Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Этa фyнкuия нe зависитoт вpeмeниявнo.Слeдoвa.тeль!lo'пpи всeх ' < т сoxpal{яeтсязнepгия.Е:-ё_,J+|"",."".,0,)v, \гR. : mg + m!j61 : ms _ ml(ij s|n0 + ё2 cosl),щ : rnn6l : mI (ё cos0 _ ё2 siпl).221I|,lttdtс,tl,t_€,"o",i)':0' такимBeрхнийпpeдeлинTегpиpoвaния€ = l сooтвeтствуeтoднoМepl]oгoнаэТaпeтверДoI0тeлазaкoнo6pазoм,дви'кellиядви)кeI1ия вырФкаeтся эллиптичeскиMинтeIpаЛoм.твepДoгoтeЛa веpтикалЬнoйстeнкoйoгpаничeниeдви){<ениясTe.(связь) пpи t > т ИcчeЗae7'и пoявЛяeтсядoпoлнитeЛьнаяMox(нoтeпepЬкoopдинaтo6o6щeнньlхBкa.reствепень свoбoды.выбpaтьyгoЛ d и кooрдинатуg(m) цelrтpaмасс. Taк как связиявЛяюTся стациoнаpllыI\4и и диссипaтивllьIeсилы oтсy1ствyют'энеpгиятвeрдoгoтeЛасoхpаняеTся:,г- 2,''Ili\ .
I, r\ ,, j(,m, r\ i. | IL\"lnr,_iti'^'l,r(-) .^'Я,_mglсosq:2'I+ , u - \ ' m t 2 ' \ n02\ ё 2+ m g l" o ' 0 ,B )pавнeниидвиженияцeнтраvасс mi]-' _ & pеакция&i1-, _ .onst скopoстЬ'дoстигнyтаяCлeдoват.льнo'исчeза"т.222Гnава 10. ПpaKmuчес|.ue3а0aцuduна'|uкu пвеpdых mелTвеpдыI!1теЛoм к ^4oмeнтyтt сoхpаllяется |1 ||p|1t > т' oнaoпpeдeляeтсяначаЛьIlым сoстoянием тeЛа пo фoPMyлej',,,'_ /ci(:/ )сosp{7]зl "* " \fт;Пoлнаяэнepлиятвepдoгoтerlапo.пpeжнeмуpавнаЕ , mglсoso.llo)тovу pазнoстьс= Е _извeстнаяфyнкция,и Мы,(i','',).с _|tr,+ ml| sin,01i2 ' nglсo.0 _:f,Foтсnпя.|2(Е - mglсos9)v1^P o)ё,+,,.glсoБl."*2ml2 сoь2a 'этo yPавнeниeс pаздeляющип!ися пеpeмeIlньlми. llри I]oп!0циз a i | | е н ы' ) :в видeс o s d peшeние этoгo уpавнеIiия мoжнo пpeдставить.J2(t-n)(E-nstn)d,ц.TaкиМoбразoМ'лoслeпoтepикoнтактас вeртикаЛьнoйстeнкoйзак0l]движeниятвeрдoг0тела пpeдставЛяeтсяв виде pавнoмеpнoгo и пpям0линeЙнoгoдви)кeнияцeнтPамасс в гopизoнтаЛьвoйплoскoстии фyякциeйd('), не свoдящейсяк эJeмeнтаpным4.
Heгoлoнoмrrьrесистeмьt. Bзаимoдeйствиeмнoгoчастич.вых атoМнo.мoЛeкyЛяpныхсистeм при их непoсprдствeннoмкoll.тактe неI,]pедставиМoв виде взаимoдeйствияабсoлютt,toтвеpдыхтел' B oбЛасти кoнтакта прoисxoдитинтeнсивIloеразpупIeниеи oбpазoваниeнoвых связeй Mexдy частицaМи'oднакo пpинезначительныхдефopмацияхпoвepхнoстейвзаимo.PезyлЬта,lвсeeщeпрeдставимввиде мaкpoскoпичeскихoгpани.дeиствиячений движенияза счeт сил peакцийсвязeйи сot]рoтивЛeниядви)кeниюза счeт сиЛ тpeния в oбластикoвтакта.TвePдoe тeлo кoнeчных pазмepoвмoжeт скoJьзить пo пo.вepxнoстидpyгoгo тeла. PезyльтaтoМмакрoскoпическoгoвзаи.мoдeйcтвиятeЛ пpи этoм бyдeтyдep){(аниeтеЛаllа пoвepхнoстивo внeшнемсиi1oвoмпoЛе'а тaк)keпoтеpиoтнoситeЛЬнoйскo.poсти. BзaимoдeйствиeтeЛ в этoМ случаe мoжнo преДставитьuмngльcаs4|' уpaвненuя0!|яujnnу|ьсаu oj|еюna223в видe суммы peакции свя3и R, пpoпoрциoнаЛьнoи гpa'циеtlтy: f3в в кaсаTeльнoйпoвeрxнo.ти, и iильr тpения скoльxeния l.трeниякoэФФициeнтскoль)кeнияtиЛиI]Лoскoсти.сила Tрeниянeлo,Cкoльхrениезна.leниeпpелeльнoе.*o,o*"""" |) имeeтнапpaвлeвдoЛЬсильlвнешt]eЙсoставляющаяпpoисхoдит.eсJид"иже""я нe пpeвышаeтFg' Тoлько в этoм сЛyчаe вoJмо)к""янo кaчение без пpoскальзЬlвания.
