Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ч , ' л v ч а е0 д ) } r l o т а тlы' t / d Р в Ь || и ' л е нспр2веДЛ.вЬ, 1' . ш Ьeйrы\.(o,]рба,]ийnI.'1А,||- ||4,23) цЛЯ,'. пoлolе']ия pавнoBеси",лP',lдoс-а-oЧJoмэ.no.Ъ, "*p..,'",".Jь I ампЛитудах oU (r) > U(ц) +(zа())',(1 4 . l 8 );U1|(л6)U'|(ra)> 0, ФункцияЛaгpанrкав эToмпpи6лижeниипpиниМаетBилr ir)u",,a,, "(14.19)или пoсле BBе/\e|fИяonк!|o||енui om noлoэ!{енuяp('внaвесuя/ro6:'itt - , ] u ' , o- t . t , .22-Лагpанxапpи эToмсвoдитсяк уpавнениюкoЛeбa.,.Уpавнениe|1иИеap'мoнuческoеoaсцu!|!|яmapа:Ё+"о2€:o,aв:U||odlnl'oбщee pешeниеэтoгoypэвненияt4tlt1(14.20)(1 4 .
2 1 ){ : oсos (LJo,+ a)'(14.22\'"d},1: Rе {,4e(14.23)oпрeдеЛяeтзaкoндвиxeнияuастицыв при6лижениилинeйныхкoЛeбаний (аМп"1итуда a, IlачалЬ]lаяФaзa d' Ил|1 кoМпЛекснаяампЛитyДa !, N1oгут бЬIть найденЬI' есЛи заданo IlачаЛьнoе сoстo.яниe€ ( 0)' {(0)),Энepгиялаpn4oническихкoЛeбанийr^' .m :i1 _,,,tl'tt|(r. L';"t"I " r , . o t n2|n 0 o п o p ц l , o н . " г|Ьа к в а Д г а | } . Ч п | / т v ц o ,l o л e б а l и й ,Ч а с I o | а | | 4 , 2 l ) . o в . а 0 а P . с Ч а с , o o и ' l o | о p .
я . D , rIt!4.241L',li,n]с " г e Д \ (и| ' ( l 4 , | 7 ) :. а к o чл в z ч р l и я ( | 4 , 2 2 ) а ц д " v o д е т r . ь r i ь.''вv'.тelv Р' лобЬ|р ф.]|и-rыP лBижoн,]я с 'нер.ияvи..Г.Мальteкoлe6aния мoгуT бЬIтьбли]кими n .lniп, т.e, не ЛюбьIе,р,<' ] , к o ] е б а Р , ] йП, ,p ' ] б' ч e н , r р.аp\IoЬиBвицР|.чЬ|loс.ll,,авo q 1 y . / , , 'д 6 )_ Q T I e p .' , . . . * ' ' ' n o n . o , " , u б v л i г o т ,у t с r в o в а t ь .o o , н " , r q" . а o ш и ; i Ч ] e h в - а и ч U л lрс - ] в , ]вq р a , л o / к e н Чфиv Р к . и n,Лагpан)кaпo стeпeняпloткЛoнeнийoт пoлo'(eния PaвнoBесияьu,Ё' u",," втopoй стeпеIlи, и IuалЬIекoЛe6аI]иябудут пpинципиМo'(етсвoбoднoкoтoраяiii"o u",'"n"й"o''",тa(' дляЧастицьI,yпрyгoйидeaльнoй,."o"'"щu.""" вдoль oси, пoд дeйсTвиeм&,)кeст(oстьииMeющeй,ii.yiuй' uunр"nn"""oйвне этoй oсив видеrфункuияЛагрaнх<амo)KeTбыть пpeдставленаr:;; i1t*?)'(r 4 .
2 5 )где l _ дЛина нeдефopмиpoваннoйпрУ)к Ilы, пoЛoxeнием рав.Iloвесияl]астЙцьIслv)кит тoЧка u:0, в ко,гopoЙпoтенцЙальнаяэl|еDгия Миl]и]\laльна'olнакo t/,,(0) : 0 и, сЛeдoватeЛьI]o.pаBфopмунa;Yлю частoтa линейнЬlхкoЛe6aний!'оi oпpедеЛeннaянeлисyщесTвeннooкaзываютсякoлeбаниялoй (l4,2t), маЛыепoэIleргиипoтеIlциаЛьнoЙчленПePвЬtйнeйнЬIпlи,рaзЛoxeнияoказЬIвa.pавнoвесияoтпoЛo)кeнияoTклol]ениймаЛьlхсTепеняNl14, B эToм прибЛи)кeнииется пPoпopциoнальI]ЬlМk tnr.t(14.26)"-2'8t2'и Ilpивoди,гк ypавнениюдвихeния с кvбичeскoйнeлинeйнoстЬю.mi+#,З:0,(t4.27)(l4.4):PешениеэтoГo уpавнellия даeтся oбщeй фopмуЛoйt:*ltlrL#")2п'212f 9+.on"t:J t/l 'uaifff(14.28)rt"'л tzl*сonst,Г|авo 1 Двu!"цuPв"еodtsopоdtsd(Гn'еF(a, 'lo lц _ эллиптиЧeскийинтel.РаЛпepвoгopoда'o : ^ , " " i ' j .
