Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 11
Текст из файла (страница 11)
oбoбщeнная эljеpгия сoвпадaет с пoЛнoй энepгиeй.nв-аЛ.,o.lри в этoм с.Лyчaес пoЛьoЙэнеpгиeйчастиLы в J.гeк.п0Лe.трoi\lагниTнoп{Ф у н к u и я Л а г p а н ж ач а с т и ц Ь вI н е и н е p ц и а л ь F oсйи с | e v e o т .выpаxением (l2'32)' испoльзyя этo вьlpа)кeсчета пpeдставЛенаниe' нахoдиl] в сooтвeтствии с oгIрeделeниeмoбoбщeннoй энеp.гL',|1Н,g'-v''t1_|у'. t mr' R(/); ( . . J ( i) . г , ) .
. i ( r , ' l ) ,( 1 3r.l )Пepвoе с,']агаeмoeв (13,1l) eсть киllетичeскaяэнeргия ча.стицы в нeинepциа'l]ьнoЙсистеМeoTсчетa;втopoe эквивалeнтн0troтенциальнoйсиЛoвoмпoЛe R; трeтЬeэнepгии в oДltoрoднolмсJ,]aгaемoеЛpeдставЛяe.|сoбoй nomенцlал це mpoбеэ]снaiсunt,сJtt"J.,t.Т(-.rl)_/ 2\0 tdr.ln.,t.,z t'.| u r tl .' l/), \_: l n ( ( ,х G , x , , ) ) .B неинеpЦиальньtхсистемах oтсчeта oбoбщeннаяэнep.гия (l3,ll) мoжeт сoхpанятьсяieсли yгЛoвыeскopoсти (,и ускopeния тpансЛяциoннoгoдви)кeнияR такиx систeмне зависят oт вpeMeни,Kpoме тoгo, дoлжны oтсyтсTвoватьдиссилативньlесиЛы! и пoтel]циаЛьнaяэнepгия [/ нe дoл>кназависeтьoт вpeмeниявIlo,oбoбщeнный импyльс p,:2v,1ln(o(t) х т,) сBязан с им.пyльсol!1частицьlp в инeрциальIJoйсистемeoтсчeта.9сooтнoшe.виellp, : рmR(/)(lз,l2)Глaва 3.
Фgнкцuя Ла,pс|||э]сau gpaвненuялаzpанnса,,,: 0' rа : ur(t)) систeмьl: p :_ Для вpащающeйсЯ (Rр,,B этoМ слyчae сoвпадают так)кe мoмeнтьI импyЛьсoв L/r/ х.p/и L: r х p uастицьl в S/ и .9. a oбoбщeннаяэнeргия' каx вид.нo и3 (l3,1l), oтЛичаeтсяoт пor1нoйэнepгии,Y(r,v.t) uастицьrв пoлe .,r(г'l) в инеpциаЛьнoйсистeМe oтсчeта ,9 слагаeмым11'tr'-v'.t1- 11'r.v.t'-L.t,t,.гЛавa 4дBи)I(Енив в }IЕoДtloPoДньIxсиЛoBьIx пoляхrlStJ)Мьr видим' чтo пepвьIe интегpаЛы дви)кения дЛя ЧастицьINloгут бьITь пoJучеIlьI на oснoвaI]ииoдIjoгo тoлЬкo видафyнкцииЛагpан;ка, Пpи этoпr нaибoлee пpедпoЧтитеЛьнЬl]!1явЛяeтся TaкoЙвьtбoрдинамичeскихпeременнЬIх'пpи кoтopoМЧисЛo цикi1ическиx кo0рдинаTмаксимaльнo,не пpибeгаявсякий pаз к интeгрирoванию ypавнений дви)кeния' мoЛtl]oyтвеp)кДатЬ,чTo цикличе.скoй кoopдинатe qд сooтвeтствyeт сoпря)кeнный o6oбщeнньIй иI',t'пуЛьс!,l' сoхpаняющиисяв пp0цeсседвижения (пpи нaЛичииси.ЛЬIтрeния| пpoлopциoнальнoйскoрoсти'pд схp (t'/n}) : сonst).(цикЛичeскo]\!y'вpeмeни'кoгда aL/оt :0, сooтвeTствyeтсoxpа.нeниe oбoбщeннoйэнepгии в yс]roвиях'кoгдa мo)кнoпpенeбpiuьпoтepями,B нeинepциаЛьныхдиссипaтивньIмисисTeМаxoтсчeтазакoньI сoхpаllения oбoбщенньIхиl'IпyЛьсаи эIJepгиимoгyт иМеTьllreстo.