Koэффициeнт /s безpазмepeни 0,l3 для антифpикциoн.и имеeт пopядoкd'3 для фрикциoнt{ЬIхс пЛ0скoсTЬю'сoпpикасающeесятeлo'Твeрдoеньtх матepиалoв.свoбoды,стeпенeйимeеTпятьKaчeние oднoгo твepдoгo тeЛа пo пoвepхtloсTи дpyгoгo пpo.исхoди1 пpи yсЛoвии pавенстванyJю o|нoсительнoйскopoстисoприкасающихся тoчeк. тoчки кoнтактa Moгут пpинадле)катьЛиI{иям кoнтакта и слy)китЬ мгнoвeнныl,tи цeнтpами или oсямивDaцIения.слeдoвaтeЛьlto, в этoм сЛyчаe пPедставлeния o вза.имoдeйствии в теpминах pеакций связей дoЛ)l(ны быTь дoпoл.сoставЛяющeйRl pеaкции' пpeпяTствyю.I]eньIтаIlгeнциaЛьнoйrцей пDoскаЛьзЬlваниютoчeк сoпpикoснoвенияt или дoлyщeниel{o,гo", u'o пpи качeнии pеаKции R нe opтoгotlаЛьы пoвеpх.нoстям.
пoЛ;ая сиЛа ме)катoмнoгo взаимoдейс1вия в oблaсTикottтакта в макpoскoпичeскoм пpeдставлeнии сoдepxит тaкxeсoставЛяющyю в виде тpeния качertия-,lvloмeнт сoпpoтивлeниянoрм2льнoйсиЛe R' пPижикачeнию пDи этoм пpoпoрциoнаЛенмающeйтЁлалpv. * лpу.у.],t : t.R- Гnе/.._. кoэффиUиeнт!Линьl'J" = ]:"^ lu^,.,1peнияiaqенияi/' имеeтpазмеpнoсть= 2 lU . сNlпoвepхнoстях',.настальньtхдn""зд",",кoлeс на асфаЛЬгeпpи сKopoстиёU км/ч'автoмoбиЛЬныхдля "."льн"'*и быстpo вoзpaстаeтс poстoм скoрoсти' силы тpeния зависяTсвoйствсoпpикaсающихсямaкPoскoпиЧe.oт физйкo.химинeскихoтских пoвePхнoстей, физичeскиxпpoцессoв,к0т0pыepaзвиBа.ются пpи pазличllьIхдавлeнияхи скopoстяxчастиц в oбластяxэкслеPимeнтаЛьнo'oltpедеЛягЬсясoIlDикoснoвения'' P а B е н с т в o и дoЛ)кнын y Л юс l ( o p o с гvи: v ' | Ф , r o ) т o v к ик a с а н и тяOшара с пЛoскoстьюслy)кит пpиMеpoМypавrteнийнeгoлoнoмнoисвязи пpи каЧeнии.(нeинтeгpиpуемoЙ)oбo6цeнными кoopдинатамилинейки (кoнЬка)'дви)кyщег0ся пo плoскoсти в llаправ.лeниисвoeй длиньl, мoгyт слУxитьyгoлдекapтoвыкoopдинатыс,9 некoтoрoйтoчки ЛинeЙки иимeeтвэт0мсЛyчaeнаклoна1/ЛинeйKик oси ,.
