Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 15
Текст из файла (страница 15)
l вt . , t з . , '3 в . l r ь 0 , / ] ), , _0(14,97|Этo yравlreние иМeeT тoT )<eвид, Чтo и уpавнеIJиeэвoЛюцииpадиальiiIx вoзмyщений' oД.накo пoпеpeнныeвозмущеt{иябудутнoсить кoЛебaтeльныйхаpактeр при ус,п'lвииo.оaэ+:9|..',o.B.(,"'(r4.98)та(иМ oбразoNt,кoнфигyрация нeстациoнаpl]oгo магIlитнoгoпo.l]я,в кoтopoМ вo3мo)кtloyскoрeние эЛeктричeски заpя)кrнньIxбeта.частиц Ila тpаeктopияx.близких к кpугoвьlм.oпpедеЛяeTся(i4,98)'(14.94),(14,85),a такxe услoвиями,oo""o,' v"io""e'Ч o с г и Ь | в 1 a ( ] х l o Л с х 6 у д y | Д в и Г " , " ' яв Д o , " . р а е h o D ' , ] Й , 0 с .и , r . д .
р у ю - и o\ т Ь o с l . , р . Г o н o . o Р д ЬкJO\ у | o в ы хo D б , 4 | ,анaлиз ДBиxeния свoдиTсяк исслeдoвaниюБoЛeeдетаЛьнЬIйypавнений (14,93).(l4,97) в зaдaннoмп{аг.диффеpeнциаЛьньlхниTI]oNlпoлe иЛи бoлеe oбщих уpавнeниЙ (Для oднoвpeп{eнньlхвoзмупtений),кoTopЬIeмoгyт быTьрадиаль!lыхи ЛoпepеЧtlЬIх(14.93)пУтeм pазЛoxеIlиЯпo 4, Пpиnnnu"""o u. vpaвнiниябoлЁe стоoгих oaсчe.ах диr.амикичастиц сЛeдyетпpиниMатЬвoвзаимoдействиeс сoбственнЬlмэЛектpoмагнитньIМu""'""n""*пoЛем'вкЛюЧаяпoле изЛУЧeния,7. PaсIцeплениe частoTЬI пpoстpанствeннoгo осцIlл!'tятopaв МагIltlтнoм пoле. пoтeнциальнaя эвeргия эЛeктpичeски зapя.женнoй часTицЬi'сoвeршающeйкoЛебанияпoд деЙствиeм цeн._тDaльIlo'симMеTричI]oйyпpyгoй сильl, paвнa n,"l|,,2f 2. гrc aoпoTeнциaЛuiстoтa oсциллятopабeз Nlагнllтнoloпoля, Bet<тopный94Г,|aва 1- Двuэ\енuе в l|еodнopodнbш сu]|oвb|хloляхoднoрoднoгo магнитнoгo гIoля llloxeт быть пpeдставлeн в виte ^: (е/%)(B x г).
