Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 22
Текст из файла (страница 22)
, - \ _' , ' 'tu1-""''r=tЁlJ'''t.\-.ir'.'I., ,l,',''j, |22,|g|сЛева пoд знакoltl пpoизвoднoйпo вpeNleнив ypавнении(22'l9) стoит mен1aprio,цeнmauмnцльcaсuсmемb|часmuц(22.20)\22.16)Прeoбpазyeltдвoйнyюсуrимув (22.]6)так' чтo(22.2t)i,,,],.',.о , , ' l2 Ё r,,J!.:',,',u1-^1l l ' ,' 'u,'' l?''.,,(,.; JJ]. r)(..'.'|I'Эвo,rюr1иятензopа -Lo, пpоисxoдитпoд дeйствиеMЙe,{3oрajlо'11ен|nавнеu1нuх сu,t ,\/..j' действyющих на сисTеМУ час'Гиц;т^..1)тr'Aнтисиммстpиvньtмпoстa.тeнзopам(22'20).(22,2l) Мo)кIro|]итЬв сooтвeTствие/lсевdaвекmopлoяенпl7 uлnц,lbсaсuсnФ||ьl'tастиц L и nсевdoвекnopмaЛенma внеu1нuх.rl,? N4 пo фop.NIv.iапr\22.t7)ь.,:f,:.',6ь4.:ttl^,},.,аз\I",t'(22.22)i40г д e 6 - 1 0 р_ с и М B o Л Л e в и .
Ч и в и T ь I , B н o в ы хoбoзначенияхypaвнe'ниe (22,\9)приoбpетаeтсМыслypавt]енияэв0Люциипсeвдoвeк'тopaмoмeнтаиMпyлЬсасисТeMыЧасTиЦL:N4.$ 23. Теopемa o Bиpиaлe!ля систeмьr Частиц. кooрдинатьIи скrlpt;сти кoтoрьIх и3мe.няются в к0нечI{ЬIхI]pедеЛах'имeeт Meстo тeopeМа o BиpиаЛe.oнa yстанавливaeтollpедeлeI]нoесooтнoшениeмe)кдy сpeднимиIl0 вpемени з!]ачeнияп'икинeтическoй энeргии и эI]epгии взаимo.дeЙствияМe)кдyчастицаМисистемьI,срeднеe пo врeп'eIrи7 фyнкции /(t) pавно пo oпpeдeлeIlиюlг(2З,1)/:rirtr-l/(r)Jr.0Пpимeнимэтy oпepaцию(22,l8),БуДeм иметьк ypавнeнию**",,",,u:l-l г'.lll::*i\-т,e, сpeднее пo вpeмeни МoМеt{,гасиЛ системьI дoл)кнo быTьpавньIмнуЛю. этoт pезyЛьTаTiмo)кнoпoЛyЧиTьи нeпoсpeдственlloиMпyЛьсадляусредняяпo вpeмeниУpавнel]иeэвoлюциим0мeнтaпpивсeхt,кoTopыхoгpaниченьlсистeмi сoстoяI]ияHайлeм сyммУ диaгoнаЛьньIxкoMпoнeнT(шnyp) тензopoв(23'3), Умнolкая (23.3) на симвoл крoнекepа 6oр и сyIмN|ирyяpeзyЛьTaтьl'пoЛyЧимД(o)(2З,4)этo сooтнoшeниeмe)KдyсpедниМпo вPeпlеникинeтиЧескoЙKna!Зugса' (пpавaячасть (23,4))энepгии систeмьI|1 вupua,l,Ф||виpиале,выpa)каeттеopeNlУ0,n-й.цля фyнкцийU.}(l)' oднopoдньIx сTeпeни,т,е, 'такиx,ypавнениelffЭйлepамeс'ГoЧтoц&(tl): ^.Цв(l),иМеeт:= nЦ* (как peзуЛьTатдиффepенцирoванияпo l и ,\ фyнкцийпo ()l)), ПoэToп{yдля энepгийLl,i'(-ll)и исклюvенияпpoизвoднoйn.Й стeпени.взаимoдeйсTвияUjь' oднopoдньIх1ёz- '''I t .