eсли yскopeниe и угЛoвая скoрoсть вращeния систеМЬIoтсЧeтане зависят oт врeМeI]и,$ 14. .I|инaми'reскиe3aKoвo}rеpнoстив нeoДнopo,цrrьIхсилoвьIх пoляxl. o6щиe свoйстBa oдIloMеprroгo движeЕия в кolrсepвативнoм пoЛe. oднoмepнoпly дви)кению ЧасTицЬI в пoлl. Il-(z)сooTвeTствуетфyнt(цияЛагpaн)каt i;' r'( 1 4r.)Tак кaк энepгиячасTицьIсoxpaняeтся,L -:i2t trl-+li2.oi t.,ro'/1.It4.2lOбщиe свoйства oднoj\lepнoгoдви)l(ения в пoЛe [,/(,) мo)кнo ис'сЛедoBаTЬна 0сн0вeзакoна сoхpaIlенияэнepгии,пepвoгoиз (l4,2) нахoдимдва диффepeнЦиаЛьнъlxУpаввe!{ияпорядка],L1u uail,(14,з)Pазделяяв этиx уpавнeниях п е р e M e н н Ь I eи и н т e г p и p y я l п o Л y ч а e N lзак0I] дви)кeнияЧастиц+ сoпs[.._,,(r 4 . 4 )./(,))сoдер)кащийдBe прoизвoЛьнЬ]епoстoянI{ЬIe.из (l4,3) сЛeдyeT,ч'|o dongcmuмaя a6лaсm1' dвulIенuя aлpe,feЛяетсянeравeнствoмE ) U(x)' ГpаничньIмитo.Iкамиэ,Гoйoб.Лaсти сЛy)кaткopни yравненияд: U(z).
B гpаничLlь|хточкахскopoсTь частицЬI oбpащаeTся в нуль' нo в oбщeм случаe d{//tlzи. отличньIoт нyЛя (pис.5).Этo знauит,uтo в граяичнЬlхToчках.кo0o.Ioасти.Ь| чеliяе, JЬ2ч Pа пpoтl Boпo]oь,ыйioнy с.Гy/lа|т0чкаМипoвopoTа,B peшeнии (i4,4) эTo сooтвeтствуeтпepехoДyс oднoйвeтви кopня на дрyгyю,707l30^aнoчеpнoсmus Ia,Дuнамuче(\uе: ut лoле бeз изпjeнeнияфopмЬlпеpенoситсяс пoстoПpл rl(i)(пoлe oвoлныo).д'1я этoй задачи фУнкцияян|roйскopoстью 1rJ т I а г P а н ж аи l | e e т в и дL:;i,- U ( ' ,- ф | ' 1 ) ) '(14,6)q: xi - Ф(i),Toгдакoopдиl{аTyBведeNнoвуюoбoбщeннуюr:\(,i+;t)'-ur.ot.(t4.7)П O д с т а в и N lс ю д а q Ф и з p а в e н с т в а.l,2!(aф: Ф,l+,li4rdРис' 5' loлyстиьrаяоб.1астьтl <:?'<:r, и:.3 < i'<.юдвижеtlия:ЕсЛи дoпyстимаяoбЛастьДви)кeнияoгpаниЧeIlадвyNlяToЧка.lttи пoвopoTа,тo дви)кeниe flазьlваeтсяфuнumным- Если имeетсятoльк0 0дна тoчка пoвoрoта, тo часTица в лoлe U(:г) yхoдит нaбeскoнeчнoсть и дви)l<eниеявЛяeтся нeoгpаниЧеннь|мgJ1|.1u\1фuЭнеpгия E чaстицьlмo)кетсoвпадатьс oдним из максимyмoвпoтенциа'1ьнoйэнepгии, Е : u(,-.-).
Чтoбьr прoаeмoнстpиpo.вать хаpактepнyюдинамич€ с кyю 3акoнoмepн0стьдви)кeнияс та.кoй энepгией' вЬ|числи]tlвpемя 7 дви)кения частиць| дo тoч.к и , г ' ' . ' Ao т б Л и з к o йк ч e й ] o ч к и . г r O ] .в к o т o p o йЧ а с г и * ан а х o .ДиласЬв мoMeнт/:0 и иМeла скopoстьi(0), в этих услoвияxфункuию Lr('rl)мo)кнo3аменитьee pазЛo)кениe]vl l ' , :' ,F -- !,t'"I2-'7где.r.,,(]I,''.'")< 0, Bpeмя движеI]ият oпрeдеЛяеTсяинтeграЛoIмVT[,',,;(,-,-J'(14.5)Jтoт иIlтeгpаЛрасхoдитсяЛoгарифмическина вepхнеll пpeделeинтегpиpoвания,Частицeс энeргиeйЕ:./(z.'*) тpeбyeтсябес.кoнeчнo бoЛЬшoe вpемя для Дoсти)кeния тoчки:]|ll'ltх.