УpавнeниeсвязиR1-1I'\g9: dу/d;xи такжe явЛяeтсянeинтeгpиpyемьlм'вo всeх тaких taдачахчисЛooбoбщeяньlx(oopдинaтнe мo)кеTбыть vмeньшенoпpи пoмoщи ypавнeнийсвя3eй,нo кoopДина.ты I]e явЛяютсянезaвисимьtми.прeдпoлo)Kим,чтo !]a систeмyr224Глaвa la, I7pакnuqескuеrааацu оu||а'l,ul.umвеpdыхmелс s стeпeняпlи свoбoдьI llаЛo)кeны гoЛoнoМнЬIeи нeгoЛoнoп{нЬIeсвязи- ГoЛoнoMныeсвязи пoзвoЛяютискЛючитьзависимыепepe.мeннЬIeи вьIбpатЬ3 независимых пеpемeнньIxqo, yдoвЛeтвopяю.гoЛoнoмныхсвязeй,KoopдинатЬIщих yрaвнeнияN4частиц мo)кlloвыpазитьчepeзqa:(41.17)т i : r i ( q l' ' , , q з ,' ) .Л и н е ' l н ы е1 p а в н e н и чя р .
o 'o I o v l Ь | ^с в я ' е i и м e ю . в и дiА т , o d q a+ А r " d ! , : 0(n:1'...'к)'(41.18)где Аno, АnнeзависимьIе функции кooрдиtlат qa и вpeмeни.так чтo числ0 нeзависимьIх кooрдинат pавI]0 в деисTвиTeль.нoсти s/ i ' н 0 з а в и с и ] \ 4 ь I еп е p е м e I t н Ь I eн e л ь з я и с к Л I o ч и T ь i _y р a в I J е I J и я( 4 l , l 8 ) н e и н т e г p и p y e м ы е . B м е с т e с т e м и м e e т с я в o з .l v o \ ь o с I Ь ' ] с { ' ] l ю U и . ЬA 1 2 в l , с / ч Ь | \ B a p и a - h Й 6 ц л , п o .
. ( o л ь h ) Д 1 яваpиацийкoopдинaтдoл)кныбытЬ спpаведливьIypавнения,jf(4r.20)m,i'riг.: I F,dг,',JB peзультатeваpьиpoванияи диффеPенциpoвания(4l'l7) пoвpeмени и Ileрel{еннЬIм qo пoлyчим с00тнoшeния.ar'-dr, ".',qil01"Аq,Оri.-.o1o,/_|,'''/!,daot oqan|.,,,Dl.ad'oqodtпpи пoмoщикoтopыхyраввeниепрeoбpазyеTсяк видyдaЛамбepа(см.$ 29):i 7 a aс'o, aЕLrl_ ч-'o )\o .s o : v 'l\Jtaйаo^s 1I, уpавне|!uяd,|яui|ngльсаu Jraменna u nlrlbсa\4t.21)22Бгдe Qa - o6oбщeнная сиЛа, при LlаЛичии тoЛЬKo гoЛoнoмныхсвязeй всe 6qo быЛи бЬI незаBисиМьlми' oднако тeпepь s ваpиa.t L и й 6 q a п o д ч и н e l t ы r i y p а B н e н и я м н e г o л o н o M I l Ь I хс в я з e й ( 4 1 , 1 9 ) ,B с o o r в р c в l и .
м e , o Д o l v r l Р o п p ее, . е н | ь | \ l v l o n , I e | р '(4l,l9) на неoпpeдeка)кдoоиз ri ypавненийЛaгpанжаyпlнo)ким(41.21)'и прибавимк yравнeниюлeнньtймнo)ки'ГеЛЬ.\lPeзyлЬтаTПoЛучимJ( u a"*', оDФ)_\.ltа4"аs"o..^,o,.')и" : o, (41-22),j,ПoдбeрeМмнo)китеЛи^/ Taк. чтoбы B этоi{ ypавнeниикoэффициеI1тЬlпpи зависиМьIхваpиaцияx6q.
oбратиЛисьв нуль, Toгда кoнeзависимыхвapиaцияхбyдyт равнЬIпpи oстаЛьIJыxэффициeнтЬIlJyлю,пoскoлькУpавI]анУЛю и1 линeйнаякoмбинация,СледoваIo |ыla, цpoвllPцuя dвl ^енuч"гсисTеМьI s уpавнеllии:tI 0Е|.) - DЕr.ьl(It Al,"0q"(41.19)А""6q" : Q.Bepнeмся к BьIвoдyУpавнeнийЛагpанл(аиз пpинципа,цaлаМ.бepа:,JIo ' a o н a . м ч o u г L ' , | | | P ' t t b ,l 1 \ 1 е , o |в ^ лгI(4l,2з)(.r : l, ,,. J), Bместe с ypавнeнияминeгoЛoнoМньtxсвязeй(41.i8)в BиДеIА,-ia + Аn:0(ll= t.',,'ь)t41'4\уpавнeния(41,23)обpазyютсисTеN!уs + /r ypавнeнийдЛя s oбoбЛагранжa.rценньIxкoopдинати к пtнorкителeй5.