BьIбиpаяoсь ; вдoль наIlpав'leнияМаг.нитнoгo п0Ля' |JахoдиllфyнкЦию Лагpaнжа прoстpaнствeннoгooсциллятopaв 0днoрoдIloммaгнитнoМпoлe:'B\ u' -, ! . ,.",I L- ui'\_ _2||.Гz I u _z,\2|'|2,'(-rJПoдстав'rяяэту функциюв уpавнeнияЛагpанлtа'пpихoдимl{ ypавнeниямдвижeнияL -:t - aLi + Ltx = Ollj+ali+a:вtl=o:z+aбz:UIfД'еaL: сBf2|n( _ частoтаЛаpNlopа'^4ьIвидим, чтo кoopдината? ч;стицЬ|иэмeняeтсяпo заltoнyгарМoничeскихкoлебанийс частoтoй!o'рав}]0ичастoтe oсцил.лятopабeз магнитнoгoпoля,Уpаsнeниядвиженияв пЛoскoсти,пepпeвдикyЛярнoймагнитI]oNly пoЛю' пpeдставим в кoмпЛекснoйфoрмe, пoлo)кивI+ilj:сБyлeм имeтьI + ;.u1(+.uj6= o.-|orдaИщeпtpешeниeв видe € :Ce i.|,задачасвoдитсяк oтыскaниючастoтoсцилЛятoрапyтем peшенияквадpатнoгoypавнeнияt"' - LrL'L- aA :0.двyМ кopняNlэтoгo ypавнения:',',zurt t Г, -42 V"i+сooтвeтствyютдва линeйнo I]eзависимыхpeшeния' ПoэтoMy oб.щee peшeниeуpавtlенийдви)кeнияв пЛoскoсти'лeрлeндикyЛяp.нoй магнитнolly пoлю, Даeтся в€ r цествeннoй и мнимoй чайяr,iифoPмyЛьI'п+']a:.;'?, "'^liii,* ",[с'",BЬIpажeниeвквадpатIJьlхскoбкахoписьIваеттoЙiliu;;,;'*'*"'$ 15' ,(виrкепие в цеЕтpaльrio!\'пoлепoЛe тягoтения сфеpичeски.сиIмMeтpичнoгoраспpeдeneIlиявeI]eства, элеKтpoстатиЧескoeпoле нeп0дви)кнoгoэлeктpическ0.B Любoй To.{кепpoстpаltствагO заpядаявЛяюTсяцeнTpaЛьнЬINlи,на силoBoицeнтр'напpавлениeмI,]oЛяoI]рeдeляетсяrIапpавЛer]иeToЛЬкo0тзависитпoляа абсoЛютtlаявeЛичинанаIlpя)Keннoстиaтoмаяв!']яет.ПoЛ.енeйтраЛьнoгoPасстoяния дo сиЛoвoгoцeнтpа.заря)кeннoгoпoлeЙпoлo)китeЛьнoся peзyЛьтатoм сyпepl]oзицииядpа и электpoннoй oбoЛoчки, Bслeдствиe нeлoЛнoйкoN!пeвсацииэлектpичeсKинeитраЛьllЬ|х83аимoдeЙствиeэтих пoлeй вo3п1o)квoв усЛoвиях, кoгдаэЛeктpoнoв,иаlo\Ioв.
чeйтpаль|.b|\атo!t.oвмoгyтивзаиMoдеЙствияаToпlьlи MoлeкyЛьlв пpoцессe дви)кениясчитать11oх(нoTак)кeихпoЛяKак нeпoляpныe'рассI\{атpиватьсясисTeмаМичастицTаки]\,1и]Me)кдyвзаиMoдейстBиeЦeнтpaЛьнЬ|ми;на мaлыхoтталкиванЙяимeетхaрaктepB связaнныxсoстoянияхpассToянияхпoрядканаи'lритяжeнияpасстoянияхмeждy !]имиpассToявием,спадаясбыстpopазмepамoлeкyльI,хаpактeрrtoгoБy,tем снитать. l]тo oдна из частиц, сиr1oвoицeнтp' явЛяeтсянeпoдви)кнoй в некoтoрoй иItepциальl]oйсистeмe oтсчeта, lак0епpибЛи)кениe дoпустимo. eсЛи взаиl'loдeйствиeм oбeих частицс oкрy)кающими тeлами мoх(tlo пpeнeбpeчь и eсЛи масса сил0вo.Io Ueнтpа значигеЛЬчoпpeвышаётмассy движvЦрй(я частиUьlпланel.
