Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 27
Текст из файла (страница 27)
( . г | . . . . ' J J \ , ' l ) 0 М o ж н o н а й т и l - к o o p a и н Ъ вi в и д eqyнKции oстaЛьныхнeзависи^lь|хl\oopдина.и вpeveни:(o:l,...,e)'еg.2)тaK чтo 1.oнфu2!paчuo||нoеnpoсmpaнс|nвo сuc|nелы сocBяЗя|\1|'|иNlее^т.!азмеpяoстЬ'paвную чuс!1g сmеnенеi свo6odьtсистемыs _ J ] v ^ ' ,t s м e с ] o. . / - - | . ' ' ' . . г t Nм o ж н o в в e с т и6 е с ч и с л e н н ы мчис |0м спoсoбoв нoвЬ|епеpeМeЬdыe'o6a6щPннbе кoopduцаmьlql' ',, 'qв, |oг'a и oстаЛьные& дeчаpтoвЬ|хкoopдинатl20,2) бyдутвыpа)кeнычepeз ql,..-,qJ' ка)кдый нoвый нaбop oбoбщeнныхкoopди}.lат0гpаничим yсЛoвиeм(a,o: |' ''.s),(29.3)кoтopoe лoзвo'ляeтвыpаJитьoбpа|нo всe qd Чepезлl,-l.,,.'.лJN'IJ peзуЛьтатeoyдeп4имeть paвенстваг i = т i ( q l , .
. . , q " ,t ) ,'' 's)'os" t o = lГ - , i 1 " .oq._Гг.Р=ZИнфopмация o связяx сoдеprl<итсяв этoм ypавIJeниив видeсиЛыт o = r , ( т д . р 1'', , , z 3 д ' t )0t1:ot(!L -L!\"_o9:'_ц'.6q"6q,, Aq"dtпoлучaeмgp@в|.енueДа'|a'a6еpar ' Р t @ t o / a q ' '#) 0-qdoQ"As"Nr169oтсюданахoдиМна Jг' и пpoсyммиPyeмлo i. так кaк\-л"ws29, УpaвяенuяJlа2paнэrа (2 20 podа)(29.4\oбраU12oшиеypавiе;ия связейв гoжде(1ваи ']peдстaвЛяюшиесoooPпаpаvегpиЧeскиeypавненияs.vepнoгoкoнфигуpаuиoннoгoпрoстраllствaсистeмысo связями.|2g-7|пpи пoмoщифoрмул(29'5)'ЛeваячасTь(29,7)пpеoбpазyeтся(29,6)так,sтo-i-, l1(u.Р)_",49"]_i,,,,9'._i-...9:,\^NN^,r,Г q , 1 t 1 a ( i 2 \ 1_ d a f ' , ' - г J I' k , ' o я ,_ ё1''', Ld!a4.
\ z J aч" \ z )J dl 0d" aq^здeсь Е(r) _ кинeтиЧeская энepгия системьl Kак фyнкция oбoбщенньlх кooрдинат go' oб06щеннь|х скopoсmеЙ io И BpeМeну'|L k ' | q l ' ' ' - ' q в ' q 1 ' - - ' ' q " ' ,ё' . ' i , ,z!l\^^_Г-,la**-oqo o|lёar,or'z|n,6o"*'о"l',. \,^,2. tzs,sr]Г,',(Т.]z\ФJкoгдаati/at : o' кинетичeскаяэнеpсвязeй,для стациoнарныxгия (29.9)являeтсяквадpатичнoйoбoбщeнньlxскopoстeйфopмoйL ' " J q | ' . . . ' q s 'q 1 , , , , 'q ' ' | | -o",= i-,эР:o,"'"=toqo oq 3!20"BQ",lв'(29.10)170Главa 7.
,Цвux\cенueчacmuц' ozpadцченнoе cвя3я,1uПpавaяuaсть (29.7)пpeдставляeтсoбoйo6o6щен1.!uюcuJ|uQ " | q t ' . . ' ' q " ' q t , .- ' q " , о : Ё г , Р .7ooa"(29.raU/aц)сиЛДля пoтeнциальньrx$аua., _z''7Dц 0q.AUoq"dauAUoq"(29.l(29.13Фopмyлы(29.7),(29.8)' (29,|2I'(29,13)пoзвoляютпDeдставить yравнeниядвижeниясисlеvы fo матepиальныхтoueкс &гoлoнoмньIмисвязями (s : 3ly' _ ,4 стeпeнямисвoбoдьr)в видegpaвнеt'uliЛa?paнэ а в |!вaвucu. ,ь|х|.oapduна'tnaхd a L -*:ot^dt a8а(25.t4)rrc L: E61- U _ фyнкцияЛаграI'ка,'', JL '-.аQ;','_Г г1o'$',oQa=oбoбщeннaя диссипaтивнaя сила' yчитьIвающая взаиMoдeйствиe систeМы тoчeчньlх oбъeктoв с l\,tакpoсистeмамив видетpeния.При вывoдеypaвнeнийЛагpаюка(26) нe испoльзoвалсяяв-ньIЙ вид пepeмeнных qo. Пoэтoму yравнelrия (26) бУдУт ипaетьoдиl{ и тoт ,кe вид -цля всеx набopoв oбo6щeнI'ьIх кoopдинaтql'...,qз;,уpавнellия./laгpaн,какoваpиаtlTныoтнoсительнoлpeoб.разoваний oбoбщeнныx кooDдинaт.B систeМaх сo связями всeгда имeюT п,lестoдиссипативнь]есилы.