( Ф u l J+| u 2 ) '5 14, Дuнамuцeскuе 1акoнol,Iеpнaсmu/u!овьI^ |tUI9\": {isElц.-DLi'.f0x являeтcядoстaтoчнoмаЛoй,чтобыне вызвaтЬбoЛьшихToгдафyнкциюpавнoвeсия.(:,uOoт пoлo)кениЯOтклoиенийpазлo)кeниeмeе(l4.30)зaменитЬмo)кнoЛагpан)1(аr : \e, |u,,r"",lс2_ сau"(x't)la'" ",маЛыx кoЛeбанийollpeделяeтсяфopмyлoй(l4,1l).и pаBeн. !:q"oo..Г,.F-+ idr*("-#")V iд'(1 4 . 3 1 )ypaвнeниеЛaгpан)капри наличии диссип2тивнoЙсильldudALDL(14.32)0xdt 0iк уравнениюдви)кения(в тeрмивэтoм-пpибЛиxениипPивoдитJ V.
_;40!iаx oткЛoнeнии tJ:ЗлесьГ(n) _ гal',tмаг(l/4) = з'6,.. ЧacIoTaQ :2т/TфyI]кция,малЬIхI]eлинейныхкoлeбаний,как виднoиз (l4,29),oказьrваeiсязависящeйoт эrrеpгииЧaстицьIи ведeтсe6я как tE,ПoтeнЦиаЛьнаяэIleргияв oкpeстнoсlи lloлo)кенияpавнoвeсияA{о)кет0казатЬсянeаналитиЧeскoйфyнкЦиeй,в эToм сЛyчаeoнанe Mo'кетбЬIть пpeдставЛeнастeпенIlЬlN1рядoМ и yрaвнениe пIа.льIх кoлебаний в oкpeстнoсти пoлo,кeнияравнoвeсия нe бyдyтyравl{енияп{ис какoй бьI тo ни бьIЛo степeннoй нелинeйнoсiьЬ.наTимeр, всe прoизвoдIiыe(_.z/,')' .д" йoфyнкции ./: U0ипoстoянньIe, в пoлoxeнии pавнoвeсия "*р:с0 pавнЬI нyлю..arroэTon4управаячасть ypавнe]]иядви)кеI]ияrn'a : 2(Joа2.t З(' o2/.2)"*pнe дoпyск"аетl.]peдставленияB виде pяда пo степeняМс или ввидeчастичнoй^сyМмЬI стeпеннoгo pядаt eсЛи кoЛeбанияявЛяюTсямаЛьIМи'Uднакo и в таких сЛyЧаях закoIJq -eриo1ro.
tиЛ,l9U,]и!1oгv- бытЬ |,а,.]!ечЬ|двиxellия часTицыГo фoOмvлJv (l4,4).где: о(t)'E+zr€ +"'3с(14.33)Q(t)= _(1lm')аU"(x,t)laa. "o'1 : a l 2 t r L .. t : u " t " o t t " , .Пpeдпoлo7ким' Чтo функция € ( t)' oбpащающая B To)(дeесЛиствo ypавIleние(14'33)' Irаiiдeна,Toхдествo нe изNIeнитсяloBгo.дeсвooбoаJаюд\r { / / ] Д o б a в , . ] |фЬv . к .