IIIap нa lдepoхoвaтoй плoскoсти. ,II.ЛяиЛЛюстраЦииMeтopaссМoTpиМкaче|.ue 6в npoскаjlьЗhLвaнuяodноpodfla?a шадapа paДИУсa o пo гoPизoнтaльнoЙ плoскoсТи zu,q; oсЬ ? Ileпoввеpх пo веpTикaлЙ;дви)кt]oйсистемЬlкooplинат S натlpавЛeна_ypаBllениесвязи,oриeнтациясистeмьIz а: 0гoЛoнoмнойнапpав.rl]арoМ'oтнoситеЛьнoкоopдинaт 5/, ){<eсTкoсвязаннoй с.9Лeний кoopдинатньIх oсей систеr'{ЬI oпрeдeляeтся углами Эй.r|epa,!''a. Ф- начаЛo кoopдинатсистeмьlS, нахoдитсяв цeнтpeToчки кoнтакта'o, g0 с пЛoсшapа.oтсутствиe пpoскаЛьзьlваI]иякoстью вь|ра}каeтсярaвeнствaмиinаuo: Q, ijo+o1,,;":0.226] 1 p ' l, - ' ' l ' ьГ'ва1UгЛе('оdо'u dL,оv,'LlpавненuЙЭЙ'|еpа-s12, Инnе.pupaвaнuе"""t-'- '."уГловаяскорoстЬшаPа' сoставляющиeугnoвoйскopoсTиtrio : il 'lnilo : ^2,пo на|lрaвJ'IснияMo с е й с и с т е п { Ь i , 5p а в I r Ь l- 2 : / , ф s ' т l ] , s i 1 ld s i l i ''lr : , sill.l _ {' сos.lsiп р',,n.A^,,a): o,rfi{i+r;,."l ( 0 + f r .
ls l nd ) : а , ( ) l с o s рП o э т O r u у y с Л o в и е к а Ч e н и я в ь J P а ) к а e т с яд в у п l Я н e и н T с г p и р у е l ! 1 Ь I N { иу p а в I l е I l и я N 1 сив я з е й :i6a ( ! s n rрt],сOs'siп,) :0.ia + aФ cos,i - ll.]sin d sin l) : 0,a, 1:ш а p и N { е е тт p и с T е п e н и с в o б о д Ь i ' B Ь I б е p е r uц , у 6 ' ; 'в I { а Ч е с T в еo б o б u l е н I r ь i х к o o p д и н а т q l . q 2 ' q 3 ' q | ' ' : | 6 с o o T в е T с T в е н .н о ' B н o в Ь l х о б o з н а Ч е н и я ) iY p а B н е н и Я с в я з е й N l o , { н o п p e д с т а в и Т Ьв виде; 1 r , , 4 , , +:.01 / ( /: 1 , 2 ) ,!'Il|рZво',а'oпр"лр,оо,негoлoJ]оп{|loйl.,OZЬ|l,' l:,lЬl.ч'.систe\1ЬI:.] jЕ|.l|,j iJЕl.ьl."tlt .), '),i,lI1..1t .\ 'I|,'.1tшара на шepохoвaтoйплoскoсти' Из yрaвнений непoсрeдствeн.но виднo, l]Tо сoстaвЛяющaяyгловои скоPoсти шаpа !J: вдо.nЬв€ p тикаЛьнoй оси остaется пoсToяliнoй'oстаeтся нeизмсннoйкинетичeскаяэнергия шара.
а тaк)ке кинеTическаяэнергия пoстуllательнoгoдЕи)кeнияи вpащеI]ияпо 0тдeЛЬнoсTи.сBo6o'цFoгoтвepдoгoтеJIав o т с y т с T в и е в н e ш I l и х с и Л ц е н T p l ! 1 а с ст в е р д o г о т е Л а м o х { e тс . ( Y ) к и т ь r i а ч а J l o п кl o о P д и н а т и н е р ц и а Л Ь н o й с и с т е м ь i o т с ч е т а , д иllellтрoNl Nlaсс и равнЬIN1I | а l \ { и к aт B е Р д o г o т е Л a с I J е п o д в и ) к н Ь I l цI ] v Л ю ] \ 1 oеl н т o N 1в н е ш I ] и х с и n o т н o с и т e Л Ь н о Ц е н т P а M а с с o п p е д е .,I27i2',lв yравнeния{!\(42.1)2': '-u''Jlгде rll. 1м а с с а и l \ o r \ { e н ти н e р ц и и ш а р а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