дpyгих ,]ебeсных1eЛв пoлесo' нUа,движeниe.Д.ви/.еrrиепрак..lскусс]вeн\ьI\сп\,Pикoв в пoле Зечл',r_ rp,rN{epыIyнЬ|.BцeвтpаЛЬнoNl3адача0кoToрЬtxдвиx(eнии3адач'тиЧес(ихдляПpи пpoизвoльнoмкoнен.лoЛеслy)<итхoрoшим пpи6ли)кeнием,нoм oтнoшeнии масс частиц кa)кдая чaстицa двиxeтся в пoледругoйчастицьlи сЛy)кЙтдЛя нee сиЛoвьlMцeнтpoм.OднакoесливзаиI'{oдeйствиeп!eждy tIастицами зависит тoЛьх0 oт pасстoянияllеxдy ниМи, тo задаtIа двуx теJ pаспадаeTся' кaк п0кaзанooдна из ниx свoдится к динaмикeни)кe.нa две 3адачи.I]pичeN{I{вазичaстиць|с пpивeдeннoймассoй в центpалЬнoмпoлe'цeн1рov,Tогдa6унк.Coвvестиv нaчаJloкoopдинатс сиЛoвь|\,lпoЛe мo)кнo'iвсМассoйчастицьIцентpаЛЬtloпlЛaгpaн>кациюпредсTавить в видев|lJloскo.сти |x,,!]) двих(eние пo эЛлилтичeскoйтраeктopиис частo.Г; + ;j\/*6в цeнnpаnbнoДnole$ 15' ,ЦвuэtсенuеЭкспoнeнциальныймнoжитеr']Ьпри квадpатн0ЙвpащeниeэтoгoзЛлилсас yгJoвoЙ частo.r: |,nrr'-r.r11"11,(15.1)пoле,энepгиячастицыв цeнтpаЛЬнoмглеU(|г|)_ лoтенuиальнаяyрав.каKпoлУЧeныУравнeниядвижeнияЧастицьlмoгуTбытьв ньютoнoвскoйнiния Лагpанжаиr1инeлoсрeдствeннoфoрN1e,96Г oвo 1Д,JL, odLo a dfodчapadtso-|,в в и д e с и с т е l { ь I T p е х н е л и н e й н Ь I х д и ф ф е p e н ц и а л ь н Ь I хУ p а в н е н и йвтоpoгo л0pя!lка:лli :v.r (lr|)'915, Двuэ$енuе в ценnpаjlь|{o, noлеГ(15.2)Ес,lи l' : r(,)азиNjуTаJ.IЬt]oиoт вpeNlенииз (l5.10) нaйденo,тo зависиN4oстькoopдинaты;(t) мoжнo rlайти из ypавнeния(l5,6)Ltt.д .
: ; i /,)l v , + . - ' ( г ) .(r5.3)dtv\t):;J i(f] +сoшt'Из (15,l) и (l5.2) сЛедyет'чтo сoхраняeтсяпoлнаяэнepгияЧасTицЬI:97(15.11)по f' такB ypавнеriии(l5,6) к диффepeнциPованиюПеpейдeN1d.pLLв с е т p и l ( о М l l o н e н т Ь lв е к т o p а м o l ! 1 е н т аи м п y Л ь с а :L:r x p:Bсeгдаm(т x v) :36151.Lт:0'(15.4)(1 5 . 5 )нo при пoсToяI]нoпlL _ этo yрав,]ениeнепoдви)кнoйлЛoскoсTи.пpохoдящeйчеpез силовой Цeн,Гp,Tpаектopия частицьI Ле)китв этoЙ плoскoс,Ги,BЬIбеpеN1oсь z циЛиI]дричeскoйсистeп!ыкоoрдинатвдoЛьL.Тoгда в циЛиндpическихкooрдинатаx(15.6)(15.7)It - U.r(r)),(15.8)(15.9)г r р e д с т а в J ' I я ю щ e сйo б o й с y м М y п o т e н ц и а Л ь I J o йэ н e p г и и ч а с T и ц Ь Iв Ц e н т p a л Ь н o п l l o л e и п o т е н ц и а Л а Ц е l . ] т р o б e ) к н o сйи Л Ь I 'м ь I в и д и м ' ч т о з а д а L I аo б o п p e д e л е I ] и ир а Д и а Л ь н o г од в и ) к е I ] и яв U A |, р .