l ' ] ю ,)равPр.ч 7 " 1 l 4 . 3 3 ) б o l п p а в o i Ч a . т . ] ,L ) б ц р Р p e ш е r и e н е o Д f l o р o д Р o г o) p . в н e . r и {я l 4 , J 3 )я в 1 я e т ( я],a \ и v o 6 p а з o v с. v г o o п o ' l ш и e i ' а сногo pеrrrенияэтoгo уpавнeния и oбщeгo perueния oднopoднoгoуpаBнения.И u e v р c ш e ь l р o Д ч o o o Д нoo ) p а в i ] е' и я в в и д е B e ц Р с I в е н " o nчасти кoN,плeкснoгo€ : neхp ( i("'l), Пoдстаgoвка в oднopoднoеypавнeниe пpивoдит Y' хapaKmepuсmuчеcкol||,ууpaBне\1!1юu2 + 24u _ о|: o'Peшeнием з,Г0гoypавнeнияявЛяютсядве(14.34)кoмпЛекснЬIe(1 4 . 3 5 )(r4.!l).3. BьIнухtдeнньIеoдпoмepllьIeкoлeбal'ия.Функция Лaг-pан)ка частицьI пpи ee oднoмepнoМдви)кeнии в пoЛeU(jD)и н r с т а ц и o н а P н o N 4в н e ш i ] e м I 1 o л e . / " ( J , l )лeна в видeL:тi.М o x e т быть пpeдстав.U(x1 U,\x't|'(r4.30)Bзаимoдействи€ с частицаМи сpeды М())кнoyчeсть пpипoМo.щи диссипативнoйсилЬI лu: _Фi, a: сonst, Бyдем считатьTaкжei чт0 движeниe частицы лpoисxoдит в oкpестIloстипoЛoxeния устoЙчивoгopавнoвeсият6' t,r(сq):Ц,in' а внeшняя силаПри 1> ы6 oбе Частoтычистo МIlимыeи имeют oтpицатeЛь.частицьIв таких yсЛoвЙяххаpакньIеM|{иMЬleuaсти,.цвих<ение1 epиЗуе7cяKaк anеpuoduчеcкae 3аmцхaнuе.
Бylем paссматpиватьдаЛee oднoМеpнЬIeсистeмьI! для кoтopьlх lJl] > 1.уpавнeниясo.(вyм pазлиuнымкoрням хapаxтeристичeскoгopешeния:oтветствyютдвa Лиr]eЙнoнe3ависI.lМьIx4l : Re,4t exР (_i('tt),r,2: Rе -42eхp ( 'u]2t).П o " . o t v у0 6 щ е еp e ш e ч и Fo д ч o o o д J o |lop 2 в ч e н и ч( l 4 , J 3 l e с | " . _= ?l + 42. тaк кaк кoрtjи xaрaкTeристичeскoгoуравненияяBля.?aкoнoJrepнoспus l 4- Дuна,|l1чес|сuеГ,xaва 4, Двulceнuе в tlеodнo|Jodных сuлoвblх пonяхются кoмпJeкснo-сoпpяжeнными,iu2: Qа1)-' и 4 вeщeствeннo,.roА2: А|'. слeдoвaтeЛЬнo,peшe.\2: n|* vi oбa кoмпЛeксныхния имeюToдинакoвыeвещeствeнI]ыeЧасти,пoэтolиyдoстатoчнoвыбpатьвeщeственнyючастьoдIзoгoиз них' напpимЬp'41,Пoла.Гaя A| : а| + ia2' нaйДем( : R с , 4 lе х p ( _ i o ' r t=) R e { ( a I+ i o z ) .e х p( . 1 ' t } ) l } =: a t c 1 i с o s ( ) l + a z e 1 t s i n o t = o 1 { 1+ o 2 € 2 ' ( 1 4 ' 3 6 )Этo pешeниeявляeтсяoбцим, так как ка)кдoeрeшel]иеoд.нopoднoгoypавI{eнияtсooтвeтствyющeгo(14,33).N1oxeтбЬIтьпo'Лyчeнoиз (l4.36) при пoдхoдящeMвыбopедвyх пoстoянI{ьIх.HайдeмдалeeчастнoepешeниeнeoднopoдI.loгoyрiвнeния(l4,33)'дЛя этoг0 ввeдеMвMестo( нoвyю нeизвeстнyюфyнкцию,пo.пoЛo)ким здeсь и в v p а в н e н и(иl 4 , 3 3 )Q ( / ) _ d ( , i , ) , с o o т .C{/ /,1,пoсpелствoмвeтсTвyющеeчастнoe piшениeoбoзнavим(r4.4r),Toгда, как сЛeдyeт из.,)пp".>,,,G ( t t ' ) : e - 1 Q, , )" i .
o ( l(t4.42\|,pиt < t|.G ( t t ' ): 0Фyнкuия G(t '/) являетсяфgнl.цuеЙГpuнa длЯ ypавне.(l4,з3).oна yдoвлeтвopяeтуpавIleниюё+2.1c+u$c=а1t-t,1'сЛeдoвaтeЛьно. мы мoгли тaкже лoЛyчить час'Гнoe peшIe.ние (l4,4l) уравнения(l4,з3) в видeл0х(ив1=tr€r*rlr€z'гдe UI. ?12 _двe неизвeстныeвpеlttени' на кoтopьIeтoгдаypавнeниe(14.33)'l€ l + rizi:u+ ur{tr+zli +'tсt} + {Ёz+ 21.,+.всl-\: aФ."эКoэффициeнтьrпpи tllt u2 в этon' Ураtsне}rииpавны нулю' и мыимeем системy а'1гeбpаичeскихypавнeнийoтнoситeЛьнoti1.
