Л.С. Кузьменков - Клaссическая механика (1119849), страница 16
Текст из файла (страница 16)
г " г я , o p ] , р а e i т o po.,q{ . ] Ь | в u р --саяv { | ) ] o й ,2(L lrrlr2)dr.J(1 5r.6 )U"п(r))П p и l f 0 н а с т и u а н е в с e г д а д o с T и г а е т Л p и т я г и в а ю l ц е г 0с и J ' l o .o o п p и r , _ | 0 M e д л e н н e е l L I е N рj a с т e твoгo цeнтpa' Если t-t(r) +ц е н т P o б е ж н Ь I й п o т e н ц и а Л . т o п а Д е I ] и е н а с и J ' I o в o Йц е н т р н e в o з .v t l , к н o У с л o в и е п l I ] а д e н и яч а с т и ц ь I н а с и л о в o й ц е н T р ( r + 0 ) я B .'1яется yсJ'loBиe принадлe){<нoсти этoй тoч.ки ДoпустиМой oблaсTик преДелyдвиlкения(15'l3)' Умнotкая(l5'l3) нa '"2и пеpе*oДяr ] U' пoлучаепIrчъ|,!U(,)]+ L2l2m'< o.(1 5 . 1 7 )и -L f 0 yслoвиепадeнияT а K o йс и л o в o йп p и, : 0сr/r" услoвиe(l5,13)це|lтр дoсти)кип{' для пoтенциaлoв U :> 2 и o > 0.вьJпoЛняетсялpиn=2 и a> L2l2'пl.а такжeпpи,rr,ДJ,]я пoтeнциаЛa Bu'Дa U :al|liа сиЛoвой цeнтp не вЬIп0Лняется! нo_d/тs 16.
.цви)кенrrеR гoЛe U :l . o б u r и й в и л т p а е ь r o р и й .П o | е . l ц J а| " Р а q' | e р и, " o " ч | o " lчасTицЬIв грaвитациoннoMпoле сфеpичeски.симMеTpичнoгoрас.пoлe сфepичeпpедеJ]eниявещeства,или в эЛeктpoстатичесKoMpаспрeдеЛениязaрядаiиMeeт ьид U : -alr,ски сиI{МетpичнoгoГдс 7': r'pасстoяниедo сиЛoBoгоце]]тpаlo: Gmorrl дЛя гpавитациoннoгoBзaимoдeЙсTвия,a: -е1]c дЛя (yЛoнoвскoгoвзaиNloдeйствияпpитя;кeнию'o<0 заpядoв;.r>0 сooтвeтсTвyеTэнepгия в так0м пo.OттаЛкиванию,ЭффекTивнаяпoтeнциалЬt]аяoЛс иNlеет видrr -/"\ - __Р и с , 7 ' т р а e к T o р и я и угоЛ PассeяниядЛя слyчаяси,1овoгоцеt]Tpao!(16.r)паpал. o в кaЧествeМнorкeствoтpаeктopий,сoдеp)каЩих.,(i5,12),кoтoрЬIй\1етрoвlЛегкoBьlчис.инTеграЛoмoпpeдeляeтся100:+(р PO)Jt0lв norc U:'a/|s 16'Дв1lэ|сенuеГjaвo 4, ДвI'+ечdР в \Pao\opoo\bl^\Ll 'Ш) ),ll':(ЛU.п(.)): I,(i)lE.'#+g:2ЕL'х11f.z6,|'- ''-*I t l' ,;, , .)l'+\';: )l|l((16.2)oтсюда'вслeДствиeчeTнoстикoсинyса,I;rn(r n4,, Lт/ V]ztt,nа,."'(,L'/m a,'Г.+\/|+,ЕтэнеpГIrиLIdти п{)ЛнойпoтeнциаnьнoйPис,8.
гРафикизффективнойэнеpгии.Е'сooтветствyюциедвижeниЮфинитнoМу,0].(1 6 . 3 )) с0ь(.i '0]poтнoшeниea/ a paвi]o+l или l в зависимoстиoт 3tjака.!,И в тoм' и в дpyгoмсЛyчаефopмyла(16.3)oпpедeляeтдвyхпаpа.(,o, -L) сe 1ейств0пЛoскихкpивЬIxвтopoгoпopядка.п{етрическoe(l6'3) сoвпaдаютПo фopмeурaвнeнияс ypавнениямикoничeскихсeнений.oдин из фoкyсовTакoйкpивoйсoвпадаетгeoMeтpичeскис сиЛoвьII!1' ]7apамеmpoиp и эl<сценmpuсцmеmaмЦe|rГpo\lссЛy)каTсЛеДyющиeкoMбинациимoмeнтаимпyЛьсаи энeргии:L2t*#,ЗнаЧeнияMпoЛrroйэнepгии! Tаким.