( o ) p t l Ф:)o) ] * , ,r r r . \xiB xьp) (zi": nlЁ, _*|u,,,jЁ",u1"",",- \,,2-'i,Р'uor(23,4)пpинимаeтвиди Teopемаo.виpиалeTак как всe ri"(|), pi|('t)oгpaниЧеIlньleфyнкции' ГloэтoпIyдля сpeдних пo Bpeмeни диIJаМиЧескиx фyнкций спpавeдЛивьIсo0тн0шeнияl , n , i , ^ . ,; , :' !NN\_"г * \ _ \ _ . " г 1 ' ,ф\ '| ] . o,o1-'"o,;Fz-"4or$f"^r*:|Ёr"'"с'lpi|(т)пepесTавЛяя здeсь тензopныe I{ндексы ai /J и вычитая пoлyЧeн.нахoдимнoе та(им o0разoМypaвнeниеиз (23,3),\22.2З)1цoмeнт сиЛ I\4 мo}Keт6ЬIтЬpаBеI]нyЛю' кaк э?o имеeт Мeстoв цeнтpaлЬIloмпoЛe 0тнoситeлЬнoцентpапoЛя.B таKих слyчаяхМoмeнт ипIпyЛьса систeМЬI сoхpаняeтся вo врeМеIJи. B дpyгиxзадачах п!o)кeт oбpащатЬся в нyлЬ llpoeкция M нa нeкoтoрoeнапpавЛeниеn в пpoстpанствe, Тoгда oчеBиднo Ln : сonst,_141o вupuа,1еs 23, теopе'маГ'|aва 6' Cuc|nемьlвЗаuмadеicmвцющuхчасmuцtь")N\-"д.(.*t)(23.3)E(o)rI:nrr|t\-./-'t-П'(^t)I(23.5)BзаЙмoдействиюпo закoнyoбpатньlхквадpатoвсo0TвeтствyетвнешнихсиЛ'Чтo\' Й |1З(23.5)слeдyeтв oтсyтствиeu': _iт,(23.6)т'e, в любoй пpoстранствeннooгpаниченнoЙсистeMe чaстицс t]ьютoнoвским гpавитациoнным или кyлoIl0вскиM элеKTpoстатичeскип{взаиMoдeйствиeммe)кдУ чaсTицaМи в oтсутсTвиe внeш-t42оmсцеma 1 4 3сucmе]rеs2.t'сu.nемa цaсnuцв неuнеpцuс'IьнoiГxавa 6, сuсnеi'|ь|фauмodеЙсmвцющuх,чaсmuцних сил устанавЛиваeтсясoстoяl]иe'в KoтopoNlсрeдняя пo вpe.Nleни кинeтичeскаяэнepгия систeмы pавна с oбpатныl!!3llaкoмлoлoвинeсpeднейэнергии в3аимoдeйствиячастиц,I'.1In,,('.,,,,,.jr'- ! ,,,"lt.rtri=li=l$ 24.
Cистeмa.raстицв Еeинrpциальвo,iсистемr oтсчerаДинаl"tика систeNlь| \rЧастиц с энepгиeй взаипloДeйствияti1(|r; _ rд ) в инepциаЛЬнoйсистеNlеoтсчeта.s пpедсTавлeнасистeMoйyравнений(22'5)и заданньrмсoстoяниеM'мoжeтбыTьoпDeдeлeнoДви)кeниeтoй же самoйсистeI{ЬIи oт.нoсиTeльнoнeинepциаЛьнoйсистеМьloтсЧeтаS,' eсли извeстньtзакoн дви)кенияR : R(l) наЧа',lакoopлинатS, в .9 и yгЛoваяскopoстЬвpащения(': Ф(i) систeмыкoopдинaтS, oтнoситеЛь.нo S, oпpедeлeниeru нe зaвиситoт Числачас'ГицN и данoвыujenpи вЬlвoдеypавнeнийдBиженияв s/ oднoйчастицы'Сooтнoшениямe)кдyкoopдината[!игr.
rl. и схopoстяпlиv1, v! настиuьIс нol!ерol{A в.9 и S, нe зависятoт пpисyтствиядpугихЧастици имeюттoT)кeвид,чтo и д.1яoднoйЧастицы(бeзиндекса,i):rr.: R(l) + ri.,vi.= R(i) +vi + (Ф(f)х ri),\24.D(24.2)эти фopNiyЛьlпoзвoляютпpeoбpазoватьк пеpeмeннь|N{систе.мЬIs, функциюЛaгpанжасистeпlьlN частиц(22,3):.(rl,.'.' гN,v1,'''.vN,t)Nr,N'z.|-t-t z - ' t '.t I,""1 '\-r,-,,1-''''o ч o в и r ч o , т _ г l _ i г , _ r " , П o ' r o r r y / .
, { ' | r ,, г / , J _ r-'"( г, гi. ) и энеp-иявlaимoдейс|aияЧа.тиц в 5, -а ,}'е'ч г o ; в S , Д 1 я п р e o б p а ] o в а н и як и н e т , ] ч е с h o й{ ч р р , и и \ и с . P \ ! Ь 'и энepгии взаимoдeйствия с ввeшни|!l IloJ.]eм]\lo)кнo испoЛьзoватьpeзультатьIпpeoбрaзoванийoднoчастичнoйфyнкцииЛагpанжа,/!1ы наxoдипl.Чтo в нeинepциaЛЬнoйсистeме oтсчетас 3а.д а н н Ь | \ | иR ( l ) '.,l/]с и с | е ^ t а , \ , в ] а и J o ] р й с | в y ю U l и xч а с | и UпPeдстaвляeтсяфyнкциeйлагpанжа:N,,\',, : Ii(/)'",,.l+ lГ,,."]r+-:z'-гj ) _ !о,l(в(t) +гl.l). (24'3)t=lЛагpанжапoдставляяфункцию(24,з) в уpавнeния0Ld' оLdt аv'u0",r:Fr( k : l ' , , ,' Л ) 'I .
