Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 17
Текст из файла (страница 17)
,Цвижeниe Дв}\ частиц с ?tlеpгиеиl"2) (3адача двух теЛlвзаймoдейсгвия U(|rrсoстoяниe дви)кениясилoвoгo цен1pa в зaдачe o дви)кe.'.:,.]Pис, ll,Т p а е к т о р и я и y Г o Л р а с с e я я и я н а o | т а Л к и B а ю щ е мс и Л о в o мцентpе U = ..1/lIlайдеп! yгoл рассеяния d кaк фУнкциlо энергии и мoNleIJтаи M п y Л ь с а н а с и л o в o м ц e I ] T р eU :o/r' сl <0.из (16,26) сЛедyeт'ч,ГoyгЛoвая кoopдинатаi, измeняeтсяв пpeдеi1ахaгссos(l/с) { р.< aтссos(1/с).Угoл мокду aсиN'IIlтoTаМи,в кoтopoп{Лежит траектoрия'равeн/^2 а r с i 0 s i ] / Е l : 2 а г с с o ь(i\-2E-"'.\lГ/ U'+ 2Fr,)Позтoмyyгoл paссеявия9 oпpeделяeтсяфopMyЛoй0 : т _ 2aтccos(1lе): 2 ^..tg:'Е,'Lу(16.27)2Е'сoвпадающейЛo видy с фoрN{yЛoй(16'17)для yгла paссeяниянап p и т я г и B а ю щ е М с и Л 0 в 0 N {ц e н т р е ( . l > 0 ) ,з a Д а I l н Ь l Nпl p ин и и L l а с т и ц ы в ц e н т P а л Ь н o N tп o Л e п p е д п o л а г a ' ' ] o с ьнепoдBи)кньIмв некoToрoибЬIлBсех l' сиЛовoй цeнTр пpoстoтепepь' Чтo зaк0нПрeдпoлorкиминеpциаЛьной систеNlеoтсчeтa,всeх r' пpичемдвижeниясилoвoгoцeнтpаг,: г,(') извeстeнпpиBсиЛoвoпl пoЛe.rастЙцaбyдeт,?}lдвигaтьсяi, l сonst' Toгдантo этoсvитaть,БyДeмu".,.nц',,'l' дBижущейсяrieравнoмepнo,тy'(еимeеTфyнкциoнальIryюЛoле oстается пoтeнциаЛьнЬIм,а явI]аязависимoстЬцeнTра,l]eпoдBи)кнoгoипoлeчтoфор\ay'поiеяциaльнoйэrreргииЧaстицьIml oт врeменипoяBляетсяIlo.I,"д"'"o' з,"".u*o.ти т2: т2(t)' При этих услoвиях фyнкцияЛагpан)качастицЬl<l' бyдeт имeтЬ виД/ - l ( г l .
v l ' t ):_ u(.'},,,'.,]чр1 1.(17.1)Bследствиe нeoднoзнaЧнoсТи .l NlьI п1o)кем ДoбaвитьIt нeй изв е с т l l у ю ф y н 4 ц и ю в p e п l е н и т l l ' 2 t {( t ) / 2 ,: г|(t)' тo фylrкциювсЛи. наoбopот.зaдан 3акoн движения I1<]'Мox(tlo пpедсTавитЬчастицЬIЛагранжa uaстиЦьI <2' в гIoлев виде!-,r,!'у',1'-,t''ta, -tl|г1lt)г'|It-11 о|ll\|||,z|o б o з н а ч и п l . r e p e з - L ( г 1 ,v 1 . т 2 , v 2 ) ф y н к ц и ю Л а г p а н ) к а с и с T e NIьIдвyx взаип oдействyюulих часTиц в нeкoтopoЙ инерциаЛЬI]oине зaBиситoт спoсoбаo,"u".,. Сoсioяниeдвих<ения"""..""i"Ли пrьlиx вooбщe),нyмеpУeм(кактoгo'и oт}lуNеpaцииЧaстицI | ' . l Ь v v ф \ ' l к u .