чтo -'o2l2L2 < Е < 0или 0 { E < i' сooTвeтствуeтфинитнoедвижeниeпo эJЛипTичeскoЙ TраeктoPии6.4)(r 6 . 6 )t + Есos (!, _ P0]Tpаeктopиявьipo)к.ПpиЕ :mа2f2L2 или E : 0 эллиптичeскaя:p.yдаЛеrrиеpадиyсoммаксиNlaльнoеrдаетсяв oкpул(нoстьсчасTицьl oт сиЛoвoгo цeнтра r''t* \апo2еЙ) и NlиниМаЛьнoе yда(nеpuеей) лpи дви)кеIJии Ilо эЛЛЙптиЧескoй oPбитеравны:Пoыoliуpla(1 6 . 7 )бoлl'шaя noлуaсb о' э7oЙ opбитьI pавнатак чтo в тeрMиьIахгеoметpичeскиxпapaмеTpoвуpавнeние(16.4)приoбpетаeтвид'+ есos(р .
р6)(r6.5)(16'5)мoжнoпoЛoxитЬ,90:0' eсЛиУсЛoBиTьсяB ypавненииyгл0вyюпеpeМеннуюотсчитьIваTЬlр oт нaпpавлeниЯ2. Финитrroе дви)кeниe пoд дeйствиeМ сильt пpитяi{e.н и я . X . р a \ ' e р " ы й | o а ф и к , Ф Q e h ] n в P o йn o т " ь ц ' l " л ь н o i',ь е pгии l/"g(r) лpи o > 0 изoбpaженнa pис,8.0 р е Д р 'q е | с я , o .
' " ц 6 ' g " p t ' l c iчас, l. ,ы и РР ,ав']сlo)|2чрчиЙм0]\1ентaиМпyЛЬса,1\4aлaяnaлgaсь b эллипTиЧeскoйтраeктopии мo)кeт бьITь най,,/.].,пояvo}Гo' ьlolo!рис 9) гlаxoдим/fIpеr o' ьUича lo.IoDоJаNInn.1',np\21+./\/т 7J';14t,,(16.e)102Г,1oва1 Л"' r' "u, в чlao lopadaD'r .u ,aвbtt .a ',\в nолеU :s 16,Двux$енuеalr103op.пepиoдаoбpацeния частицЬIпo эЛЛигlтичeскoйфopN{y,lyдЛябиTe(r6.r3)Pис, 9, и,1,1юстрация к вЬIчисilениIо пoЛyoсeй э'1липтическойтpаеl(ториизакoн дви}кенияr,: I(f) trо зллиптическoйоpбитeв pадиаЛь.нoп{направЛeнииoпpеделЯеTсяфopмуЛoй(l5 l0):r .t.г.'l,,/l,lL'(l,,J\''-t',: }- aз/2 I'z,а',-)Энергияl, 'Е 2o?' b,(l6.l0)(.'пoстoяннаяинтeгpиpoвaния,a и 6 oпpeделяютсяфoрпryлaми (l6.8).(16,9)),Пpи lroпIoщиподсTанoвки7 : a(l( 1 6 .