кoтopaя,тaкипl oбpазoм, явЛяeтся тoчкoй oстанoвки часTицыК эквивалевтнoй динаN'ичeскoй задачe привoдиT зэдаЧа o дBи.)кении частицЬ| в I]eстациoнаplloм пoлe U(т,l) :lJ(lE(t)|.y o l y . и N l | , o Л н } ю ' l p o и J в o , D н y юп o в P e v e н и o т o i l l ' а I а к ж e ф v н к .тoлькooт вpемeни'ПoлyнимзаuисящуюIrи'u'4!,'ь:\t,i), _ukt_"'6a.(14.8)П p и o : 0 этo выpажевиeс тoчнoстьюДo oбoзначeниЙсoвгIа.r а е тс ( | 4 . l ) ,Лагpаl,l)каимeет видУpавнениеrпц+ aUlaq = -| Ф(t,)'(l4.s)задaчa свeлaсь к инTeгриpoваниюoднoрoдtloгoypaвнeнияoтыскaнию частнoгoпoЛe [I(q)движения в кollсеpвaтивI]o]t!ypавнel]ия'a пPи 4)= 1Lt_ тoлькo к инреIlIениянeoднopoД}loroтегриpoваню oднoрoднoгoуpавнения.B этoм пoследнeмслУчаeoбoбщeннаяэнеpгия,rAL _,,='i\Ф,+ut,u'lфс0хPaняется'и' вoзвpащаяськ пpe)кt]ейпepeMеннoй'пlЬlпoлучаеN1пеpвьIЙинтeграЛдви)кения|(l4,l0)\ m l 2 ) ( i u ) 2+ U ( l _ t t ) : с o ш t 'Пpи испoльзoвании1' как виднo|1З04'Ф, aL/at +пеpeмeвнoйэl]еpгияне сoхpаняется'/ 0' и oбoбщенваямtloгиетpeхпpивoдяTзадачаMК эквивалeнтньtмoднoмepнымrIеРньIeзаДаЧи.зaдаЧадвyх тел' зaдачаo ЛинeйныхкoлeбанияхсистеlIьtчaстиц'-Y Bзаиluoдeйствyющиx2.
Codствeнвьre oдвoмepньIeкoлeбaния. oднoмeрнoeфи.ниTноe дви)KeниeявJ,]яeтсялeриoдичeским,Пepиoд oсuил,,rя.72Г , 1 о в | 14 , л в ц ц е ч u ?S l 1 Дlна'ч uческuе 3ах ol]olxеpнoсnuв \ е o d ц o p o d \ ь l х Г u ! 1 o в b t А' ' о , я 'ций ?' pавныйвремeнид в и х e н и чо | o Д я 0 Й , l o ч к|иo в o p o | а. г l д oдpyгoй,|! и oбpатнo'на oснoвании( l4.4) слeдyIoщий:/(!):?,to- u('))) .f/ldrl+ t/J\l "( 'l:2ldx/Itu(,))(r4.ll)п p и з а N I e н еп e p e ] M е н н Ь l вх э т o м и I l т e г p а J е н e т н e o б х o д и м o с т иЛpeoбpазoвьIвaтЬтoчки повopoтa'oни всeгдa oпpeделяютсяра.вeнс-твoмнyлю пoдKopeннoгoвЬIpа)кeния,дЛя oдIloмepньIхпеpи0диЧeскихдвижeниfi с пеpиoдом тспPавeдЛивoypавI]eниeвида.,(r): u(r+ z).(14.t2)УРавнeнию (l4.l2) yдoвлетвoряютфyнкции тq(t) : сq : goц51,x | : a сosnut, x2n : bn sin ||ut Г'p|1u : 2т f T, rL: +|'.,,' a TaK" их пpoизволЬI]ая")кeЛинeЙнаякoп{бинацияиr1итpигolloп{eтричe.скиЙpядJl,] .
jlL|a,,со.l,Jlrl,'sirrл;t),(1 4 . l 3 )этoт ряд ]\lo)кнoпpeдставить в кoмгIЛeкснoйфopNte,,,lr]- г"...''.,(14.14)при yсJ|oвииc-л: q|, q: o6/2' вьrтекаloщипtиз вещeствeннoсти t.j(.),KoэффициeнтЬ|.}l NloxrroпoдoбратЬтаK, чтo pяl (l4.l4)бyдeт прeдсTавлятьзакoн дBижeния t(t)' заланны;фopмylJ|oii|(|4,4l, или сxoдитЬсяк т(t), HеoбхЬlимьrеy.,o""","Ь .,,Мoжнo лoЛyчить,yмнoжив (l4.l4) Irа eхp (.,,!l,l.)и пpoинтeгpи.poвав pе3yльтат пo пepиoдy дви)кения, Учитывая' чтo'II|'!'',I0, ', at г".,,''(п:0.+l'...)'(1 4 .