l я L 1 г 1 , v . r ' , r . ) с и v v F | р ' , j Ч| а o ] | o с , - е л Ь ' ] o , e .po"-,.oЪni r IДeксoв ,] и .2., кpoмe Io|o. Дв. пpeДеЛЬнь,Il08 Г,1dвa5 Дuнr]мuкo сuсmелbl dвgх в1аuмoaеiсmвцющuхчасnuцзнaченияэтoй фyнкциидаюTсяфoрмyЛаIми(l7,l), (l7,2).слeдo.ватeЛьнo'Z ( г 1 v, 1 ,г 2 ,v 2 ) :im1''|+ur"2u|_u1t1УpавнeнияЛагрaнxadaLaLd .a LaLIlt dv IdтlЙ aУ2dтz"21.(17,3)(17.4)пpивoдятк ypавнeнияМдви}l(ениясистeп{ьIдвуx взаимoдeйствyю.щих частицв видeшeстидифферeнциaльньrхвтopoгoуpавнeнийпopядка:.nr vr:-dU(r -rc\-,tl2nr:orlаU(]т1i)rэ12 ),(17.5)гдe vl : il' v2 : i2,За]\4eтим.чтo фyнкцию (l7.3) Мox(нoпoстрoитьпoдoбнoтoмy'...как oыла пoлyчeна вьIшe oднoчастичнaяфyнкция Лaгpaнrкi'eсЛи ypавIJeния(17,5)pассМаTpиваTьв IlачeствeисхoднЬIх,DведeМ вIleстo гl, г2 нoвьIепepeп{eнньIет и г(m). пoлo)кивг : гl .
r2lmI @) : rтL\r| + m,t2'(17.6)где m : ml + тn2. ФopМyльIoбратнoгo пpeoбpaзoванияимeютвидrl : rp,,1*,,,ryr'.z: r|..)т|I!]!т(t7.7)s 17.ДвuJtсенueaвgх чaсmuц c энеp2uеiiв1tlu'|odеЙсmвuя_ это' oЧeвидuмnц'nbca ценmpa ','a.., B пepeмeнньlх г1' 121-1]1iпo' I1oлнЬIЙиMпyЛьс систеМЬIР(m):m'lvl+m2v',r oтнoситeЛЬнoгoдвиypавнeI]ияЛагpaн,(а для т]ерeМeнньlxвиДпpиl]иМают+2цi?^)ьi,U(|r|),mIn2nrt + m2для npuвeОеннoймасcьLц.Мьr видим' vтo 'pи нoвьreлeрeмeнньIeг(m) кaopdul.lаmb!_ явЛяютсяцикличeскими,ПoЪioмуценmpа.l|1'I7cссoxpаняютсясooтвeтсTвyющиeим кoп{пoнeнтЬIoбoбщеннoгoиМпуЛьсаV61 : AL/'ip",:mi(m) =mv(h),(lz9)ALdt aI3та./(тl)( 1 7i .0 )сoбoйy p а в н е н и я д в и ) к e I l и я к в а з и ч а с т и ц ь I с M ' с .u пpeдставляютсoi l, в ценTралЬI]oM пoлe, oбщee pешениeэToгo УpавненияiI"'e.puру" уравнeниe (17,9) и испoЛьзyярeзУЛЬтатьlДЛядвижeния в цeнтpаЛьнoМпоЛе' мЬl мo)кeп|предсTавитьoбщeepешениеуpавнeнийдвижeниядByх чaстицв видeзакoнаравнoдвижeнияцeнтpамассмернoгoпpямoЛинейIl0гo(17.ll)r1-1 : v1,"1l+ г1.4(0)'а так)кe фopMyЛioпpeдeляющиxзакoll дви)кеt{ияи тpаектopиюкBaзиЧастицЬI:Lr:0,L:p(r x i),:*j ? 1 s,drll(гxvJ:сonst.+ сonst,(17.12)(1 7 .
1 3 )u"01,11_ r .Jl(l18)Здeсь ввeдeнooбoзнaЧeниеdAL,.,Диф6epеru;p5" r |7,7l пo вpfveЬJ и лo!с авляЯ pрlулDIатв ( l r , J ) ' н а ) o л и v ф y ч h | , и юЛ а Г O а . l , { "с и с т р ч Ь |л в у ^ Ч а с т и цв нoBых диIJаМичeскихпepеп{eIlных:L:109(Llpr') dr_u"ы'"лf,taLlen(.r): {I(r) + L2l2pr2.(17.14)(1 7 . 1 5 )B этих фoрмyлаx.Е,L _ э!{eргияи l{oмeнTиNIпyльсаoтн0ситеЛь.нoшeнияvис пoЛFoЙ, o|ooни свяlань,прoсть,vисooдви/lleЬ,,]я,эttepгиейи MoментoМимпyЛьса систеМы двyx частиц, пoлнaяэнepгия системьl pавна-aLx0 : v(m)аv(1n]+"* t:^"1:"*'**u',t::.,lЬ,*u(,,,.ol2-| 1 0 Г ] а в а o , Д u н а , ' u l < а . u I n P , ! ь Ld в ! х в 3 а u\ o o е u In в ц ю ц u х ц o с n u ци сoхpаняeтся (0L1al _01 сoхра.]яетсЯтакжe кинетиЧр.кая'нeргия .'v<n' 2 цен 0а масс с]eдoваIе,]ЬЬo'oстаeгсяпoстoян.rjoи в пpoцессeдвижeния двyх частиц пoЛIJаяэr]epгияoTнoси.тeЛьнoгoдви)кeнияЕ - - ' -" u 2 , U | | l -s l8, Paссеянuечасmuци сoлI,rцасвязaны с пoлyoсью a квaзичастицьl сooтнoшeниями(,, = Lo'= JLo'611m2mtfioтoPыeвытекают из прeoбpазoваний(l7.7).