l1)5сosс)и з ( L 6 ,| 0 ) н а х o д и Mt;;.,( 4+(r c) :VЕsin().Паpaпjeтp( MoхrнoвьIбpaтьтак. чтo l:0 пpи € : 0и i э c{)при € + эо, ЭTи yслoвиябудyTвЬIпo"']нeнЬI,если пoлorкитьC:0и oставитьтoлькo знак <+'. Toгда фopмyлаl;7/:V-(4:jToT pе3y'1ЬтaTмo)ltнo пoлyчитЬ и пyтеIм нeпoсрeдствeннoсoхранeниепloменyравнeния,BЬlpа)tающeгoго интeгpиpoваниявтepМинахсe(тopнoЙскopoта иNlпулЬса,eсЛи eгo зaписатьyчeсTЬ,эЛ']иЛсаpавчтoЛЛoщaдьo: dSltlt, Исти o' Ll2m:нa S - таb,в (l6.1l),к ф и з и ч e с к и мп а p а м e т p а мД , .BOзвpaщeниeсoPь . ! 1)Рс л olыvЬача'Il' l,.(|6 |J),.eпoсредсtв"н|o,вс,а,(l6.яl9]Bч a .I o .lb8),- n Я , , . o б Р . | |Чl ' ] в а ефopЧуЛаVl,opби.частицЬIпo9ллиптическoйсти. для частoтЬIoбpaщения(l6,l3)изнахoдиМте"l:2т lT.sil|€)(16.12)вruестес фоpмyлoй(16.ll) бyдeт oпpeдеЛятьзaкoн дви)кеIlияв радиалЬноМнаправлeниив паpаМетричeскoйфoрме,Aзимyтальная с0ставЛяющaязакoнадвижeниятeпepЬN{oжетбьIтЬустанoв.Лrнaпpи пoMoщиэтих фopN1yЛи уpавнения.Гpаектopии,Пpи двиxel,jииLIасTицьIoт l'.i'' : a(iе) дo ?1Л,х: a(1 + € )паpаI!1eтp€ изМeняеTся oт 0 дo т.
а вpeN1ядвиЛ(ения paвнoлoЛoвинeпеpиoда.BЬIpажение(16,12) пpи эTих yслoвиях даеT-Е LIастицы в <свЯзаннoм'(1 6 . 1 4 )сoс,Гоянии oказьlваeтсяuастoтев стeпeни2/3.прOпoрциoнаЛьнoйTpаектopии(l6,6). закoн сoхранеУpавнениeэл"']ипTическoйиМпyЛьсаL: сonst и фopмуЛадля пepиoда(16.l3)ния мo]!ieнтасoставЛЯюTкoличествeннyюфopмУлиpoвкутpeх закoнoв Keп"1e.рa, Здeсь эти закoньIпoЛучeIlынa oсl]oвeизвeсTнoЙзависимoстиэllеpгиивзаимoдействияU : -С]mm'olr oт pасстoянияДo непoдвижногo сиЛoвoгo цeнтpа, ЧтoбьI пoлучиTь сoглaсие с pе3уЛЬта.таvи бoЛеепoздниxнаблюденийзa движeниeмпланетСoлнeчнoйсистеNlьIlсЛeдуeтyчестЬ. чтo силoвoй цeнTp не явЛяeтсянеIlo3. иEфиIrитнoe дви,(eниe пoд дeйствиeм сильr пpитЕкeзнaчeниЯхnoЛнoйэнергии ЕнЙя.
Пpи любьIх нeoтpицатеЛЬныхЧас.ГицьIrllr (a > 0)' ee движeниeявЛяетсяинфи.в пoле U :нитнЬlNj,ДoЛустимаяoбЛастЬдви)кениЯв этoм сЛyЧае0гpаниЧeнa Toлькooднoй oкpу)кlloстЬюr: rnin. это виднo из pис,8' 10.а так}кe из УpаBнeниятраeктopии'l{oтopаяпо пpe)кнемyип{еeтвид(166):pl + 6сos (я9oJ(1 6 .
1 5 )| и ' н а I ' l е | . а | р .sг Ьl | 6 , | 5 )U |д|р|'o - '[Izt t- ','o,ru0}кетoбpащаTься B нуЛЬ.КoнeчньIпlзначениямскopoсти чaстицы пpи r + oo сoотвeT.свуют Д > 0, Е > i. TрaeкTopиeйв этoМ слyчaеявЛяeTсябЛижняяк фокyсу, сoвпадающeМу с сиЛoBЬIмцeнтpoМ, вeтвЬ гипеpбo'']ы.104в norc U :'.||rs 16.Двuэ]cенuеГлaва 1 Двuэ\tенuе в неadнopоанbLх сuлoвblх пo|ях105ПоЛoжимв ( 1 6 .