1 5 )pяд дoЛx(eнбьITьрядoм Фуpьe, Hачаль.т, е, тpигoнo[1еTpиЧeскийoгPаниЧeниянa сoвoкуп.ньlе усЛoвия нaЛагают-oпpедеЛerjныeнoсть кoэффициeвтoвФуpьeIU(r,))ГIТ|г; |т(t)c,"..lt1з,,or- f .,,.;ror ,t ",'oдtiакo кoэффициеIrтыс,,, o,,, b,. pяда Фypьe нe мoгyт бытьпo фopМуЛаM(l4'l5), пoка x(t) не найдeнo явн0.вЬIчисJ.]eнЬIпloжнoнайти тoчнoс, (тr= 0'*l.*2'''')кoэффициентьIинOгда(l4,14)нeп0срeдствel-iнoпoдставитЬpялeслиnpи6лих(eннo'иJ.]ив уравнeflиeдви)<eI]ия(1 4r.6 )пt';:= -dU(t)/dxвместeсo свoиI{ипPo.и учесть,чтo дЛя r](t)' нeпpepывtlьIхизводньI]\lидo mгo пopядкa'пoрядoкубывавия сn] нe нижe(14.l6)являeтсянeЛинeйньlмдиф.в oбщeмслучаeypавIreние(l4.11)(14,4)'qeренuиальньrйпoэToмyфopMyЛаMиуp"Ь"""""''пoедставлeньrзaкoн движeнияz(f) и neриoд т oднoN1еpньixсoДepжат,в пoлe[/(r)' такиe кoлeбaниянeлинейньrхкoлe6анийв |еpj\lинрa хя l o в Ф у p ь c t l 4 ' I 4 ) .
к р а | н Ь |гPа p \ I o н и кoис н o в , ] o Йg:2тlТ- сама чaстoтa,как виднoиз (14.ll), зависитчaстoтьtсoставoт по"rнoйoсцилЛяцийамллитyдьIl;r2 тll, Исхлюueниea,,,,^_,o),, 3наueвиеинтerpаЛяст движениeв пoлe U(r) =}(,Л а ( 1 4 l l ) в т а к o йo л н o [ 4 e p н oлйа р d б о1 и ч е с к o й" я М e ' р а в F'=,'1,",7ff1'-rs"-,1:t;.f -[0\| ---v{(t4.t7)|г:1n\/2Е/t7475Г,Iавa 4, Двuъ{енuе в неodнapodньLхсuлaвьLх пaлях1aкoнoi|еp||ос|nus 11' Дuнaмuчес1сuеи нe зависиT 0т пpeдеЛoвинтегpиpoвaljия,При всeх кoнечньlxзначeнияхэl{ергиив TакoМпoЛеЧасToTaнe зависитoT аМгlЛиTyдЬloсциЛляциЙ'При знаЧeниипoлнoй энepгии -o: U(zo) : U.i,' дoпyстиМаяooЛастЬ двиxeния вьIрoЛцaeтся в тoчкy uo Лoкаi1ЬнoгoМи!lиМyl\'IапoтeнциаЛьяoй энeргии, Этa Toчка явЛяeтся nojLa'{енuем!сmoйчuвo2o paвнoвесuя- ЗIlaчeнИеt,l(z61 явlrяется IJаиМeньшимв ч Р l t o , o D ooЙ( p е с , Р o .
, и | o Ч h иJ 0 , с h o p o ( т ь | а с ,иl ц ь |в I o Ч ^ еa ^p а ч ; . ' у ' о , Е l Л L ' r e p - y q L 6 . 1 v j ' a I </ - ' . , l o р a с с r o я н и меежлiТoчкаMиIloвopота|l2 _ z1 будeт мальrм(рис'5), Пoтенuиальнyйэнeргию L(l) в этoм сЛyчаe Mo)кнoзамeнить eeразЛo)кeниeМв pяд Teйлoрaв oкрeстностипoлo)кенияравнoвeсияJо'o - l , I F o ( l 4 1 7 l , д e ч р o п р р Д д Л е л . l1ы: и: е. .ln''^- , 1 / ч Р ]J,J | 4 , 4 )" , r " .|4,lU),oДн а ( o в o б t L .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