нa интepвалах вpeмeни. значитеJ]ьнo меньших вpeменипoлнoгo тopмo)кeниясистeмьItсиЛal\,tиТpellия мo)кцo прeнe6pечь.B этoМ пpи6Лижениикolllпoнeнтаoбoбщеннoгon'ny,""u p" _= ОL/aQo являeтcя иI,]тeгpалol,tдви)кениЯ' если |<oopД|Iвa.raqациклиЧeскaя@L/aq"= o).s 29. Уpaвне||uяJIazpанNa (2-zopoaа)l7l(29.14) на lio и пpoсyммиpyемpезyЛьтaтпo a;УМIro'киI'4ypaвнeниeэвoЛюцииoбoбщeннoйэнepгиисистeмьIс г0.пoлyчиMсвязямилoнoмнымиЁ:_aL/at+Qу,c".СЛeдoваTельнo,oбoбщeнная энepгияo5oбщеннa-nomеflцuсtльнb|есuль|tl,puнaлuчuu cвя^euдeляютсяфopмyлoй^'_(29.15)E ( . l , . .
. ' q " ' q ' . ' . , 4 " ' t ): q а p a- L ( q | , . . .' q " '4 r' . . .' r i l 'l )сoxpаняeтся'eсли фyнкцияЛaгpан)кане зaвиситявнo oт вpeмe.силами'н и мo)кнoпрeнeбpeqьдиссипaтивньIмиdedcmвuя |7Зs30, уpавнeнuяJlаzpанжau npuнцunнauмeньu1еzoгЛaвa 8вAPиAциotIIlьIЕпPиIlципЬIII{ЕхAIIики$ 3o. УpaвнeнияЛaгpaнrr<aи приllциц нaцМeньItlегo действцяУpаsI]ениядви)кeниянЬютoна пpeДстaвЛяютсoбoй кoличe.ствeннyю ФopмyлиpoвкyoснoвнoгoдиффepенциаЛьнoгoпpинци.па' в сooгвeтствиис кoтopыiiеди|]стBeнныммеха.физинескимtlизмoМ измeнeнияимпyлЬса частицы вo вpeмeниявЛяетсяеeвзаимoдeЙствиeс дpyгимичастицамии силoвыМипoлями.Пpeд.пoЛo)кипj'чтo фyнкцияЛaгpанжасистeмыс s стeпенямисвoбЪдыи аi1г0pитмеe .,]oсlpoeниямoгyтбытьпpиняIыв качесIвeисхoд.ных динаМичeскихпoнятий,и l,]oкa)кeМ'чтo в oснoвуМеxаItики^,{o)кетбыть пoлo)кeнинтeгpаЛЬныйпpинцип'lryсть6qa=qL(t)-q"(t)(30.1)ваpиациифopмыфyнKЦtlЙqаft),uли BapЙaцииoбoбщel]ныхкo.opдинат'pавныeих разнoстина нeкoтopoйвooбpа)каeмoйи дeй.тpаeктopии,ПpиваpьиpoванииаpГyментoвТ^":l"il!*фyнкI]ияJlагpанжа измeняeтся нa величину6 L : L ( q ' ( t ) .