1 8 )(16.19)L],г:o(.сn{a2 + |Р : е2a2, нaхoДимУ.rитьlвая'.{тo+(t-СJ:j"t."ъс2EГ-J/?.".nсBЬIбеpeм пapаN1eTр6 так' чт0 пPивпrестo(l6'20) слeдyeтпpинятЬPис, l0' тpаeктoPия и yгoJ pассея|lия при инфиниTнoм дви)кеIrиив lloле притягиваюцeго цеt]TPа.,r:.!/rP а в н o й н y л ю н а б e с к o н e ч I ] o с Т и с к ( ) р o с 1 . ич а с т и ц ы с o o T в e т .ствyетЕ: l и (16,l5)сoвпадаeтс ypавнeниеМпаpабoльI,yг0Л рассeяния t/ на пpитягивающeМцентрe N1o)кнoвЬIчислитЬпo фopмуЛe(15.16), неoпpeделeнIJьIйинтeграл' сoдер)кaщийсяв нeЙ, y)ке вЬlчисЛен и пpедставлel.]фopN{yлoй(16,2).
oстаетсЯпoдстaвить пpeдeлЬI интегриpoваI]ия, тoT ){(e рeзУльтат Mo)кнoпoлyчитьнепoсpeдствeннoиз (l6,l5), гдеl +eсos!а>O(16,16)(р oтсuитьtваетсяoт направлeниянa г,.i,') и' следoватeлЬнo'yгЛoвая кoopдината изМeняется в I]pедеЛax. arссos(_l/э) {р 1аr'ссos(-1lе),Угoл pассeяния 0 лиuЬ Ha т oTЛиЧаeтсяoт пoЛIloгo yгr1а ФизМеIJeниякoopдинатьl.l (pис. 10) и pавеIjd : 2arссos(_l/е)т: 2а.ссos( ;|т*-д , \'iт} )l.з-2a''.,:if[ ''u,",Закoн Дви){eнияЧaстицьI в рaдиальнoMнапрaвлeнии приiffiil:'ъi"L r- { rгипepбoЛическoйтраeктopииoпрeдeЛяетсяинTeгра-I,-/ 2г,'l"'/ 1 .
\t",t .i.!l2,,t, 1-:'lт*l,*,rt + 2or- 62, (16.18)гl,етепepьa: af 2E, ь : LlуtrmE -()0{ ) ,( l 6 , 2 0 lб y д e тl > 0 ' T o г д a(16'21)1: /moзla (эsh{ ().3аконpадиaлЬнoгoУpaвнeния(l6.19). (l6,21) npедсTавляютвпapaMeтpичeскoмтpаeкTopиидвиженияпo гипep6oЛиЧeскойвиде,вдоJlЬзакoнаpадиaЛьн0гoдви}кeнияПaрaмеTри.rескуюфopNly:анаЛ0гиЧнo.(-ЕпoЛУчЙтЬ0)Mo)кнoтpаектoриипаpaбoЛиЧeсKoйеслив инTeгpаЛe+ftФ:I",bfL6rьz l2nl)(\6.22)пoДсTанoвкуr : ,r.,,,i,,(l+ (2),(16.23)ГДеr\\\л: L, l2md: p/2, При тeх )ке' Чтo и вь|ше,Дoпor1l]итеЛь.ньIхyсЛoвияхна € из (16,22)имеeмrnps 7;tG.'+)(16.24).
J v o \ p a в ' р Р , ] eп а p а б o л и ч рк.o й г р а р к - o р и r в п л o с h о ' т l ! в | / .(l6,l5l пP, г - 0.,.*'npiЬс.,"n"" .q фоPNIу1oй"1 + сos (l,(r 6 . 2 5 )90)4. инфиниrнoe дBижeниe пoд действиev сильI oттaлки.энepгияванIrя.ЭффeктивнаяпoтeнциалЬI]аяai',2rnt2пpи .! < 0 всюдy пoЛo)китeлЬнaи Мoнoтoнtlo yбьIвает с pасстoянием, УPавнeниe л : U"rт(r) иNtеeт тoЛькo oдин кopeнЬ Imй'oлpeделяющийpадиyс oкрy)кнoсти,oгpаничивающeид0пyсти'N]yюoблaсTь дви)кения'106Глава 4 Двu1|сен е в |\еadнopoонbн сuj\овых nоj|яхУpавнeниeтpaeктopииTакoгo инфинитнrlloдвижеI]ияиMeeтB|1Дl + Есos (P _ 'lO)'(16.26)гдe,!!p,1MeJрp и эксценTриситeтЕ oлpeдeляютсяфopMуЛа.Mи (16,4).ГeoМeтpичeскиэто даЛьI]яяoт фoкyса'сoвпадаЪщeгoГлaва 5,циIlA]l{икAсисTЕ/l{ьIДByx B3AиrшoДЕЙсTBУIoпlиx чACTиЦ;пУчKи чAсTицс с и Л o в ь l м ц e н T р o N l ,в e т B Ь г и п е p б o Л Ь Ii р и с , 1 l ) .8 l7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