ti2:izh - Q(t\.ltlЦ |(nr€l*tir€r:0.(14.38)ПoэтoМy{riэ: -o" '"1"."""tate(r).( 14.39)( 14.40)Уравнeния(l4'39)' (l4'40) интeгpиpyютсяllепoсрeдствeннo!и мЬl пoЛyЧаeмчaстнoepeшeниeв видеfo1\l{ . t , l { r l u z 1 ' z= | 8 ( т ) '.J06rrт)sinQll| G ( t _ r ) o ( ? )d г 'J0.ltlе]ваpи1e.']ьнopешивуpавнeниедЛяфункuииГpина,,(l4,36)и ( l 4 ' 4 l )pешeнийCупepпolишия€o1о tгo5Q1d,с-.lsiпllI'I lQ(rl_Jn1(t ')asinQ(/_,)dг\to nnlпPедсTавЛяeтсoбoй oбщee pешeниe задачи o вынy>кденllыx кo.линeЙнЬlмпo ск0.'1ебaнияxчастЙцьIв сpeде с сoпpoтивЛeниеM'( r 44 5 )r, = _ Q#)J"'4, _ o'."iЦig р;.q,i2 : 9!) oz-,tгПepиoдическая внeшняя сила Q(f) пpe.nстaвимав видe pядaOлpедeлитeЛЬэтoй систeпIЬIpавeн€l€z€=\t4.37)фyнкциинал0жеI]ooгpaничeниеtir€ r * lizсz :0'пpинимаеTвид(14,4з)? Jdт.(l4,4l)o.
- 2г Г6, /oгеpиoдфyнкцииQ(/\, пoстoяянaя"сo.тавЛя.Cниr.аяюUаq Q0 (иЛo.{l4,45)лpивoдитк сдвиг}{ на Q0^2"]fr,r-y oпеpа.lию выпoЛненнoЙ. мьI мoл(eм oпyсти|ь (?0 в l t4,!+ol,Из (l4.!4) виднo,чтo ЧастнoepeшениедЛя пepиoдичeскихQ(.)тaк)KeявляеТсярядoм,oбЩeepeшeяиeДляпpи ,) :0 фoрмyЛoй(l4.44) пpeдставЛeвoвь|нцэtcdе|.||ьlхкoле6aнuЙ zapлoнuчec'cozoocцu]Iляmopa,Pяl'..пpeдставляющийчaстнoepешeниeв этoй фopмyлe,нельзяпoлу.Чить лри пoмolципрoцедypыпpиpавниваниягapмoнllк.зnepезo.Ilанс!]ьIeDчЛeны pяда мoгут быть найдeны путем пpиpавниваниякoэффициентoв пpи oдинакoвых гаpмoникаx силы и к0oрдинатьlГnавa 4, ,|вux|сенuев неodнopodнbш сL|osbв noлях?aкoнo'|еpнoсmus l 4. ДuнaI.uчеcкueв yравнeнии(14.33).oднахo как тoлькovастoталog rгй гap.мoни-кивьlнy)кдающeЙсильl станeт pавнoйчасToтeсoбствeнныхвнeдo 42, Ужe пpи кoнeчныхt фopмyла(14,46)oказываeтсякoЛeoании L-lo,сooтветсTвyющая сoставляющая частl]oгoрeшения не бyдeт lаpмoническoйфyнкUиeйl oча лoлжна p"сти сoвремeнеll'так как нa этoй Частoтeидeт интeflсивIlаяпoдкaчкаэI]еpгии в систeп{y, Слeдoватeльнo, чтoбЬI лoЛyчить peшение'спpавeдilивoe и в yсЛoвиях рeзoнанса, неoбхoдиМoисгIoЛьзoваTьoбщий Meтoдпoстpoeнияpешeнийпo фopмyле(l4.44),lloдстaвиrMв фopMyЛу(14,4|) для часTнoгopешeния ToлЬкooдин ялен pядa (l4.45)llгдe к, с, oбoзнаЧаeтсJагaе[4oe,кoМплeкснo.сoпpя)кенIloeпpедЬl.дyщeпly, этoй фyнKцией мoжeт быTь llpедставЛeна тaкх(e сaпjo.стoятeльнJягаp]l|oни,{ескаявьIнy)\дающаясиЛа,П p и Q , l _ ^ , 4 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