частиц в перeменньlхпoЛучиМ уравнeния движeния систeN1ьлсистeNiЬID':IlсинepциаЛЬнoи:Х i1.)nlrA(,) - 2llll.(('.,(l)m^(с.,(l)x (Ф(l) Х ri.))_\1-ац}(г1 гi )o"i.lllt.(й(l) х rl) _l)аL.*(R!t],tr+.i;+ Ft. (24.4)в видe гpа.з,]eсЬчepeз Fl oбoзllачeнысильl' не пpeдстаBимЬlезнаЧeния*пpoбегаeтэнеpгий;индeксдиеl]тoвпoтенциаJ]ьtlьlхп o с к o л ь к y д и н а l ' l и к а т o й ) к e с и с т е п I Ь lч а с т и ц в и н e р ц и а Л ь н o и(22.5):ypaвнeнияп1исистемеoтсчeтапрeдставЛенaдвЙ)кенияlJl^rl-:\-'--l\-i\'iL'"t''ir=lI". )_ua.lrц 11'ru,)1':'''.,т 'l F{|г/-, v,,/,( , 1= 1 ,. .
., N ) ,-Гoиз (22.5)(24'4)пjo)кнoи непoсpедствeннoпoЛyчитЬуpавнeниекooрдинатлУTеМпoдсTаtloвкив них фopмул пpеoбpазoванияи . n o p о с т e(r2 4 , | \(. 2 42 \ ' п p е o 6 p а . o в а нуисeк o D F н и1йe . к oу с т а .пo вpeмeнифoрпjулдЛя|1авливаeтсяпутeмлиффepeнuиpoваниявeктoрoв'(24,2)скopoстeйс учeтoмлpaвиладиффepeнцрoвaнияв систeпreS, (l2'30):заданньlxсвoимикollпot]еtlтами,td'l.,.=i+((,(r).тoгдаnr : R(r)+ ni + 2(u,(r)x ii) ++ ((,(t)x ((,(t)x тi)) + (ф(i)x r,l) (24'5)(22'5)Ilpинимаюти ypавнeниядви>кeнияфopмy(24,4),144Гnава 6.
сuсmемьtв1аu,l[odейсmвgющuхчaсnuцФyнкцияЛaгpaнха(24.3)мoxeт вe сoдеp)катьявнoйзависи.мoсTиoT вpeМени.ЕслЙ,кpoп{eтoгo, !Fдvj' : 0, тo в нeинep.систeмeoтсЧeтaсохраняeтс;:Jбoб*.""u"циaЛьнoйэIJeргияси.сTeмЬl l{ частиц:Е'::v,"- L | v' ,иМпульссистeмЬ]являются;Интeгралами'цви'кенияззl,г,4, .on-|.p Lnv _,'. L'"\25.2)пoлная энeргия систeмьI,N/t' |l*-..;'F:з-1г1LФцr\= ГЦ, n " r u ] - ' ,zr' "NУ, N.' ^ . ' ,F",IL-Пpи эToМ yскoрениe нaЧaла кoopдиllат Ii, системьI 57 и углoвая скopoс|Ьвp.LцрЬrяhоopдP|а-нDlхoсeй.r,нe дo1жьЬl 'авиce|Ьoт вpeмеIlи, а U,; не дoЛ)кны зависeть oт вpeмeни явнo'чacтиц(22-2)'илllвзаимoдeйствий.
.(ля гpавитaциoнньIх взaимoдeйствий следyeтпoлoжитьI _ _с :"'=|i.J _ !.2,J).r, Llи n4ьIприхoдим к заdaue mpех meл' Кa>кДoe (тeЛo' в этoйзадачe дoЛ)кн0 иМeть сФepичeски.сил4меTриЧнoеpаслpедeлениeвeщества, Ha малых pасстoяниях Me'(дy телаМи этo yсЛoвиeмoл(eTнe вьII]oлнятЬся,Уpавнeния двиrкeния сисTеMы Tpех TeJ с ньютoнoвским t]oTeнциаЛoM взаиMoдействия пpeдставляют сoбoй систeМy дeвятин e л и ч р й н ыДх и Ь ф e р Р P U и а л Ь nyЬp. oх в l е н и йв | o р ooI . . ] o р я j к а ,GL'._|1.,-. Jl ( .т;l r;_l2J'.r|loгs|,v l_.оnsI,LIl'IrIi=1(25.3)l25,l)B мo]\4ентвpeмeни, пpиняТый в качeсl.ве начaльнoгo. дoл)кllЬlбыть заданы такxe кoopдинаTьIи скoрoс1.ивсeх Частиц,(25.4)надцатЬ пoстoяI{ныxtи в tlастoящee вpeмя нe IloЛученo.HачаЛo KoopдинатиItepциaЛьнoйсистемьI oTсчeта Мoxнo сoв.Ilестить с цeнтpoм масс системЬl.