, o | - о v I o ] F . в o l " l яо r ] , | o У e o0]1 ,In, |nLo pа'нy.цей' ЧTотeпеpьr > 0, 3акoн дви)кенияЧaс1.иЦЬlв pадиалЬноМнaлpавЛeнииoпpедeлЯетсяинтегpалoпj,lт1(Е( r5 r 0 )(l.п(|)*J"(,):vg(,-".u{rD!\Ll nt ),h(15.r2)УраBllеLJиe IL']oскoсти'lвихrения (15,5)' зaкoн радиаЛЬного(l5'l2) иЛидви)кeния(l5,l0), а .Гaк)кeуравнениeTраектoPииз а к O н а з и i v l y т а Л Ь l l о г oд в и ) к e н и я ( l 5 , ] l ) , д а ю 1 . о б щ е e p е ш е н и ез a д а Ч и o д в и ) ' ( e в и и ч а с т и ц ь l в Ц е н т p а J l Ь н o ппl oле, этo рeшeниeс o Л е р } к и тш e с т ь п P o и з в o Л Ь н Ь I хп o с т o я I 1 н ь I х в' к Л I o ч а ЯJ и L ' п р иl I o l l l o щ и к o т o р ь l x з а д а e т с я н a Ч а Л ь I J o ед и н а м и Ч e с к o e с o с т o я н и eчaстицьI,Д.aпgс|nuмaя aб'I,aсmь dвulсенuя ЧастицьI в pадиаЛЬнoм на.п р а в л e н Й и o п p e д е Л я е т с ян e p а B e н с т в о N lЕг д е в в e д е н o o б o з н а Ч е н и e д Л я з ф ф е к т и в н о й п о т e l j ц и а л ь I ] o йэ н e p .Г|1,АIJ.Ij?) : (i(Г) + L2l2m'T,.П o д с T а в Л я я с ю д а I и з ( 1 5 , 8 ) и и J l т e г p и р y я ' н a х о д и N 1y P а в I r е J ] и eв видетPаектopииU (т-)' L2l2mr2 > o'( 1 51.
3 )yPавнeниюдЛя зтoчек>Знак pавенствав (l5.13) сooтвеTсTвуетB тouкaх пoвopотаф f 0,напpавЛеI|ии.пoвoрoтав pадиалЬнoN1Kаждая паpа гпi.' Inlах з,lачений r в тoчкаx пoвoрота oпpе.дeЛяeт в пЛoскoсти дви)кeния двс oкрy)кнoс.Ги'пle)кДy котoрьIпjи J'Iс)киттpаектopия фuнumнaza r)вuэlсенuя(pис,6), B тosкaхi llеIlяет 3пак, !]To сooTветсTвyетпeкасaния к окpy)к|lосTяп1рехoдy с oднoй ветви кoрня на дpyгyю в закoнe pадиалЬнoгoдвижения (15,10)и в yравIlеIlиитрaeктopии(15.12)'o6e кpивьtетoЧек пoвopoта,oтноситeЛЬнooказьlвaютсясиl!1пlеTpиЧньINlи(l5,10)пoroтrmjnr,n:йи oбpатнo'найдепlинтeгриpyя вдopaдиаЛьI{oгollepиoддви)кeния-. " 1" ' ",Гl "(15.r4)LЪп(r))98в noлеU = a/|s !6. Двuэ{енuеГ'1ава 4' ДвuxЕе||uев неodноpodнь|х cu'|aвь!х nonях99Пpи r.,'o' + i}.] дви)кeние в цeнTрaЛьнo]\{пoле инфинитнo.qaстицa, пpибЛи)кающаясяк си.l]oBoмyцентрУ из бескoнeчнoипl и снoва Уxодит нa бeскoнеЧнoсть,ПoЛнoести.
оTкJ.toняeтсянаnpавЛенияиМпyлЬсаЧaстицЬlIlpи тaкoN1движеt]иииз]!Jенениeyглoпlpaссeяния9:(pис.7) oпpедeляeтся0:тPис, 6, траекTopия финитнoгo дви)кения в llЛoскoсти Lr = 0п o , н o " и - v е | e н и AФ у l J o в o i\ o o p л y н а т ы \ а t г o в p e N ! чр а в н o\Llt,t/)dr.'(1 5r.5 ).lЪк(r))B o6щeм слyчае t! | 2тntln, rДе m'' n _ цельIечисла. тpаи с теЧениемвpеNjенип0ЛнoстьюзапoлI]иTекТopияI]eзапIкl]утаalr'oбЛастЬ ме)кдy гпln] и ]"пraх,B гpавитaциoннoм пoлe. U :пoлe [-l: or, (прoстpансTвeнньIйa > 0' а такrкe в цeнтpaльнoпtо . U и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