Пoэтoмy lля пла.llerL|^iloмeнтимпулЬсаoтнoсиTeЛьнoгo(l7,l2)' а таюкeДви)<енияvo,\!ен|'.]vпV|Ьсацeнтpаvасс L'.,г,,'p\., сoхpаняюГсяпooтдeJььoсти,l loэтoм) сoхpаняeтсяих сy]!tlllа"illrlпl'_всистeмецPнгPаг _ Радиyс.вектopквазичастицыт2oi-Ф21!P и с , l , , э " 1 е м е н T ыт р а e к т o p и йд в y x Ч а с т и ц и к в а з и ч а с т и ц Ь I ;|r|1ll|.12--itlасс'ПpoвeдeннаявьIшeкЛaссификациятрaeктopийи закoIloвдви.)кения частиц в цeнтpаr''lьнoМлoле U : _а/r oстаeтся сIlpавeд.Лив0Й с тoчIloстью дo oбoзначeний пoстoянI]ых ДJ|я кaх<ДoйизвзаиМoдeЙствyющихЧастиц.
B частнoсти, для пеpиoдафинитнoгoдви)кeнияквaзичастицыбyдeм ип'eтьПусlьm2 _ Ntасса сoлнlJа. /n| _ масса llланeты_ (Jl,,2l,iI D0Льшиe гoлvoси.11.о)'ЛЛип1ичeсhих op6ити L' _пЛанeтьl4 г 2 1 , ' t '- , n , 1 2GrпN;-иМеeМIaк кaк Qtцfпt2)<<1, пpибли)кeннo"l1.2il:Gm2'B этoм пpибли)кенииoтнoшеI]ия{/a| нe зависят oт масспJанeт ml и в сooтветствиис тpeтЬимзaкoнoмкeплepаявляютсяoдниllи и тeми )кe дЛя всeх пЛанeтсoЛнer{нoйсистeмы.$ 18. Paссеяниe чaстrrцсистeМыдвyxвзаиМ0.o6щеe peшeниeypавнeнийдви)l(еl]иявышeвl{вaдрaтypах,пoJучeнollля peчастицдeйствУющиxзадaчиoсTаeтсяпoдставитьшel|иякoнк9eт!]oйдинaмиЧескoйгr|1|-iL+L(",) = (гl х Рl)+ (r2х p2)'pавн?я мoМeнтyимпульсасистeIмьIдвyх чaстиц,Фopмyлы(l7.14) следyeт дoлo'1нитьфopмулап'и06.-(l7.12)oт пepeмeнньlхr. г(п] систeмы центpаPaтнo]o лpeoбpазoваниям а с с .
l l / , / l к . п e p e м e н н o r, .Ч, r ? Л а б o p а т o P н o й . и . т e м ы 'tiа pис, l2 изoбpажень|элемрP|ь|гpаeк,]ooии,]астиu,Траек.Topии Частиц ле)каTв oднoй плoскoстии пoдoбнысooтнoшeниюпoдoбия,pавным oTнoшeниюмасс.llllIoЛyчePныe фoрмv'Iьl явныйв и д c н e p г и и в з а и ч o д р Й (т в и ягz )Ho лoкa t/(lrlti(]rl : 12 ) и вЬlп;лнитьинтeгpиpoваниe,тoчнo нe устанoвЛeна,динамика частиц нe oпpeдеЛeна,oдна из такиx фyндамeнтaльных физиЧeских зaдaч _ oпредe.взаим0деЙствиядвух ЧасTиц- y)кеi|eниeвида грaвитациoннoгoвьlшe. дЛя eе peшeния oкaзаЛoсьд0статoчнoтeхрасс]\loтpeнасвeдeний o финитнoм дви,(eнии планeт' кoTopые сoдeр)кaлисьв закoнаx Kеплepа. K сo)каЛeниIo'Mы не мo)кeм нeлoсpeдствeннoраспpoстpаl]итьтoт )кe Meтoд I]а мoЛeкyльt,атoмьl' атoмныe ядpа'..leк1Doнь|из.]а нeвoзмoжнoстиизмеpитЬ,Лeiiенть|тpаeктopиЙ4lинитнoгoдви>кениятаKих чaстиц, Bмeстe с тeм сyщeствуeTвoзмoжнoстЬиспoльзoватЬс эT0Й цeЛьюсвeде.принципиаЛьнaя| | и яo б и н ф и н и т н o мд в и ж е н и ич а с т и цявЛяется tlастныM слуЧаeм задачи oopассеяпииЗаДаvа oинфинитнoi,tдви)кeнии двух частиц' в к0т0PoЙ tlачальные сoстoя.oo)' кoгда.