'(35.17)"\Й)Систeма .цtестидиффеpенЦиаЛьIrьIхypавнений втopoгo nopядка (з5.17) свoдится к двyпl независиI{ымсистеI!1аNl'пo тpиyравнeнияв ка)кдoЙ'дЛя TвepдЬJхTел с пoтeнциалЬнoйэнеpгией вида Ц(r('d) +U,(9'0'1!)- Пpи LlаЛичииN{акрoскoпическихсвязeЙ чисЛo сTeленей свoбoдьlTвeрдoгoтела меньше шeсти't1 часTнoсти'твеpдoeтeЛo с oднoй нeпoдвижнoйтoчкoй имee'Гтpи с,ГепeнисвoбoдьI,BпIeстoфyнкции Лaгpaнжa (35'9) в эToмсЛyЧae цeЛeсooбpа3l.joиспoлЬзoвaтьфyнкuию (35,7)' пoлotкивв н е й г o : 0 ' v 0 : 0 и в ь t ч и с J r итвe н з о pи н е p ц и иo т н o с и T e л Ь н oсистеп,tьIS, с наЧаЛoI\'Iв нeпoдви)кнoй,Г0чке,$ 36. }I(eсткая Ilвуxатoчtlая Moлeк}ла,(Двyхaтovtiь|и poтагop, в ?ЛектрическoM пoЛе!ля вoзбyxдения кo"1eбаний2тoмoв в l\4oЛекyлeoбьIчнo тpeбyются бoЛее вЬIсoкиеэнeргии, Чeм энeргии.
неoбxодиN1ьIeдлявoзбу)кдeниявpащений,Если кoЛeбaIJияотсутствyют' тo Nleж.атoмнoe рассToяниeo B мoJ.reкyлеNIoжнoсЧитаTьпoстoяннь1п!,и ]\lьIприх0дим к прoстeйшeй Moдeли твеpдoгoтeЛa - э]есп1|oмцdвухamoлнoму pomаnapц,|у(36.2)сJreдoватeЛЬнo,зapядатoМaв МoЛeкyлe'гдe eэффeктиBньiйpавнаЛагран}карoTатopафyнкция'i"i,r.Ii.I;1363)'Ь''''..',:"'';.),' "|",""b,B каЧествeoбoбщellньrхкoopдинaтМoжнo вЬIбpатЬкoopдинатЬI центpа Maсс и двa yгЛа ЭйЛеpа9 и р, сoвпaдающиес oбЬIчIlьIпи углами сфeрическoй сисTеп'Ьlкooрди!iат, Тoгда' испoльзyя( o p o с ' и г в Р p Д оo | ё . а . Ь . r Д ё vo п p e Д e л еt нр у | . ] l o в U( йrr^,-,,'.'-,','.'-',t,-.iоА2l -'Ел.o"tlIз6,4|oт врeМени,Пoэтo.явнoй зависиNloсTиЭта функция нe сoдeр)киTтакKак кинeтиЧeскаяиlNlyсохpaIlяетсяпoЛнаЯэнepгиясистeмыинTеграЛ0Nlдви)кенияэнepгия цeвтpа масс так)кe сoхpaняeтся'МaссpoTатopавсистемeцeнтpаявЛяeтсяэнеPгия,:1u{'Ф,..,,a.о + 6,)' еEacos(36.s)AзимутальньIйугoЛ P явЛяeтся цикЛичeскoйкoopдиIlатoЙ,вo вpемеIlиoбoбщeнньIйoстаeтся неизмeI]ньIMсЛeдoваTeЛьнo'иN1пYльсL]dt- - , _l|+],.l/, .,||.0 _ .о""|'|Jo,o|192Глaва 9' Дuнaмuка mвеpаbLхmеJ|УpавнениeЛагранxaдля пoляpнoгoyглad имeeтвид(з6.7)ф2sind сos0 + eДasin9 : 0,Пpи 29 : 0 эTo уpaвнениeсвoдится к ypавнениюн e j и н e и н Ь l хкoЛeбанийМoлeкyЛьlKак TвеpДoгoтeЛа:s 37.