q ' ( t ) , t ) L ( q ( t ) , Q Q ) ,:t )= L(q + 6q'q + 68,t)_ L(q'q,t)' (зo.2)где чepeз g. ri oбoзначенысoвoкупtloстивсeх s oбoбщeннЬlхкoopдинати скoрoстeй,дЛя бeскoнеЧнoмaлых 6q' 6Qаь:ffв,1"+!|аq.' (30.3)из (30.l) нахoДим_=*oo"t,l o,"al q"p)=6a.o =8#qd(,)(з0.4)и' след0ватeЛьнo,,, :oLaL.aL d-dБoqa+ ada dtoq'\=: (* _**) -" - #(*и"). tзo.slкoмбинациипpoизвoдныхфyнкцииЛагpан)ка,нeoбхoдиl4ЬIeв пеpвoй скo6кe фopЛагpaнх{a'сoдeрxaтсядля уpавнeний(30'5).пoсJIeднегoслагаeмoгoизбавитьсяoтoстaетсяп{y.1ы(30.5)'бeзкаких.Либooграничeнийнa фyнкциюпpиЧeмsнасистемyвзаимoдeйствующиxи,сЛeдoвательIlo,J|arpaЮKa.raстиЦ,Bыбepeм с этoй цeлью пpoизвoЛьtloинтepsал вpeмe.(30.5)пo времeни,пoЛyчимм (t1't2)и пpoинтeгpиpyeм'.'lJ\Цt|J't,_i ; I t а t = | а t ш | ( i "! , _ * # \ ; ; q " аrt o$aлo q .
] , r з 0 . 6 lа.oqolJ \oQo|l1Из (30'6) виднo,чтo ваpиацииoбoбщeнныx(oopдинатсЛeдyeтЛoдчиниTь дoпoлнl,{тeльнol'lу yслoвию6q,,(tt):6q,,(t2):O(30.7)Пoтpeбyeм такжe pавeнства нуЛю ваpиации фgнкцuo||а,1с1dеi,iсmвuяt2S:rI L d.tJ(30.8)tlна дeйствителЬньIхTpaектopияx. Toгдa, пoскoЛькy все dqo нeза.висиМьlи иIlTеpвaлинтeгpиPoвaнияпo вpе[4eнипp0изв0лeн'изpавeнства dS:0слeдуeт pавeнствo нyЛю ка'(дoгo из s пoдьIнтe., pаЛЬныхслагаемых.и мы лoЛyЧаeмypавненияЛагpаняа в виДeAL0q"dAL&Aq"(30.9)(Лeваянaсть (30.9)частo oбoзначаетсяЧeрeзd./6{o или 6S/6q"И нaэьBaе7cявapuацuo||нoаи л'Афg||].цuo||aлbfloЙnpou1вadнoi,)в oснoвудинaмикисистeммoгyтбыть пoЛoTакиМo6pазoM,)кe!{ыпpавиЛапoстpoeнияфyнкции Лагpанжa в видe pазнoстикинeтичeскoйэI]еpгиии энepгиивзаимoдeйствияв нeзависимыxo6oбщeвныхкooрдиtlаTах'а также интeгрaльныйваpиациoнныйпpинцип'сoгЛаснoкoтopoмyсисleiiа бeз диссипациидвижeтсяна Любoмиrтepвaлe(,I, '2) тaK, чToee фy}tкциoнaлдeйствияэкс.тpeMаЛeн.асЛeдoватeльнo'и взаимoдeисилыlJlиссипaтивныeкollтaктествия макpoсисTем(s < 3t{) лpи их нeпoсpедствe!]нoмве мoгyт 6Ь!тьyчтeныпpи пoМoцифyнкцииЛагpан)каи дoлх(ныбьIтьзaданьlв урaвнeнияxдви)кениянeзaвисимo.174s 31.
за,Irol.b|сoхpat!'eнuяu свoicmвa сu-| еmpuuГлaвa 8, Bаpuaцuoнн|1l'еnpuнцunымехaнu1сus3l.3aкolrьI сoxp:lllеttияr4сBoйствa сПммeтpиипpoстpaпствa и вpе}tени1. Teopeмa IIётep. o6щee yтвepждellиeo связи свoйствсиMмeтpии физичeсKиx систеI\,tи закol.loв coxpацeния сфopмyлиpoванo и дoкaзанo Эмми нётеp в lgl8 г. Teopeмa Hётеp слpкит0дl]ип,lиз oснoвIlыx инстpyмel{тoв пoлучeния сoхpаIlяющиxся вoвpeменидинамическиxвeличин.B пpилo)кeниик мeханикe тeopeмa Hётep yтвepждаeт'чтoЛюбoй oднoпapамeтpичeскoйЦeпpepьIвнoйгpyппe пpеoбpазoвa.ниЙ кoopдинати вpeмени' пpи кoтopьlх фyнкциolraЛДeйствияoстаeтсянeизМeнпыМ'сooтвeтствyетпepвыйинтегpaЛуpавненийдви)кeния;n-парамeтpичeскoйгpyппe сooтвеTствуeтn таких инTeгpаЛoв'для дoказaтелЬствасемeйрaссмoтpиМoднoпapaмeтpичeскoeствo пpeoбрaзoванийкoopдинaти вpeмeнивидаt t : f ( t ,o ) ,: f a(qt(t),...,qs(t),o)d@(tl)(31.1)(сv:1'...,в).Здeсь o _ паpамeTpпpeoбpaзoвания(сдвиг лo вpемeни|сп4eщeниe началакoopдинат'yгoЛ пoвoрoтaкoopдинатныхoсей и т.