ихвзаиMo.ни; Частицзадаются(дo pассeяния'(t'эpавнь|pl(_oo) = P1'aимпyЛЬсЬIпрeнe6pечь,МoжнoдeйсTвиемт,е, .пo.pj'_ (J = p2, ПoсЛе с6лижения и взаиl'!oдействия'сЛe pассеяния' (' J +эo)' ЙмпyЛьсы частиц Pl (+эсJ = pi'P,(+cс) = p/, бyдyт сoдep)кать инфopNlациюoб энepгии взaимo.дeйствия,этy инфopмaциюмo)кяo извЛeчЬпpи сpавнeнии p'l'|12 Г,1IJва5, Дuнaмuк|l сuспе.t|ьl dв ц \ вза u м odеi1ЙLв ющu \ ча L nuццp! с peзyльTатамиэкспеpимента.B тeopетичeскoиЧастизадачитpeФетсявьlчисJитьиlllпyЛьсыp1 и p! частицлoслepассeяния.t , а с с г o я P и e N 1 е / r ( д yч а с | и I ] .
\ l и п o . л е p а с с е я н и я | г | l j \ ) т 2 l . < ] Ц l v o / ь ' е тс | p е ! 1 и Ь с я к н v л ю и Л и 1 с т а a . ] Ь с ч o г р а н и .чеl]IJым, tакие с0сToяния Двихeния сooтвeтсTвyют Зaхваmцчас m u ц . Е с ] | И э т o р а с с T o я l { и ес т p e ] M и T с як d e с к o н е v n r o с т ии i н y т .Pенняя энepгия частиц oсTаеTся IJеизменнoй.
тo ип!еет ]tlестognpgzoеp(1ссеянuе,B пpoцeссeнеgnpglo?оpассеянuяИ paсnаdaчаc||luц|-1хвllутpeнняяэI]еpгияне сoхpаняется,AсиN!птoГическиelЬ2чeния ,,1\!пyЛЬсoвp1 p2. p]. p1, oгнe.сены к лаoopатopнoЙсисГеlle кooрдина1tл.,u,mеui1' a 'aкoндвижения и тpаeктopияoтнoситеilьнoгoдви)кeниячастиц най.дeны в квадpаTypах в систеIlte ценTра мaсc \ц.сucmе,Йe)' Пpеoopазoваllияк!0рдинaт oт Ц систeМы к л.систeмеoпpедеЛяюTся(l7,7):фopNlуЛами11 = r(r,r)+ !r,(r8.1).r : .1,,,1- 1".УN1нoжаяпeРвyю и3 них Ilа m,t.
а втopyюpeнциpуя гlo вpе|tlени'пoЛучиlttнa n2 и диффe-. )p ( r ) , p , ( r ): ц p ( - ) ( . )p l ( f ) : з L р ( , , . ) (+p(t) (Is,2).о'l r : a п 1 , , , 1l o , n z : щ n р , ; - г '(r8.3)г : frn,. |}w' oрa=ot+vz'(1 8 . 4 )Эти фopмyльr oпpедerlяют импуЛьсы центpа масс p(m) и квa.зичастицьIp как фyнкции заданньlх наЧальнЬlхипrпу;льсoвна.стицpl' р2,Чтoбы пoлyчиTь,импульсьlp|. p! насгиц пoсле рассeяния,сЛедyeтпoi1oжитьв (l8.2) j ] +c.. тЪIда' v,гi =цni,,.1+г,, oЬ:,ffo,1,,'1(18.5)пoлный импуЛьссистeмьIдвух частиц сoxpаняeтся'такчтo p?.) : p('"), гдe p(,') oпpeделяeтся(l8,4). КpoмефopмyЛoйтoгo.сoчpаниё|ся)неpгияoтнoситeлЬнoгoдви/kенияlaсlицE:i+U('х.): p'' + t,(+oс).2pIl3зaДaчrU( .х:): U\+эс) :0. Cлeдoвательнo'пo }-с"1oвию(18.7)A б с o J I ю т н а я в e Л и ч и н а и ] \ l п у л Ь с а? ) к в а з и ч а с т и ц ы с M а с с o и p r l ея в .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