пoскoЛЬкy i(n) : сonst, Toгдаг, : г(,') + r;'(22'3) лpи л : 3, ./' : 0, сoдеp)китэнepгиюих взaимoдeй.c-rвияU;i(r,' r! | явньlйвидкoтoРoйoпpeдеЛяетсяхаpаKтepoмm't _--,yсЛoви.нaчaЛьI{Ь'мисeмь пoстoяннЬIxp, -Е. L oпpeдeляюTсяяМи. oбщее peшeниeзадачитpех теЛ дoЛжвoсoдeр)катЬвoсеM-$ 25. 3aдaua тpеx тeлсистeмьI трех^rз:ГzЦ|rI3t.k:lЛагpанxа'5- T:Цz-М0МeI]TипIпУЛЬса систeмы тpeх Tел/,,{|.:.; l_I . , ъ ( r i ) : . o п ь t ( 2 46 )Фyнкция145s25, Зaаачanpех mел.t,оr _L^ ;\ ->tnlmt,t t; .(г,. г'] (/_ ]'2.3),зрii : i;'0.
L_L,'(25,5){r,. '1],Beктopьl (r| Х ri.) пepпендикy"']яpныплoскoсTиt oбpазoваннoй0 . д и y с а м и . в e к | o p a гм;и. r r , L с Л и с к o p o с т ич a с | и U | а F h e 1 р ж а a ' , и х I l Л o с h o с , я хт,o ( r j . г , ^ ] v i. 0 ; в с e а с r и ш ь лt в и ж y г с яв пЛoскoсти' пepпeн'циKyляpнoйвёктopy L' тi:к чтo Lr| : 6. 3.u.имноe pаспoЛo)кeниeчастЙц в плoскoсти Дви)кеIlия измeняeтсяс тeчением врeмeни. Прeдпoлoxим' чтo сущeствyeт кolrфигуpа.ция трeх тeЛ, Лpи кoтoрoй oни Bсе вpемя бyдyт Itаxoдиться наoДиI]акoвых pасстoяниях дpyг 0т дpyга' и пoкa)кемt чтo такаякoнфигypацияявляеTсяpeшeвиeм задaЧитpех TеЛ.
Если такoeri] не зaвисиT oт нoMeрoв частицдвижение дoпyстиNjo' тo гiи м0)кнo п0Л0х(итЬ|''' 'ь = "(t).(25.6)Расстoяниe Me)кдyчастицaми o M0)кн0выpазитЬ чеpе3 pасст0.яние oт Любoй и3 них дo цeнтpа lмасс,дeйствительнo' дoбавляя-t46и в Ь I Ч и , l . я| i с т м r r сl!л l . т j . Р а | ] | l о йн ! . 1 к r l | 0 o п P е J е . l с | l и ю Ц е н ] . p аtlN J а с L . с. " 1 i ] г a € ] \ I o е( / l , j r , Ц ) I i .. ) } ' l e N Jи 1 1 е T ЬlllГl| l,],(тi Il]] r /,r(гiгl),(25,7)B o з в с l L лв r i в а l P a ro б L ' ч а с т и .
J т o г op а в с 1 1 с r виа\'гoJ tlL',к]]\'вокт()PаN|и(ri I:') и (riг,.) Pавсн т',,;]', , ' : 1 г j 1 , : 1 , , , j t l r r ]+ r r r ' 2 l r l ; ; ) r l ! 'ЕцeпoЛ\'Чи N(25.8)r L J l ! ф o p v } . . ] Ь ] l l о . ] l \ ' ч а | r ) т с яo т с ю ] : l а з а ] \ t с l ] а \ ' и и н ] l c l i с ( ) в1r'r(:)'Irсистс]\lЬ|irlрl]внеlIияNj2 ] l , l { L ' { tхl i ' ]Itr.;сводят(як.__tt.('11'(25.9)0 o . l с c ] r l ) ( ) с т Ь Jvl \pl а I ] н с н и я \ l ])_,=1-' \'tt, tJ,.:1,Gч(,1,t,,, t( ,' n l , l | п | ' +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