прeoбpазoваЕиe тerr3opa иЕеpциипри пap.UrлeльЕo]\tпepевoсе KoopдиrtaтньIx oсеи9a+еEаsia :0,(36.8)рaсстoяниe N{e)кдуатoмаМи в мoлeкyлe лpи этoМ oсTаеTсяфикси.poванны!r1,Пepиoд т такиx неЛинeйнЬIхкoЛeбаIlийpаBeн' :z| аоl'lох,.!!L1t,osl),JJ/у.02 tit.z 0 :(**"'1"о-2(36.r 1)1 l e p e м e н н ы e в э T o м y p а в н e l j и и р а з д е Л я ю T с я iи e г o p e ш e н и е н а x o -(З6,l2)Bиднo'чтo l выpажаетсячepeзсos0 пpи пoмoщизллиптичeскoгoинтегpаЛa,AзимyтаЛьнЬIйизNIеняeтсясo врeN4eнeМугoЛ пpи этo]\4в сooTBеTсTвиис фopмyЛoйP,pII' ;J+ сonst'0(t)(37.1)Tела).kr' ! : 1'2' 3; N _ ']ислoчастицтвepдoгoв,s и s. связанЬIсooткoopдинатьloднoйи,Гoйх{eчастицЬIIo.JеЬJq\Iи ..,oN]тl'L.'+!yдoбнoпoЛo)китЬ(36,l0)пpимeтвидсos0: u, Toгдaуpавнeниеt',: }k +.""л)|.tu,)_ Ifi.Пусть двe дeкаpтoвьrсистемьIкoopдинат,9 и s.
)кeсTкoсBя.тeлoм'имеютoДинакoвУюopиенTациюкooрди'занЬlс'ГвepдЬIмсистeМыs в s,натнЬ!xoсeй и pадиyсвектopначаЛакoopдинатинeрЦиитвepдoгoтеЛaoтноситeльнoS,,есть a, Hайдепl,Гeнзopв S'oн извeстен,Пo oпpeделeниюсчитaя'чтo oтнoситeлЬнo,s(36.9)ГДea|. a2 тoчки пoвopoта'0o нaнaльнaяскopoстьизMeненияпepeмeннoйd, B oбщем случaе'pa + 0, пpoизвoднyюф Mo)кнo(36,5),(З6.6),HайдемискЛючитЬиз ypавнений2с D^22еаЕ(36.-j: 0 "+ +сos9.r0)tI'zsin'ATаккак193nензopаuнеpцu'$ З7, Пpеa6pаЗoванuеГ(36.13)BpaщeниeжeстKoй MoЛекyЛьlвoкрyг oси z сoпpoвo)t(даеTсяee кoЛебаниямив вepтикаЛьнoйnЛoскoсTи.ГPаницамиoбЛастии]velегlия пoЛсpчoг0v|Ла 0 п0и -ак0' лpeцессии вьlс.)паю|т o ч к и п o в o p o T а 'т .
e , к o p I J из н а м е н а т e л я в и н т e г p а л е ( 3 6 , l 2 ) ,.,,lг l.D..пr, (2aт,6,'р| .^J'.a"l,pИ.пoЛьlуя ']\, |а,.]!ev0-o,\L,nJ+lа0'Iа3xi.) : I.B + ',"(a26"iз _ а.аtl) ++rrI(2arФ;)6аd.rЙ)BapI(n)a) - в7.2)Здeсь Чepез тrr, z1..1,' oбoзнаненьI lloлная масса тBepдoгo тeлaи кoopдинаTьlцеLlтра масс сooтвeтствeннo, ЕсЛи начaЛo кoopдинaт систeп{ы'' сoвмeщенo с цeнTPoм масс.
тo г1-1 :0' тi,,., : a' иIh : I!;) + n|(t\,.')),6,$"i-J"",(ЙB](37.3)oбщая фopмyЛа(37,2)noзвoляeтвыuислитьтензop {, илиI.lр' eсЛи извeстeн oДин из них, Фopмyла (37,3) удoбнa дляBЬIчисЛеIlия'"n.opu,n"рu"nф) oтнoситeлЬнoсистемы кoopдиoтнoсиTeЛЬнoнaт 5 с нaчaлoмв цeнтpe Mасс. eсЛи вЬIЧислeниябoлeе прoстыМиза счeT явI]oгoиспoЛЬ'систeмы S, oка3ЬIваютсязoвавия свoйств сиМпleтpииTвердoгoтeЛа,т"".op""epuu" ф)и кoopдинатЬ| цeнтра-Мaсс rtлt) пpихo,циTсявьIчисЛятЬ пpи сo.стaвлeнииФyнкции Jlагpaн)кав систeMе цeнтра масс' гдe oнаимeeт бoлее прoсToйвид.вeк.oбpазyeм свеpткy oбeих чaстeй (37,3)с IraпpaвЛяющиMиПoлyнимтopами l., нeкoтopoйoси,- l$) ц1,'1^[(.i,o), (.t-lt),].t'.uL,,tu(37'4)194так как свepтка тензopa инepции с нaпpавJяющимивeктopамиoпpeдeленнoй oси eсТь М0мeнт инepции oтнoситeЛьнo этoи oси'mеape-муllJfue,нepa: мo 1eнт инeрцииравeнствo (37.4) Rыpa-)v'aeToтIloситeльнoнeкoтopoйoси pавeн мoмeнтy инeрцииoтнoситeЛь.ей oси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