п,),s _ чисЛo стeпeнейсвoбoдьI,Пpеoбpазoвания(31,1) oбpaзyютIreпpepьIвI{yюoднoпapaметpическУюгpyппУ' пpичeМтФкдeственнoМy преoбразoвaниюt, = t, qLFt): s"(t)сooTвeтствyeтo : 0. сooтвeтствyющиебecкoнeЧнoмaлыeпpeoб.pазoвaнияиМeютвидt:r+llo=r+ar.oo lo=od"a\:а"al+ff|"-oo=q.(t)+ Ьq,(3r.2)(3r.3)Beличины A', Aqo пpeдставляютco6oй noл&ыeвapuацuu, ПooпpедеЛeliиюпoлIiaя ваpиация функции eсть pазнoсть мex.Ду пpeo6paзoванl,toйaрлyмPнтoвфyнкциeйoт пpеoбpазoванныx\7блoл.с этиM oлpeдeлeниeп{и исхoднoйфyнкциeй.B сooTвътствииBAp|7a|\ИядeйствияраввanaяфylrкциoнаЛа(/),{)dtL Q'a').'i'I(i,lгlr- I r t q ( r ) .
d ( i ) . i )-d / | L ' d t ' - | L d t ( 3 1 . 4 ),IJJ(t)(t')(r)в видeи мoжетбыть пpeдставлeнаt'at_lt,а':llr",_"lott(r)(/)(t'): ьrat+ll(t')_rы.sl!"o'."ot(t)(t')Pазtloсть двyx пoследriихинтегpалoвв (31'5) есть вapиацияинтеlpирoвания.дeйствиязa счeт ваpиацииинTepвaЛаBыpазим A, чePeзваpиaциюфopмыJ, фyнкцииЛaгрaнr*а.Пo oп'eдeлeниюпoлныx ваpиацийимееMс тoЧнoстьюдo бeскo.нeчнoмалыx пepвoгoпopядка^L: L (q(t)+ ^q,q(0+ ad,, + a0 -, (c(t),d(t),0:_AL^ArAIt^oo"_ йoо"t;Ai.(3|.6)С тoй lкe тoчнoстью,tл]]^ q "_ q L n I A i 1 _ q " 1 1_1я L t t l l f f | o , - o t t:6qa+в"(tl_qа^t. (3\.7).цЛя пoлныx вариаций и вapиaций фoрмьIфyнкций da(') имe.еM анaЛolичныe сo0Tн0шeния^qa:6+ii"^t.Пoэтoмy(3r.8)ьь=ffвa.+ftва"+(ffь+ffь+fi)ьt=: d, +,At. (з1'9)r76I'.taва8 BapuацuaнньtеnpuнцunымeханuкuCледoвате"rьнo.'гrГ]'ч = (.'1+.A.).1t,+ Ld{iJ-|(|,l\t'tr-lLt.( 3 1.
l 0 )\.dt)-\tld,( 3 1 . l1)д o б с с к o l | е . | н o] \ l a л Ь I хп е P в o I . oп o p я д к аI| (r/.1fS'-IнахoдиМBариаrrияфоpмьr(30'5)функциилa1paЮKaPaЫfi(,,1,tLtL\JlAt\o. ,' -\ i ' , , , , т u , ,' ) u o ',l' \,Т4^щ) '"пpиче\1дЛя дeйствите"тьньtхтpаектopийoт"l]иЧнooт ну.llятo'']Ькoвтopoeс"1агae]!1oe,ПoэтoNIyI , l--;,'o'(/)Г I o n а г авя( 3 l , 1 4 )-(r)I ] o у с ' ! o в и | о т e o p с N l Ь Jд е й с т в и e и н в а р и a I l т н o o т I l o с и т e J I ь ) l oJr-,-l ( ol \, t I -d f .-.'lq" ^oo)"=о;]L ,,;1|,,,'1',l' ,'ч',q";]LОLn"'t'\ J q ' ' ) ' ' ' ; 1 ^ q '; ,dLnl ] з и н в а p и а t l т н o с т и д е и с т в и я с и с т e N ! ь |o т н o с и т е Л ь r i o с д в и г o в п oвPеlIени сJeдyeт тaюке' чтo фyнкuия Лагpанхtа систellьt нe !to.ж € т з а в и с е T Ь o т в p е l l t е н ия в н о '3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
